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文档简介
第1页/共1页2023北京初三一模数学汇编二次函数章节综合一、单选题1.(2023·北京门头沟·统考一模)如图,正方形的边长为2,点E是上一动点(点E与点A,B不重合),点F在延长线上,,以,为边作矩形.设的长为x,矩形的面积为y,则y与x满足的函数关系的图像是(
)A. B. C. D.二、解答题2.(2023·北京平谷·统考一模)在平面直角坐标系中,点,在抛物线上.(1)求抛物线的对称轴(用含m的式子表示);(2)若,求m的取值范围;(3)若点在抛物线上,若存在,使成立,求m的取值范围.3.(2023·北京通州·统考一模)如图,是学校灌溉草坪用到的喷水设备,喷水口C离地面垂直高度为1.5米,喷出的水流都可以抽象为平面直角坐标系中的一条抛物线.(1)灌溉设备喷出水流的最远射程可以到达草坪的最外侧边沿点B,此时,喷水口C喷出的水流垂直高度与水平距离的几组数据如下表,水平距离x/米00.51234竖直高度y/米1.51.718751.87521.8751.5结合数据,求此抛物线的表达式,并求出水流最大射程的长度.(2)为了全面灌溉,喷水口C可以喷出不同射程的水流,喷水口C喷出的另外一条水流形成的抛物线满足表达式,此水流最大射程米,求此水流距离地面的最大高度.4.(2023·北京延庆·统考一模)在平面直角坐标系中,点,在抛物线上.(1)当时,求b的值;(2)点在抛物线上,若存在,使得,直接写出b的取值范围.5.(2023·北京延庆·统考一模)原地正面掷实心球是北京市初中学业水平考试体育现场考试的选考项目之一,实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分,如图所示,建立平面直角坐标系,实心球从出手到落地的过程中,它的竖直高度(单位:)与水平距离(单位:)近似满足函数关系.小明训练时,实心球的水平距离与竖直高度的几组数据如下:水平距离/m竖直高度/m1.82.432.883.153.243.15根据上述数据,解决下列问题:(1)直接写出实心球竖直高度的最大值是______;(2)求出满足的函数关系;(3)求实心球从出手到落地点的水平距离.6.(2023·北京西城·统考一模)已知抛物线的对称轴为直线.(1)若点在抛物线上,求t的值;(2)若点,在抛物线上,①当时,求a的取值范围;②若,且,直接写出a的取值范围.7.(2023·北京丰台·统考一模)赛龙舟是中国端午节的习俗之一,也是一项广受欢迎的民俗体育运动.某地计划进行一场划龙舟比赛,图1是比赛途中经过的一座拱桥,图2是该桥露出水面的主桥拱的示意图,可看作抛物线的一部分,建立如图所示的平面直角坐标系,桥拱上的点到水面的竖直高度y(单位:)与到点O的水平距离x(单位:)近似满足函数关系,据调查,龙舟最高处距离水面,为保障安全,通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少.(1)水面的宽度_______;(2)要设计通过拱桥的龙舟赛道方案,若每条龙舟赛道宽度为,求最多可设计龙舟赛道的数量.8.(2023·北京顺义·统考一模)已知:抛物线.(1)求此抛物线与y轴的交点坐标及抛物线的对称轴;(2)已知点,在该抛物线上,且位于对称轴的同侧.若,求a的取值范围.9.(2023·北京通州·统考一模)在平面直角坐标系中,已知点在二次函数的图象上.(1)当时,求b的值;(2)当,求b的取值范围.10.(2023·北京门头沟·统考一模)甲,乙两名同学进行羽毛球比赛,羽毛球发出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分.如图建立平面直角坐标系,羽毛球从O点的正上方发出,飞行过程中羽毛球的竖直高度y(单位:m)与水平距离x(单位:m)之间近似满足函数关系.比赛中,甲同学连续进行了两次发球.(1)甲同学第一次发球时,羽毛球的水平距离x与竖直高度y的七组对应数据如下:水平距离x/m0123456竖直高度y/m12.43.444.243.4根据以上数据,回答下列问题:①当羽毛球飞行到最高点时,水平距离是______m;②在水平距离5m处,放置一个高1.55m的球网,羽毛球______(填“是”或“否”)可以过网;③求出满足的函数关系;(2)甲同学第二次发球时,羽毛球的竖直高度y与水平距离x之间近似满足函数关系.乙同学在两次接球中,都是原地起跳后使得球拍达到最大高度时刚好接到球,记乙同学第一次接球的起跳点的水平距离为,第二次接球的起跳点的水平距离为,则______0(填“”“”或“”)11.(2023·北京朝阳·统考一模)一位滑雪者从某山坡滑下并滑完全程,滑行距离s(单位:m)与滑行时间t(单位:s)近似满足“一次函数”、“二次函数”或“反比例函数”关系中的一种.测得一些数据如下:滑行时间t/s01234滑行距离s/m0261220(1)s是t的函数(填“一次”、“二次”或“反比例”);(2)求s关于t的函数表达式;(3)已知第二位滑雪者也从坡顶滑下并滑完全程,且滑行距离与第一位滑雪者相同,滑行距离s(单位:m)与滑行时间t(单位:s)近似满足函数关系.记第一位滑雪者滑完全程所用时间为,第二位滑雪者滑完全程所用时间为,则___(填“<”,“=”或“>”).12.(2023·北京海淀·统考一模)“兔飞猛进”谐音成语“突飞猛进”.在自然界中,野兔善于奔跑跳跃,“兔飞猛进”名副其实.野兔跳跃时的空中运动路线可以看作是抛物线的一部分.(1)建立如图所示的平面直角坐标系.通过对某只野兔一次跳跃中水平距离x(单位:)与竖直高度y(单位:)进行的测量,得到以下数据:水平距离012竖直高度00根据上述数据,回答下列问题:①野兔本次跳跃的最远水平距离为_________,最大竖直高度为_________;②求满足条件的抛物线的解析式;(2)已知野兔在高速奔跑时,某次跳跃的最远水平距离为,最大竖直高度为.若在野兔起跳点前方处有高为的篱笆,则野兔此次跳跃_________(填“能”或“不能”)跃过篱笆.13.(2023·北京西城·统考一模)如图1,利用喷水头喷出的水对小区草坪进行喷灌作业是养护草坪的一种方法,如图2,点O处由一个喷水头,距离喷水头8m的M处有一棵高度是2.3m的树,距离这棵树10m的N处有一面高2.2m的围墙,建立如图所示的平面直角坐标系,已知某次浇灌时,喷水头喷出的水柱的竖直高度y(单位:m)与水平距离x(单位:m)近似满足函数关系.(1)某次喷水浇灌时,测得x与y的几组数据如下:x02610121416y00.882.162.802.882.802.56①根据上述数据,求这些数据满足的函数关系;②判断喷水头喷出的水柱能否越过这棵树,并说明理由.(2)某次喷水浇灌时,已知喷水头喷出的水柱的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系,假设喷水头喷出的水柱能够越过这棵树,且不会浇到墙外,下面有四个关于b的不等式:A.;
B.;C.;
D..其中正确的不等式是__________.(填上所有正确的选项)14.(2023·北京房山·统考一模)已知抛物线经过点.(1)用含的式子表示及抛物线的顶点坐标;(2)若对于任意,都有,求的取值范围.15.(2023·北京朝阳·统考一模)在平面直角坐标系中,抛物线经过点.(1)求a的值;(2)求抛物线的对称轴(用含m的式子表示);(3)点,,在抛物线上,若,求m的取值范围.16.(2023·北京门头沟·统考一模)在平面直角坐标系中,抛物线.(1)求该抛物线的顶点坐标;(2)当抛物线经过点时,①求此时抛物线的表达式;②点,在抛物线上,且位于对称轴的两侧,当时,求n的取值范围.17.(2023·北京海淀·统考一模)在平面直角坐标系中,点在抛物线上.(1)当时,比较m与n的大小,并说明理由;(2)若对于,都有,求b的取值范围.
参考答案1.C【分析】延长、相交与点,然后用含的式子表示面积,得到关于的函数解析式,根据图像即可判断.【详解】解:如图,延长、相交与点,则四边形为矩形,,所以这个函数的图像为抛物线,开口向下,只有C答案符合题意,故选C.【点睛】本题考查了二次函数的图像,根据矩形的性质通过数形结合建立函数模型是求解的关键.2.(1)(2)(3)【分析】(1)根据公式,即可求出对称轴;(2)将点,代入抛物线,根据题意列不等式,即可解答;(3)根据题意,可得在时,,再根据分别列出不等式,即可解答.【详解】(1)解:,抛物线的对称轴为;(2)解:将点,代入抛物线,可得:,,,,解得;(3)解:当时,,,,,即,解得【点睛】本题考查了二次函数的性质,利用二次函数求不等式的解集,熟知性质是解题的关键.3.(1),水流最大射程的长度为米(2)水流距离地面的最大高度为2米【分析】(1)设出抛物线的解析式,待定系数法求出解析式,令,求出水流最大射程即可.(2)根据题意,抛物线过点,待定系数法求出解析式,即可得出结果.【详解】(1)解:由表格可知,抛物线过点,根据抛物线的对称性可知,抛物线的对称轴为直线,结合表格可得:抛物线的顶点坐标为:,设抛物线的解析式为:,把代入,得:,解得:,∴;当时,,解得:或(舍掉);∴水流最大射程的长度为米;(2)解:由题意,得:抛物线过点,∴,解得:,∴,∴抛物线的顶点坐标为:,∴水流距离地面的最大高度为2米.【点睛】本题考查二次函数的实际应用.正确的求出函数解析式,利用二次函数的性质进行求解,是解题的关键.4.(1)(2)【分析】(1)当时,则,把代入,求解即可;(2)计算出抛物线的对称轴为直线,当时,点与点关于直线对称,则,即,因为,则,求解好戏可.【详解】(1)解:当时,则,把代入,得,解得:;(2)解:∵抛物线的对称轴为直线,当时,点与点关于直线对称,∴,∴,∵,∴,∴.【点睛】本题考查抛物线上点的坐标特征,抛物线的对称性质,熟练掌握抛物线上的点的坐标满足于解析式,利用抛物线解析式求对称轴和抛物线对称性的应用是解题的关键.5.(1);(2);(3)10米;【分析】(1)利用抛物线的对称性求得对称轴,再根据开口方向即可解答;(2)由表格数据得出顶点坐标,再将代入计算求值即可;(3)在函数关系中令,解一元二次方程方程即可;【详解】(1)解:由表格数据可得当和时,其函数值相同,∴二次函数的对称轴为,∵函数的开口方向向下,∴函数顶点坐标为,∴实心球竖直高度的最大值是;故答案为:(2)解:∵抛物线的顶点坐标为,∴设抛物线的表达式为,将点代入,得,解得,∴抛物线的表达式为;(3)解:令,则,解得:,(不符合题意舍去),答:实心球从出手到落地点的水平距离为10米.【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质,掌握其顶点式中为其顶点坐标是解题关键.6.(1)1(2)①或;②【分析】(1)把点代入,得,再由抛物线对称轴方程得解;(2)①由对称轴为得,分和两种情况,根据点和点与顶点的位置关系得不等式,求出的取值范围;②由已知得,分别把,代入抛物线解析式,得,,两式相减得,再由得,再由,得,从而得,所以.【详解】(1)∵点在抛物线上,∴.∴.∴.(2)①当时,,所以.∵点,在抛物线上,∴当时,有.得,得.当时,有.得,得.综上,的取值范围是或.②∵且,则,在对称轴右侧,随着的增大而增大,∴.又∵,∴,又∵,∴∴,∴,∵,∴,∴,又∵,∴,∴∴,∴,又∵,∴.∴的取值范围是.【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质,关键是根据抛物线上的点与抛物线顶点的关系,结合图象求解.7.(1)(2)4条.【分析】(1)求出抛物线与x轴的交点坐标即可得到答案;(2)求出当时,x的值,即可求出可设计赛道的宽度,再根据每条龙舟赛道宽度为即可得到答案.【详解】(1)解:令,则,∴,解得或,∴,∴,故答案为:;(2)解:令,得,∴解得,.可设计赛道的宽度为,∵每条龙舟赛道宽度为,最多可设计赛道4条.【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用,正确理解题意是解题的关键.8.(1)交点坐标:,对称轴:直线;(2).【分析】(1)根据抛物线与y轴的交点的定义及对称轴定义计算即可;(2)把,,代入函数表达式,再利用二次函数增减性判断即可.【详解】(1)令可得∴与y轴交点坐标:,对称轴为直线(2)把,,代入函数表达式得:①当A、B两点在对称轴右侧,即时,,,.,,.,②当A、B两点在对称轴左侧,即,时,,,,,.,综上所述,【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征,二次函数的性质等知识点,能综合运用知识点进行计算是解此题的关键.9.(1)(2)【分析】(1)根据抛物线的对称性,以及对称轴的公式,进行求解即可;(2)分和两种情况,结合二次函数的性质,进行求解即可.【详解】(1)解:点在二次函数的图象上,当时,和关于对称轴对称,则:抛物线的对称轴为直线:,∴;(2)解:∵,,对称轴为直线,∴当时,随的增大而增大,当时,随的增大而减小,抛物线上的点离对称轴越远,函数值越小;∵时,,∴抛物线过点,当时,,即;∵,①当时,,如图:∵,,∴,解得:;②当时,此时对称轴在轴的左侧,点离抛物线的对称轴近,∴,不满足题意;综上:.【点睛】本题考查二次函数的图像和性质.熟练掌握抛物线的对称性,以及二次函数的性质,是解题的关键.10.(1)①4;②是;③函数关系式为;(2)【分析】(1)①观察表格求得顶点坐标为,即可求解;②由,即可判断;③由顶点坐标为,得,再代入点即可求解;(2)当时,分别代入两个函数关系式,分别求得x的值,计算即可求解.【详解】(1)解:①∵的纵坐标相同,∴函数中,,∴观察表格,顶点坐标为,当羽毛球飞行到最高点时,水平距离是;故答案为:4;②当在水平距离时,竖直高度为,,∴羽毛球是可以过网的,故答案为:是;③∵顶点坐标为,∴,将点代入得,解得,∴函数关系式为;(2)解:当时,,解得,(舍去),即乙同学第一次接球的起跳点的水平距离为,当时,,解得,(舍去),即乙同学第一次接球的起跳点的水平距离为,∴,故答案为:.【点睛】本题主要考查二次函数的应用,熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键.11.(1)二次(2)(3)>【分析】(1)根据自变量增加1时,函数值依次增加2,4,6,8,可得出结论;(2)待定系数法求出函数解析式;(3)时,分别求出,,再比较大小.【详解】(1)解:根据自变量增加1时,函数值依次增加2,4,6,8,可判断为二次函数,故答案为:二次.(2)解:设s关于t的函数表达式为,根据题意,得解得∴s关于t的函数表达式为.(3)解:根据题意,当时,,∴故答案为>.【点睛】本题考查了二次函数的应用,根据点的坐标利用待定系数法求出二次函数关系式是解题的关键.12.(1)①,;②(2)能【分析】(1)①根据表格中的数据进行求解即可;②根据①所求把抛物线解析式设为顶点式,然后利用待定系数法求解即可;(2)同理求出抛物线解析式,再求出当时,的值即可得到答案.【详解】(1)解:①由表格中的数据可知,当时,,∴野兔本次跳跃的最远水平距离为,∴满足题意的抛物线对称轴为直线,∵抛物线开口向下,∴当,y最大,∴由表格数据可知最大竖直高度为,故答案为:,;②由①可知抛物线顶点坐标为,∴可设抛物线解析式为,∴,∴,∴抛物线解析式为(2)解:∵某次跳跃的最远水平距离为,最大竖直高度为,∴此时满足题意的抛物线顶点坐标为,同理可求出此时抛物线的解析式为,当时,,∵,∴野兔此次跳跃能跃过篱笆,故答案为:能.【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用,正确理解题意求出对应的抛物线解析式是解题的关键.13.(1)①;②喷水头喷出的水柱能够越过这棵树,理由见解析(2)A,C【分析】(1)①设抛物线解析式为,把代入解析式确定a值即可.②根据抛物线的对称性解答即可.(2)根据题意,得到当时,,当,,转化成x的代数式即可.【详解】(1)①由题意可设所求的的函数关系式为.∵点(0,0)在该函数的图像上,∴.解得.故求的的函数关系为.即.②喷水头喷出的水柱能够越过这棵树.理由如下:∵当时的函数值与当时的函数值相等,∴当时,.∴喷水头喷出的水柱能够越过这棵树.(2)根据题意,得到当时,,当,,∵∴,,故选A,C,故答案为:A,C.【点睛】本题考查了抛物线解析式的确定,抛物线的对称性,抛物线的应用,熟练掌握抛物线的性质是解题的关键.14.(1),抛物线的顶点坐标为;(2)或.【分析】(1)把点代入计算可求得含的式子表示的代数式,配方成顶点式,即可求解;(2)由(1)知抛物线的对称轴为直线,抛物线开口向上,离对称轴越远函数值越大,则当时,代入计算,解不等式即可求解.【详解】(1)解:∵抛物线经过点,∴,∴,∵,∴抛物线的顶点坐标为;(2)解:∵,∴抛物线的对称轴为直线,又∵抛物线开口向上,离对称轴越远函数值越大,且,∴当时,,即,∴,∴或,解得或.【点睛】本题考查了二次函数的顶点坐标,函数的增减性,在本题的解答中,除了必要的理论依据外,还需要学生具有比较强的解不等式的能力.15.(1)1(2)(3)【分析】(1)将点代入抛物线解析式计算即可;(2)结合(1)中的结果,将抛物线解析式化为顶点式即可求解;(3)分两种情况讨论:①当时,可知点,,从左至右分布,根据可得,根据可得,即可求解;②当时,即,即有,可得,与题意不符,舍去.【详解】(1
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