2023-2024学年北京西城区一六一中高三（上）期中数学试题及答案

2023北京一六一中高三（上）期中数学班级______姓名______学号______考生须知1.本试卷共3页，满分150分，考试时长120分钟.2.试题答案一律书写在答题纸上，在试卷上作答无效.3.在答题纸上，选择题用2B铅笔作答，非选择题用黑色字迹签字笔作答.4.考试结束后，将答题纸、试卷和草稿纸一并交回.一、选择题：本大题共10道小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求把正确答案涂写在答题卡上相应的位置.．．．．．．．．．．．．．．．．AB=，则（A0,1=B=xN0x3，1.已知集合）21A.C.B.D.23()上单调递减的是（）2.下列函数中，在区间y=log2xy−=x=+=x3A.B.C.yx1D.D.ya=(2,0)，b=3.如果平面向量，那么下列结论中正确的是（）．A.||=|b|B.a2C.(ab)−⊥baπ4.“x”是“tanx1”的（）4A.充分而不必要条件C.充分必要条件B.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件）5.已知复数＝a+ia∈A.z=−a+iB.|z|≥1C.z一定不是纯虚数D.在复平面上，z对应的点可能在第三象限x22y223+=ab0)的左右焦点为F,F离心率为6.已知椭圆C：，过F2的直线l交C与A,B两12ab3点，若△AF1B的周长为43，则C的方程为x2y2x2x2y2x2y2+=1+y2=1+=1+=1A.B.C.D.3231281247.近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口.Peukert于1898蓄电池的容量C（单位：（单位：h）与放电电流I（单位：A）之间关系的经验公式：tC=Int，其中n为Peukert.为测算某蓄电池的Peukert常数n，在电池容量不变的条件下，当放电电I=20At=20hI=50A时，放电时间t=若计算时取lg20.3，则流时，放电时间；当放电电流n该蓄电池的Peukert常数大约为（）A.1.25B.1.5C.1.67D.2，m变化时，点P,到直线xm−4=0的距离最大值为()−+8.在平面直角坐标系中，当（）A.3B.4C.5D.6fx的图象完全重合，则如下结论正确的个数（x2+yy=1所对应的曲线与函数y=()9.如果方程）4①函数()是偶函数；fxy=fx()的图象上的点到坐标原点距离的最小值为1；②③函数()的值域为(−,2；fxFx=fx+x④函数()()有且只有一个零点.A.1B.2C.3D.49f(x)=x，g(x)=x2−x+3x,x,...,x]f(x)+f(x)+...+f(x)+，使得12n110.函数.若存在12n2g(x)=g(x)+g(x)+...+g(x)+f(x)n，则的最大值为（n）n12n1A.5B.6C.7D.8二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题纸中相应的横线上.．．．．．．．．．．．．．．．x=4y的准线方程是_______2抛物线12.设函数4()=x−)，若()对任意的实数都成立，则的最小值为xfxcos0fxf6__________．，且AP=1，则AB=13.若==______，CP的最大值为______.ABACAB4x,x，()=fx()在R上不是增函数，则a的一个取值为___________.fx14.已知函数,x.若函数x315.下表是某生活超市2021年第四季度各区域营业收入占比和净利润占比统计表：生鲜区熟食区乳制品区日用品区其它区营业收入占比48.6%15.8%20.1%10.8%4.7%−4.3%16.5%20.2%1.8%净利润占比65.8%该生活超市本季度的总营业利润率为结论：①本季度此生活超市营业收入最低的是熟食区：②本季度此生活超市的营业净利润超过一半来自生鲜区；③本季度此生活超市营业利润率最高的是日用品区；④本季度此生活超市生鲜区的营业利润率超过.其中所有正确结论的序号是______.三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程，并写在．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．答题纸相应位置.．．．．．．．()=fxAsin)()的图象如图所示x016.已知函数.（1）求()的解析式；fxπ6gx=fx2x+（2）若()()()的最小正周期及单调递增区间.gx，求π中，B，cos2B=B−1.17.在2（1）求B；（2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得的面积.存在且唯一确定，求=C，b=2；条件①：sinA条件②：b=a，A=1；条件③：=6，BC边上的高为2注：如果选择的条件不符合要求，第二问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，则按第一个解答计分.18.2021年月9.义务教育体育与健康考核评价包括过程性考核与现场考试两部分，总分值70分其中过程性考核40分，现场考试30分.该评价方案从公布之日施行，分学段过渡、逐步推开.现场考试采取分类限选的方式，把内容划分了四类，必考、选考共设置22项考试内容.某区在九年级学生中随机抽取名男生和1000名女生作为样本进行统计调查，其中男生和女生选考乒乓球的比例分别为和5%，选考1分钟跳绳的比例分别为40%和.假设选考项目中所有学生选择每一项相互独立.（1）从该区所有九年级学生中随机抽取1名学生，估计该学生选考乒乓球的概率；（2）从该区九年级全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人选考1分钟跳绳的概率；（3）已知乒乓球考试满分8分.在该区一次九年级模拟考试中，样本中选考乒乓球的男生有60人得8分，40人得7.5分，其余男生得7分；样本中选考乒乓球的女生有40人得8分，其余女生得7分.记这次模拟1考试中，选考乒乓球的所有学生的乒乓球平均分的估计值为，其中男生的乒乓球平均分的估计值为1与的大小.（结论不需要证明）2，试比较2x219.已知A，B，C是椭圆W：+y2=1上的三个点，O是坐标原点.2（1）当点B是椭圆W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积；（2）过右焦点F的直线l（与轴不重合）与椭圆交于A，B两点，点()，若=，求实xMmMAMBm数的取值范围.−ax+x−1220.已知函数f(x)=.exy=f(x)(0,−处的切线方程；（1）求曲线在点（2）当a0时，求f(x)的单调区间；e.af(x)（3）求证：当≤1时，21.设N为正整数，区间Ik[k,k（其中，aRk=k≥=+）同时满足下列两个条件：xxI；k①对任意②对任意，存在使得kkxxIi=（其中，存在，使得ika(k=kk−1或−1（Ⅰ）判断能否等于2（Ⅱ）求N的最小值；（Ⅲ）研究N是否存在最大值，若存在，求出N的最大值；若不存在，说明理由．参考答案一、选择题：本大题共10道小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求把正确答案涂写在答题卡上相应的位置.．．．．．．．．．．．．．．．．1.【答案】C【分析】化简B，再进行并集运算.B=N=x0x31,2，【详解】A=0,1，则AB=2.又故选：C.2.【答案】B【分析】根据函数解析式直接判断单调性.y=log2x()，且在()上单调递增，选项错误；A【详解】A选项：函数的定义域为1xB选项：函数y2−=x=的定义域为R，且在R上单调递减，B选项正确；2−+)，且在−+)上单调递增，选项错误；C选项：函数y=x+1的定义域为Cy=x3的定义域为R，且在R上单调递增，D选项错误；D选项：函数故选：B.3.【答案】C【详解】由平面向量a(2,0)，b知：==在A中，|a|2，=|b=2，∴|a||b|，故错误；在B中，ab=2，故B错误；在C中，ab，A−=−∴(ab)b110，−=−=∴(ab)−⊥b，故C正确；2101在D中，∵，∴a与b不平行，故D错误．综上所述．故选C．4.【答案】D【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.π3ππ3ππxtanx1，如x=−tan−tan==1，【详解】由推不出，但是44444即充分性不成立，π3π3ππxtan=−11，但是由tanx1也推不出，如，即必要性也不成立，4444πx”是“tanx1”所以“的既不充分也不必要条件.4故选：D5.【答案】B【分析】利用复数基本概念逐一核对四个选项得答案．z=a+i(aR)z=a−i【详解】解：，故A错误；|z=a2+1，故B正确；当a=0时，z为纯虚数，故C错误；虚部为10故选：B．在复平面上，对应的点不可能在第三象限，故D错误．z【点睛】本题考查复数的基本概念，是基础题．6.【答案】A【详解】若△AF1B的周长为43,由椭圆的定义可知4a43=a=3,c3c=1,,a3b2=2，x2y2+=1，故选A.所以方程为32考点：椭圆方程及性质7.【答案】Bnn20=Cn2052=4，利用指数与对数的互化、换底公式以及对数的【分析】由已知可得出，可得出505=Cn运算法则计算可得的近似值.n20=Cn20520n20=5020.3n5=4，【详解】由题意可得，所以，所以250n5=C42lg22lg2n=54====1.552104−−.所以12lg2120.32故选：B.8.【答案】D【分析】求出直线过定点坐标，以及点P的轨迹方程，再求出定点到圆心的距离，即可得解.−y+3=0x=4x−+m−4=0(−+)+(−)=，令y3mx40，解得【详解】直线，即y=3，x−4=0x−+m−4=0(P3)，所以直线恒过点()()P,x2+y2=1上的点，圆心为O0,0，半径r=1，又点为圆=42+3=5，2则()xm−4=0−++r=6.P,所以点到直线的距离最大值为故选：D9.【答案】C【分析】分段讨论探究函数的图象，结合椭圆与双曲线的方程作出函数的图象，结合图象判断即可.①由图象的对称性可知；②利用双曲线与椭圆的方程消元求最值；③结合图象可知值域；④函数的零点个数转化y=−xy=f(x)为两函数与图象交点的个数，结合图象可得.x2x2y0+y2=1，即方程对应曲线为椭圆+y2=1的上半部分；【详解】当时，44x2x2y0−=1，即方程对应曲线为双曲线−y2=1的下半部分；y2当时，441y=x.故作出函数f(x)的图象，其中双曲线的渐近线为2y①函数f(x)图象关于轴对称，则f(x)为偶函数；x2,x−21−4f(x)=且x2−−x(,−2)(2,)4证明如下：函数f(x)的定义域为R，关于原点对称.x−2时，−x−2，(−x)2x2则f(x)−=1−=1−=f(x)；44x(−,2)(2,+)−x(−,2)(2,+)时，，(−x)2x2则f(x)−=−−1=−−1=f(x).44−=综上，xR，f(x)f(x)，故f(x)是偶函数故①正确..y=f(x)P(x,y)=02+02②设函数图象上任意点，0，0x204x(−,−2)0x204，y2=−1，当点P在双曲线上时，即时，0x2045042x20+y02=02+−1=−14，02+y022；则x204x−2,2时，x204当点P在椭圆上时，即，y02=1−，0x2043042x20+02=02+1−=+11，02+y012由x=00P到原点的距离最小，最小值为1；当且仅当时，最小，即点y=fx()的图象上的点到坐标原点距离的最小值为1，故②正确；综上，函数③由函数图象可知，函数()的值域为(−，故③错误；,1fx④由f(x)+x=0得，f(x)=−x，Fx=fx+x所以函数()()的零点的个数，y=−xy=f(x)即函数与函数图象的交点个数.1y=−x由是双曲线的渐近线，21−y=−x的斜率为1，渐近线斜率为，而直线211−y=−x与函数f(x)图象的双曲线部分没有交点，由可知，直线2仅与椭圆部分有一个交点.y=−xy=f(x)故函数与函数图象有且只有一个交点，Fx=fx+x即函数()()有且只有一个零点，故④正确.故结论正确的个数为3.故选：C.10.【答案】Dh(x)=g(x)−f(x)h(x)的单调性．【分析】构造函数，研究f(x)+f(x)+...+f(x)+g(x)=g(x)+g(x)+...+g(x)+f(x)【详解】方程变形为：n12n1n12n1g(x)−f(x)=(g(x)−f(x+(g(x)−f(x+1)−f(xn1，nn1122h(x)=g(x)−f(x)h(x)h(x)h(x)+=+1)，设，则n129h(x)=g(x)−f(x)=x2−2x+3=(x−2+2在上递减，在]上递增，2572h(x)∴∴，457的值域是[2(n−(n−h(x)+h(x)+)，1249x,x,...,x]h(x)=h(x)+h(x)+n121)，若存在，使得12n246522(n−2nn，∴的最大值为8．则，8故选：D．h(x)=g(x)−f(x)【点睛】本题考查函数的值域，解题关键是构造新函数，把问题转化为“存在9x,x,...,x]h(x)h(x)h(x)=++2)”，这样利用h(x)的值域就可以解决问，使得12nn12题．二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题纸中相应的横线上.．．．．．．．．．．．．．．．y=−1【答案】2p=4【分析】先根据抛物线的标准方程得到焦点在y轴上以及，再直接代入即可求出其准线方程.x2=4y，焦点在y轴上，【详解】因为抛物线的标准方程为p2p=4p=2，所以=1，所以：，即2所以准线方程为：y=−1，y=−1.故答案是：【点睛】该题考查的是有关抛物线的几何性质，涉及到的知识点是已知抛物线的标准方程求其准线方程，属于简单题目.212.【答案】34【分析】根据题意()取最大值，根据余弦函数取最大值条件解得的表式式，进而确定其最小fxf值.4【详解】因为f(x)f()取最大值fxf对任意的实数x都成立，所以4，2−=2π(kZ=8k+(kZ)所以，46323因为0，所以当k=0时，取最小值为.y=Ax+)+B(A0,0)【点睛】函数的性质yA，y=A−B2π（1）.（2）周期T=.（3）由x+=π(k)求对称轴，最大值对应自变量满足x+=2π(k)，最小值对应自变量满足x+=+2k(kZ)，3−+2kx++2k(kZ)+2kx++2k(kZ)求减（4）由区间.求增区间；由222213.【答案】①.2②.6()，即4=4AB=CPBA=AP−ACBA2，由，利用数【分析】由==ABACAB量积定义求解.【详解】解：因为==，ABACAB4所以=4，即AB=2，()CPBA=AP−ACBA=ACAB−APAB，=4−APABcos=4−2cos，当cos=−1时，CP的最大值为6，故答案为：，614.【答案】-2(答案不唯一，满足a−1或0a1即可)【分析】作出y=x和y=x3的图象，数形结合即可得a的范围，从而得到a的可能取值．【详解】y=x和y=x3的图象如图所示：∴当a−1或0a1时，y=x3有部分函数值比y=x的函数值小，故当a−1或0a1时，函数()在R上不是增函数．fx故答案为：2．15.【答案】②③④【分析】根据表中数据以及营业利润率的概念逐项进行分析并判断．4.7%【详解】由题中数据知，其它类营业收入占比，为最低的，故①错；生鲜区的净利润占比65.8%50%，故②正确；65.8%32.5%=44%40%生鲜区的营业利润率为熟食区的营业利润率为，故④正确；48.6%−4.3%32.5%0；15.8%16.5%32.5%=26.68%乳制品区的营业利润率为；20.1%1.8%4.7%32.5%=12.45%其他区的营业利润率为；20.2%32.5%=60.787%日用品区为，最高，故③正确．10.8%故答案为：②③④．三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程，并写在．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．答题纸相应位置.．．．．．．．f(x)=2sin2x16.1）πππππ−+（2）T=,+kZ，单调递增区间为，2622）由图象求得A及周期，再由周期公式求得，即可得到解析式；（2）利用三角恒等变换公式将()化简，再根据正弦函数的性质计算可得.gx【小问1π14==T，即T=π，又0由图象可知A2，，42π所以T=，解得=2，f(x)2sin2x=；【小问2πgx=fx2x+因为()()，6π6g(x)=2sin2x2x+所以ππ6=2sin2xcos2xcos−sin2xsin6311π612=3sin2xcos2x−sin22x=sin4x+cos4x−=sin4x+−，2222ππ所以()的最小正周期T==，gx42πππ−+2π4x++2π，kZ，令262ππππ−+x+kZ，，解得g(x)62122ππππ−+,+，kZ的单调递增区间为．622π17.1）6（2）答案见解析3）根据题意，利用倍角公式求得B=，即可求解；2a,c（2）根据题意，分别选择①②③，结合正弦定理和余弦定理，求得的长，结合题意，即可求解.【小问1πB=B−1，解：由中，，且cos2B23可得2cos2B=3B，所以B=，2π因为0Bπ，所以B=.6【小问2=C，b=2，解：若选条件①：sinA因为sinA=C，由正弦定理得a=c，又由余弦定理b2=a2+c2−2acB，可得a2+c2−ac=4，111因为a=c，代入解得a=23,c=2，所以S=acsinB=232=3，222所以存在且唯一确定，此时的面积为3.若选择条件②：b=a，A=1abπ==，可得a=b=3，由正弦定理且BsinAsinB6又由余弦定理b2=a2+c2−2acB，可得c2−2c−5=0，解得c所以S=322，+1113+22()=acsinB=23+22=，22223+22所以存在且唯一确定，此时的面积为.2若选条件③：=6，BC边上的高为22π因为B=，可得c==4，6sinB由余弦定理b此时2=a2+c2−2acB，可得a2−4a+10=0a=232，解得，存在但不唯一确定，不符合题意.818.1）1（2）0.32（3）2）分别求出样本中男生和女生的人数，再由频率估计概率即可得解；（2）根据题意易得从该区九年级全体男生中随机抽取1人和从该区九年级全体女生中随机抽取1人选考跳绳的概率，再分2个男生选考跳绳和1个男生和1个女生选考跳绳结合独立事件的概率公式即可得解；,（3）根据平均数公式分别求出【小问1，即可得解.21解：样本中男生的人数为110010%=110人，样本中女生的人数为10005%50人，=设从该区所有九年级学生中随机抽取1名学生，该学生选考乒乓球为事件A，110+501100+10001058()=PA=则该学生选考乒乓球的概率；【小问2解：设从该区九年级全体男生中随机抽取1人，选考跳绳为事件B，从该区九年级全体女生中随机抽取1人，选考跳绳为事件C，PB=PC=0.5，由题意()()则从该区九年级全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人选考1跳绳的概率为()220.41−0.5)=0.32；2C120.41−0.40.5+C【小问31008+407.5+20731==解：，1160608+407.5+1078542==，110111所以.2619.1）222−,（2）441）依题意，当四边形OABC为菱形，与相互垂直和平分，设A点坐标，然后求出菱形面积.x（2）分类讨论，分直线与轴和不垂直时，设直线方程，联立椭圆方程，利用韦式定理及中点坐标公式求m出中点坐标，列垂直平分线所在方程，根据基本不等式性质，即可求得实数的取值范围.【小问1x2椭圆W：+y2=1的右顶点B的坐标为(2,0)，2因为四边形OABC为菱形，所以与相互垂直和平分，2143A,m+m2=1，即m=所以可设，代入椭圆方程得，22116所以菱形OABC的面积为OBAC=22m=.222【小问2当直线AB垂直轴时，xm=0，此时MA=MB，符合题意；=(−)ykx1的方程为，当直线AB与轴不垂直时，设直线xAB2x+y=12由2，得ykx1=(−)1+2k)x−4kx+2k(−1=0)22222，()2(k)=−4k2−81+2k2−10xR得由.设()，(Bx,y)，则Ax,y1122(−)4k+22k2x+x=，xx=，12212k12+212k−2k1+2ky1+y2=(+−2)=k12所以，222kk,−所以线段AB中点E的坐标为，1+2k21+2k22k12ky+=−x−由题意知k0，故直线ME的方程为，1+2k2k1+2k2kk令x=0，y=，即m=，1+2k21+2k2当k0时，得k120m==214，当且仅当k=，等号成立，1+2k2+2k2k同理，当k0时，得k120m==−21+2k214，当且仅当k=−，等号成立，+2k2k22m综上所述，实数的取值范围为−,.44y=2x−120.1）（2）答案见解析3）证明见解析）求导，由导数的几何意义求出切线方程；(ax−x−2)12121=0aa=ay=f(x)的单调性可得答案；（2）求出f(x)，分、、，讨论ex211a==1（3）当a1时，令f(x)0，得x或x2，f(x)取得极小值=f−，=−eaa1−f(x)−ee1−)，由极小值定义及f(x)的单调性可知：当x2时，；−eax2时，设g(x)=−ax+x−(xa−，由二次函数的性质可知g(x)g(2)0恒成立，可得答2案.【小问1()ax−2a+1x+2(ax−)(x−2)(−ax2+x−'ex−−ax2+x−1(ex)'()2()=fx==，ex（ex)2ex=，f(0)=1，f(0)2因为y=f(x)−）y=2x−1.处的切线方程为所以曲线在点【小问2(−)(−)ax1x2由（1）知：fx()=xRex1=x=，所以因为a0，令f(x)0或x=2，a1210a2，当则时，af(xf(x)的变化情况如下表：1a1a1x(2)2，2，+af(x)+−+00f(x)极大值极小值121a=a=2f(x)0恒成立，当当时，时，，则f(x)在R内恒增；a12102f(xf(x)的变化情况如下表：，则a111，2，(2+)x2aaaf(x)+−+00f(x)极大值极小值11a1a0a(，2)，和+，2，单调递减区间是综上，当时，单调递增区间是；21a=（−+)当当时，单调递增区间是，无单调递减区间；211，1a时，单调递增区间是(2+)，2和，单调递减是a.2a【小问3当a1时，令11=x=[0)，f(x)0或x=2，易知，得aaf(xf(x)则的变化情况如下表：1，1a12，(2+)x20aaf(x)−+−0f(x)极小值极大值1111a−=−=−ex=fa所以当时，f(x)取得极小值，1aea1111由于a1，则[0)−(