2023-2024学年北京东城区一六六中高三（上）期中数学试题及答案

2023北京一六六中高三（上）期中数学（考试时长：120分钟）考查目标知识：集合与简易逻辑；不等式；函数与导数；三角函数与解三角形；立体几何；平面解析几何；排列组合与二项式定理；概率统计能力：数学抽象概括；逻辑推理论证；数学建模应用；直观想想；数学运算；数据分析；空间想象能力一、选择题：本题共小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．A={x|x1x，B={x|0x，则集合或AB=（1.已知集合）{x|0x{x|1xA.C.B.D.{x|x1或x{x|x1或x2+2.在复平面内，复数A.第一象限对应的点位于（）iB.第二象限C.第三象限D.第四象限b0”是“ab”的（3.“a）A.充分而不必要条件C.充分必要条件B.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件a=2)b=0)c=4)=4.已知向量，，，若(ab)//()，则实数（）112A.2B.1C.D.4x,y满足axa(0a，则下列关系式恒成立的是（y5.已知实数）11tanxtanyA.C.B.x2+1y2+1ln(x+y22+D.x3y33()=fxx−0)的图像关于直线x=对称，则可以为（）6.函数21212A.B.C.D.133f(x)=sinx−xcosx7.关于函数下列说法错误的是A.f(x)是奇函数B.0不是f(x)的极值点ππC.f(x)在(−,)上有且仅有322D.f(x)的值域是R8.二维码与生活息息相关，我们使用的二维码主要是2121大小的，即441个点，根据0和1的二进制编码，一共有2种不同的码假设我们1秒钟用掉1万个二维码，1万年约为311秒，那么大约可以用lg230.5（）A.万年B.万年C.10万年D.205万年9.沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，利用细沙全部流到下部容器所需要的时间进行计时.如图，某沙漏由上、下两个圆维组2成.这两个圆锥的底面直径和高分别相等，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度（h）的（细管长度忽3略不计）.假设细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆.这个沙堆的高与圆锥的高h的比值为（）8491323A.B.C.D.()﹐若集合fx()=(−中恰有个元素，则称函数()是阶准偶函fxkfxk“xxfx10.对于函数1x,xaf(x)=a是“2阶准偶函数”，则的取值范围是（）数”.若函数2x2,xa()2)4)4)D.A.,0B.C.二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分．已知角x的顶点在坐标原点，始边在轴的正半轴上，终边与单位圆交于第二象限的点P，且点P的1=纵坐标为，则2____________．12.在2x)4的二项展开式中，第四项为____________．−π()=fx2sin+)x13.已知函数.2①若f(0)=1，则=___________；②若xR，使(+)−()=成立，则的最小值是___________.fx2fx414.窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术．图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花．图2中正六边形的边长为，圆O的圆心为该正六边形的中心，圆O的半径为2，圆O的直径MN，点P在正六边形的边上运动，则PMPN的最小值为____________15.某班在一次考试后分析学生在语文､数学､英语三个学科的表现，绘制了各科年级排名的散点图（如下关于该班级学生这三个学科本次考试的情况，给出下列四个结论：①三科中，数学年级排名的平均数及方差均最小；②语文、数学、英语年级排名均在150名以外的学生为1③本次考试该班语文第一名、数学第一名、英语第一名可能为三名不同的同学；1④从该班学生中随机抽取1人，若其语文排名大于200，则其英语和数学排名均在150以内的概率为．3其中所有正确结论的序号是__________．三、解答题：本题共6小题，共分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，BC//CE⊥，垂足为，==，=331，将16.如图1所示，在等腰梯形ABCD，沿EC折起到△1EC的位置，使平面DEC⊥1平面ABCE，如图2所示，点GAD为棱上一个动1点．（1）当点G为棱AD中点时，求证：BG//1EC平面1⊥1ABD（2）求证：AB平面；（3）求直线CD1与平面所成角的正弦值．=1+sinA．1B+C217.在中，（1）求2sin2A；（2）再从条件①条件②条件③这三组条件中选择一组作为已知，使､､存在且唯一确定，求AB的长．条件①：3；==223条件②：cosB条件③：sinB=,ACBC=3+2；+33+3=,的面积为．22注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分．18.某学校组织高一、高二年级学生进行了“纪念建党100”的知识竞赛.从这两个年级各随机抽取了40名学生，对其成绩进行分析，得到了高一年级成绩的频率分布直方图和高二年级成绩的频数分布表.成绩分组频数75,8080,85))269095))1614295,100高二规定成绩不低于90“优秀”.（1）估计高一年级知识竞赛的优秀率：（2）将成绩位于某区间的频率作为成绩位于该区间的概率.在高一、高二年级学生中各选出2名学生，记这4名学生中成绩优秀的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列；（3）在高一、高二年级各随机选取1名学生，用X，Y分别表示所选高一、高二年级学生成绩优秀的人数.写出方差()()的大小关系.（只需写出结论）DX,DYx22y22()+1ab0经过=()A1(0)和B−3两点，点为椭圆的右顶点，点219.已知椭圆C:CPabPA为椭圆C上位于第一象限的点，直线（1）求椭圆C的方程及离心率；与y轴交于点M与x轴交于点N．1（2）比较的面积与△NA2B的面积的大小，并说明理由．f(x)=x−x−220.已知函数.（1）求f(x)的极值；（2）已知tZ，且xx+xt(x−x1t恒成立，求的最大值；对任意的g(x)=f(x+−e+3的零点为m(m，当x(,+)，12，且xx时，证明：12（3）设xln(1+ln(2+1−2e.满足，是正实数，当n2时，，则称是anan1anaa,a,21.若无穷数列−数列”.“Y（1）若是“Y−数列”且1=1Y−数列”，证明：，写出的所有可能值；aa4n（2）设是“是等差数列充要条件是单调递减；是等比数列充要anananan条件是单调递增；an（3）若是“Y−数列”且是周期数列（即存在正整数T，使得对任意正整数，都有a=aT+nnann的元素个数的所有可能值的个数.1i2018i=a集合1参考答案一、选择题：本题共小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.【答案】C【分析】根据并集概念进行求解.B={x|x1或x【详解】A故选：C.2.【答案】D【分析】先化简原式，然后根据实部虚部确定复数所在象限.2+i=3−i【详解】，i在复平面内对应的点的坐标为2(−)，位于第四象限.故选：D.【点睛】本题考查复数与复平面的关系，属于基础题.3.【答案】A【分析】根据不等式的性质结合充分条件和必要条件的定义即可得解.b0可得ab，【详解】由a由ab可得ab0，b0”是“ab”的充分而不必要条件.所以“a故选：A.4.【答案】C【分析】先写出a+b的坐标，再由m//nxy−xy=0可求得参数.1221【详解】∵向量a2),b0),c4)．===∴a+b=2)+0)=+,2)，∵(a+b)//c(R)，12+)−32=0=∴，解得．故选：C．5.【答案】D【分析】xyaxay(0a，然后再逐项判断.根据，利用指数函数的单调性得到axa(0ay【详解】因为，xy所以由指数函数的单调性得：1+11x=y=1时，，故错误；A.当x2y2+1B.当x=,y=时，tanx=tany，故错误；44x=y=22n()2y+C.当时，l1，故错误；y=x3在R上是增函数，所以x3y3，故正确；D.因为幂函数故选：D6.【答案】C2f(x)=x−0)的对称轴为x−=k=2k+0)【分析】【详解】，化简得到得到答案.333f(x)=x−0)32对称轴为：x−=k−=k=2k+0)(kZ)323323当k=0时，故选:C.取值为.7.【答案】C【分析】【详解】分析：利用函数的奇偶性、极值、零点、值域分析每一个选项得解.详解：对于选项A,f(-x)=sin(-x)+xcos(-x)=-sin+xx=-(sinx-cosx)=-f(x),所以函数f(x)是奇函数，所以选项A是正确的.f(x)=x−[cosx+x(−sinx=xsinx对于选项B,，可以得到函数f(x)在(0,)是增函数，在2(−,0)0.也是增函数，所以不是函数的极值点，所以选项B正确2对于选项C,由于函数在(0,)是增函数，在(−,0)是增函数，且f(0)=0,(−,)所以函数在上有且仅2222有1个零点，所以选项C错误.对于选项D,函数的值域为R，所以选项D正确故选:C.8.【答案】A【分析】估算出可用的年限，然后取常用对数计算即可.2441【详解】由题意大约可以用万年，31110424412441则==2441−315=441lg2−lg3−153111043154410.3−0.5−=117，24411178，即大约可以用万年.所以31110故选：A9.【答案】A【分析】2h，设圆锥的底面半径为r，则细沙形成的圆锥的底细沙全部在上部时，沙漏上部分圆锥中的细沙的高为32r，求出细沙的体积，再设细沙漏入下部后，圆锥形沙堆的高为，求出细沙的体积，由体积h面半径为3相等求解h，则答案可求.23h【详解】解：细沙全部在上部时，沙漏上部分圆锥中的细沙的高为，2设圆锥的底面半径为r，则细沙形成的圆锥的底面半径为r，321228V=rh=r2h.∴细沙的体积为33381细沙漏入下部后，圆锥形沙堆的底面半径r，设高为h，138则V=r2h=rh，2818=hh.得∴27h8=.h27故选：A.【点睛】此题考查圆锥体积公式的应用，属于中档题10.【答案】B【分析】根据“2阶准偶函数”定义，分0，a0，a=0三种情况分析即可得答案.x1,xaf(x)=【详解】解：根据题意，函数2是“2阶准偶函数”，x2,xaxxfx=f(−x)中恰有个元素.()2则集合1x,xa2f(x)=y=x2,xa当0时，函数2有一段部分为，注意的函数y本身具有偶函数性x2,xaxxfx=f(−x中不止有两个元素，矛盾，()质，故集合1x21−x当a0时，根据“2阶准偶函数”的定义得()的可能取值为x或，(−x)为，故当fx2f=2x21x()(中恰=f−x=2x，该方程无解，当x2=2x，解得x2或x4，故要使得集合==xxfx2有2个元素，则需要满足a2，即0a2；1x,x0−x12当a=0时，函数f(x)=，fx()的取值为，(−)为fx=2xx2=2x，根据题意得2x2x2,x0满足恰有两个元素，故a=0满足条件.0,2).a综上，实数的取值范围是故选：B【点睛】本题解题的关键是根据新定义的“2阶准偶函数”，将问题转化为研究函数()，(−)可能取xfxf何值，进而根据x22x方程有两个解=x=2x=4或求解考查运算求解能力与综合分析能力，是中档题..二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分．3【答案】−2【分析】由题设确定P的坐标，再由三角函数的定义求.31,)，故cos=−223【详解】由题设知：P(−.23故答案为：−12.【答案】232−32x【分析】利用二项式定理写出展开式通项公式，进而求第四项.r【详解】由题设r1C(2x)(2)Cx=r4−r=−rr42，332.当r=3时，第四项为4(2)Cx2=−334=−32x3故答案为：−32x2ππ13.【答案】①..6212πsin=|【分析】①由已知可得，利用正弦函数的图象及特殊角的三角函数值，结合范围，即可2得解的值；πx++)−x+)=2=(k−k)π−k，，1②化简已知等式可得，由正弦函数的性质可得122k2Z，结合范围0，即可得解的最小值．1【详解】解：①由已知可得2sin=1，可得sin=，2π5π=2π+=2π+，kZ，或66ππ，当k=0时，=．262sin[(x+2)+]−2sin(x+)=4②，使成立，x++)−x+)=2即，ππxRx++=21π+x+=2k2π+kZ，，，使，22ππ解得=−−=−−，k1kZ，，21πk2π(1k2)π22π又，的最小值是．2ππ故答案为：，．2614.【答案】8【分析】由PM=PO+OM，=+，然后由数量积的运算公式，结合正六边形的性质，即可求解.【详解】如图，连结PO，显然=，()()()()PMPN=PO+PO+=PO+OMPO−，=−OM=−4，点P在正六边形的边上运动，O是其中心，3PO的最小值等于中心O到正六边形的边的距离，距离为4=23.因此22()所以PMPN的最大值为23−4=8.故答案为：815.【答案】①②④【分析】依据平均数和方差的定义判断①；求得语文、数学、英语年级排名均在150名以外的学生人数判断②；求得语文第一名、数学第一名、英语第一名的同学判断③；求得从该班学生中随机抽取1人，若其语文排名大于200，则其英语和数学排名均在150以内的概率判断④.【详解】①：三科中，数学对应的点比英语对应的点到横轴的距离近且较为密集，数学对应的点到横轴的距离比语文对应的点到纵轴距离近且较为密集，所以数学年级排名的平均数及方差均最小.判断正确；②：语文、数学、英语年级排名均在150名以外的学生为1人.判断正确；③：本次考试该班语文第一名、数学第一名、英语第一名为同一名同学.判断错误；④：由图表可知语文排名大于200的有3位同学，语文排名大于200且英语和数学排名均在150以内的同学仅有1位同学.故从该班学生中随机抽取1人，若其语文排名大于200，1则其英语和数学排名均在150以内的概率为．判断正确.3故答案为①②④三、解答题：本题共6小题，共分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16.1）证明见解析3（2）证明见解析3）61EFGBC为平行四边形，由线面平行的判定定理可得答）取点F为棱的中点，可得四边形案；1E⊥1E⊥，利用勾股（2）由面面垂直的性质定理可得平面ABCE，再由线面垂直的性质定理得定理得BEAB，最后由线面垂直的判定定理可得答案；、、z轴建立空间直角坐标系，求出CD、平⊥EA、、ED（3）以E为原点，分别以所在的直线为11ABD面的一个法向量，由线面角的向量求法可得答案.1【小问11ECF，取点F为棱的中点，连接1所以FG//，FG=，2在等腰梯形ABCD，BC//ADCE⊥，=3=3，1BC=AEFG//BC，FG=BC，所以，可得2所以四边形FGBC为平行四边形，BG//CF，又因为BG平面1EC，CF平面1EC所以BG//平面1EC；【小问2连接，因为平面1EC平面⊥ABCE，平面1EC平面=，1E1EC，1E⊥CE1E⊥，可得平面平面ABCE，⊥1E，所以，因为AB平面ABCE因为BC//ADCE⊥，AD=3BC=EC=1，所以AB=2，2，BE==2，可得AB2+BE2=AE2，即BEAB，⊥且BEE，1E平面1，⊥1所以AB平面；【小问3EA、、ED、、z轴，建立空间直角坐标系，以E为原点，分别以所在的直线为1所以()()()()，A0,0，B0C0D0,11=(−)DA=(2,0,−),DB=−)，所以CD，111)n=(x,y,zABD的一个法向量，1设为平面，即2x−z=0可得，令x=1，可得z=，y=1，2n=2)，x+y−z=0DBn01设直线CD1与平面ABD所成角为，1CnDnCD−1+21143所以sin=n,CD1==，2++613所以直线CD1与平面ABD所成角的正弦值为1.617.1）4（2）选条件②，AB的长为22+1.）利用三角形的内角和、诱导公式、二倍角的余弦公式对原始进行化简即可求解.（2）对三个条件逐项分析，利用正弦定理、余弦定理求解边AB的长度，注意题干中AB有唯一解，条件①无解，条件③有多个解，只有用条件②，AB有唯一解.【小问1B+CAA2sin2=1+sinA，则2(−)=2cos2=1+sinA，解：因为2222A2cos2−1=cosA=sinA，又0A.故2A=.所以：4【小问2解：选条件①：3，即a=b=3，==2由余弦定理得a2=b2+c2−bcA，即22=32+c−2c2，22()32−32c+5=0，=−45=−20，整理得c2故AB无解.223选条件②：cosB=,ACBC=3+2，即a+b=3++2，a，即22b13=1ab322则sinB=1B−2=，由正弦定理得=，解得a=b，3sinAsinB322+32b+b=b=3+2，解得：b==a=3.2，则所以22222214+2又sinCsin(AB)sinABAsinB=+=++=，23236ac=由正弦定理得，解得=c=22+1.sinAsinC33+3条件③：sinB=,的面积为，223=,0B,且A=B=B=或.因为sinB，故43323+3故对于条件③，B有2种可能，只要经过缩放就能使的面积为，故AB不唯一.242+2综上，选条件②，AB的长为18.1）30%；.3（2）分布列见解析；（3）D(X)DY().）先计算样本的优秀率，从而可解；（2）根据分布列的求解步骤即可求解；（3）根据两点分布的方差计算公式即可判断.【小问1高一年级知识竞赛的优秀率为(0.04+0.02)5=0.3，所以高一年级知识竞赛的优秀率为30%.【小问237在高一年级学生中选中成绩优秀学生的概率为，选中成绩不优秀学生的概率为；235在高二年级学生中选中成绩优秀学生的概率为，选中成绩不优秀学生的概率为5.的所有可能取值为0，，2，34；2273441P=0)==)==2)==3)==4)==，105250022373723966=，PPPPC12+C121010510552500332223722781237+C12C1+=，210510105510525002231023+372276C12C12=，55101052500322236=，1052500所以随机变量ξ的分布列为：Pξ012344419667812762500362500250025002500X,Y【小问3详解】显然均符合两点分布，P(X=0)=0.7,P(X==PY=0)=PY==0.4且，()=DX0.30.7=DY)=0.60.4=0.24，所以D(X)DY)x2y2c12+=1，离心率e==19.1）；43a（2）相等，理由见解析a,b）根据求椭圆方程，以及离心率；（2）首先设点P的坐标，再利用坐标分别表示两个三角形的面积，做差后，即可比较大小.【小问1由题意可知，ab==3，c=a2−2=，b1x2y2c12+=1，离心率e==所以椭圆方程为；43a【小问2(Px)0设0y02y00+2PA1:yPB:yS==(+)x2=y=，令x0，得M直线直线，0+2y0+330x−3，令y=0，得xN=，0y0+31302y00+2=+2所以+2y31030y02y00+2=+(3)(0+)+2y0(0)3xy+2yy+3000=，(+3)(+)x2y001230y0+330S=2−3=3−2y(3)+0()23y+3−3x00=()2y+30()()3xy+2yy+323y+3−3x000000S−S2=−()()(x+2)y+32y+30004y02+302−12==0(3)(+)2x2y+00S=S2所以20.【答案】(1)极小值为-，无极大值；(2)3；(3)证明见解析.【分析】(1)对函数f(x)求导，分析导函数在其零点分定义区间上的正负即可得解；(2)将给定不等式等价转化，构造函数，并讨论其最值即可得解；(3)讨论函数g(x)的零点，构造函数并讨论其单调性，再借助单调性即可作答.1x−1f(x)=x−x−2(0,+)，(x)=1−=【详解】(1)函数定义域为f，xx0x1时f(x)x1时f(x)0，x=1时，f(x)取得极小值f=1，无极大值，所以f(x)的极小值为-1，无极大值；xx+xxx+xx−1(2)xxx+xt(x−t，令h(x)=(x，x−1x+2)(x−−(xx+x)x−x−2==h(x)，(x−2(x−2f(x)=x−x−2在+)上单调递增，而f=1−ln3f(4)=2−40，由(1)知x4),f(x)=0x=x−2，当1xxf(x)h(x)0xx，当时，0，即时，00000，f(x)h(x)0h(x)x)上递减，在(x0,+)上递增，于是得在0xx+xx(x−2)+x000x=xh(x)h(0)==000==04)，则时，00−10−1t0，而tZ，则t=3从而有，t所以的最大值是3；g(x)=f(x+−e+3在(0,+)上递增，g=f(2)−e+3=3−e−20，(3)由(1)知g(2)=f−e+3=4−e−ln30，m2)大于，g(x)1即ln(x+1x+1令(x)=,x(,+)，(x)=e−x[−ln(x+，ex1x+11F(x)=−ln(x+在+)x(,+F(x)F(m)F=−20，显然上单调递减，2x(m,),(x)0+，(x)在(m,+),(,+)xx，且时，12于是得上单调递减，(x)(x)，21ln(1+ln(2+ln(1+ln(2+ee1=e1−2即，e1e22ln(1+ln(2+,(,+)xx时，12e1−2所以，且..21.1）（2）证明见解析31009）利用递推关系，根据分类讨论思想求解即可；（2）当是等差数列时，利用反证法可证明单调递减，根据等比数列的性质可证后者；anan的最大项，再证明当是奇数时，aannan1是n的奇数倍，当是偶数时，an1是的（3）先证是数列1偶数倍，即可求出.【小问1a2a=0或2，2由题可知，则因为，所以当时，1,01，则3=1或1，a3a21,a2a=02a30当a22时，=a3，则a=0或4，3a−a=a,a,a3，所以当a=13a时，4因为，4312a=0则当当当或−2，4a=03a402,0a=−2，则4时，时，时，或2，a=0，则或2，4a=13a4a=43a4a=0，则或8，4a综上，的所有可能值为；4【小问2|a−a=aa=02a或，21因为，所以211当是等差数列时，假设