重难点培优：与绝对值有关的十种常见题型与解法（解析版）

与绝对值有关的十种常见题型与解法（重难点培优提升）类型一、绝对值的有关概念1．（23-24·吉林延边·阶段练习）在下列数中，绝对值最大的数是（

）A．0 B． C． D．1【答案】C【分析】本题考查的是绝对值与有理数的大小比较，熟练掌握上述知识点是解题的关键．先计算出各选项的绝对值，再进行大小比较即可．【详解】解：∵，而，，故选：C．2．（23-24七年级上·甘肃定西·阶段练习）如果a的相反数是，那么．【答案】0.74【分析】本题主要考查了绝对值和相反数的知识，根据“只有符号不相同的两个数互为相反数；互为相反数的两个数绝对值相等”求解即可．【详解】解：a的相反数是，则：，∴，故答案为：．3．（23-24七年级上·全国·课后作业）化简下列各数：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)2【分析】（1）根据绝对值的意义解答；（2）根据相反数的意义解答；（3）根据相反数的意义解答；（4）根据绝对值的意义解答．【详解】（1）；（2）；（3）；（4）．【点睛】本题考查了多重符号的化简，涉及相反数和绝对值，熟练掌握有理数的基本知识是关键．类型二、绝对值的几何意义4．（2024·辽宁抚顺·三模）下列各数在数轴上表示的点距离原点最远的是（

）A． B． C．3 D．0【答案】C【分析】本题考查了绝对值的意义，依题意，选项的每个数值的绝对值最大即为距离原点最远，即可作答．【详解】解：∵，，，∵，∴距离原点最远的是3．故选：C．5．（23-24七年级上·四川宜宾·期中）若有理数在数轴上的位置如图所示，则化简结果是．【答案】【分析】本题考查去绝对值，涉及数轴性质、绝对值意义及整式加减运算，根据数轴得到的范围，利用绝对值意义去绝对值，最后利用整式加减运算求解即可得到答案，熟练掌握绝对值的意义是解决问题的关键．【详解】解：由图可知，，，故答案为：．6．（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）已知，则；【答案】或；【分析】本题考查绝对值的应用及数轴上两点间距离，根据，分在左边与右边两类讨论即可得到答案；【详解】解：∵，∴数在左边或右边，当数在左边时，∵，∴，解得：，当数在右边时，∵，∴，解得：，故答案为：或．类型三、绝对值的非负性7．（23-24七年级下·河南南阳·期末）已知，则的取值范围是．【答案】【分析】此题考查解一元一次不等式，绝对值的意义，根据绝对值的性质可得是非负数，据此即可得到不等式，从而求解．【详解】解：∵，∴∴∴，故答案为：．8．（24-25七年级上·全国·随堂练习）如果且．则下列说法中可能成立的是（）A．a、b为正数，c为负数 B．a、c为正数，b为负数C．b、c为正数，a为负数 D．a、b、c为正数【答案】A【分析】此题考查了有理数的加法和绝对值的意义的综合运用能力，由题意得a，b，c三个数至少有一个正数，且至少有一个为负数，且，所以可能a，b为正数c为负数，也可能a，b为负数c为正数．【详解】解：且，a，b，c三个数至少有一个正数，且至少有一个为负数，且，可能a，b为正数c为负数，也可能a，b为负数c为正数，故选：A．9．（23-24·黑龙江哈尔滨·期中）已知为有理数，则的最小值为．【答案】4【分析】本题考查了绝对值的非负性，解题的关键是掌握正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．根据绝对值的非负性即可解答．【详解】解：∵，∴，∴的最小值为4，故答案为：4．类型四、利用绝对值进行大小比较10．（24-25七年级上·全国·随堂练习）比较大小：．【答案】【分析】本题考查了绝对值和有理数的大小比较，熟练掌握正数都大于零；负数都小于零；正数大于负数；两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解题关键．先化简绝对值，再根据有理数的大小比较方法求解即可得．【详解】解：因为，，，所以，故答案为：．11．（24-25七年级上·全国·假期作业）比较下列各对数的大小：①与；②与；③与；④与．【答案】①；②；③；④【分析】本题主要考查有理数比较大小，绝对值的性质的运用，掌握有理数比较大小的方法是解题的关键．①两个负数比较大小，绝对值大的反而小，由此即可求解；②先化简绝对值，再根据负数小于零，即可求解；③两个负数比较大小，绝对值大的反而小，由此即可求解；④先化简，再根据负数小于零，即可求解．【详解】解：①∵，，，∴；②，因为负数小于，所以；③∵，，，∴；④分别化简两数，得：，∵正数大于负数，∴．12．（23-24七年级上·湖南怀化·期末）已知下列各数，按要求完成各题：，，0，，6，，．(1)负数集合：{

．．．．．．}；(2)用“”把它们连接起来是；(3)画出数轴，并把已知各数表示在数轴上．【答案】(1)，，，(2)(3)见解析【分析】本题主要考查了用数轴表示有理数，有理数比较大小，负数的定义，化简绝对值和多重符号：（1）先化简绝对值和多重符号，再根据负数是小于0的数进行求解即可；（2）根据正数大于0，0大于负数，两个负数比较大小绝对值越大其值越小进行求解即可；（3）在数轴上表示出各数即可．【详解】（1）解：，，∴负数有，，，；（2）解：∵，∴，故答案为：；（3）解：如图所示，即为所求．13．（23-24七年级上·海南省直辖县级单位·期末）如果，则的值为（

）A．1 B．3 C． D．【答案】A【分析】本题考查了绝对值及平方非负性的应用，由题意得是解题关键．【详解】解：∵，，∴∴∴故选：A14．（23-24·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知，求的值．【答案】2【分析】本题考查了绝对值的非负性，正确熟练掌握绝对值的非负性是解决本题的关键．由绝对值的非负性结合与的和为0可求解．【详解】解：由题意得：，∵，∴，解得：，∴．15．（21-22七年级上·陕西·期中）已知（a＋2）2＋|b﹣3|＝0，c是最大的负整数，求a3＋a2bc﹣a的值．【答案】-19【分析】根据非负数的性质求出a、b的值，代入代数式求值即可．【详解】解：∵（a＋2）2＋|b﹣3|＝0，∴a＋2＝0，b﹣3＝0，∴a＝-2，b＝3，c是最大的负整数，c=-1，a3＋a2bc﹣a=，【点睛】本题考查了非负数的性质和求代数式的值，解题关键是根据题意求出字母的值．二、填空题16．（23-24七年级上·四川南充·阶段练习）若，求代数式．【答案】【分析】本题考查了绝对值的定义，代数式，解题的关键是掌握绝对值的定义．根据绝对值的定义求解即可．【详解】解：，，，，，，，，故答案为：117．（23-24·上海杨浦·期末）的最小值为．【答案】【分析】本题考查了绝对值的意义，根据绝对值的意义，结合图形解答即可求解，掌握数形结合思想是解题的关键．【详解】解：式子表示对应的点分别与到对应的点的距离和，可知当在和的中点时，即，距离和最小，最小值为，故答案为：．18．（2024七年级下·北京·专题练习）已知，化简．【答案】【分析】此题考查了绝对值的化简、整式的加减、不等式的性质，先求出代数式的范围，再化简绝对值，最后合并同类项即可．【详解】解：∵，∴，，∴．故答案为：．三、解答题19．（24-25七年级上·全国·随堂练习）在数轴上，a，b，c对应的数如图所示，．(1)确定符号：a______0，b______0，c_____0，_____0，______0；(2)化简：；(3)化简：．【答案】(1)；；；；(2)(3)【分析】本题考查数轴判断式子的正负，化简绝对值，关键是数形结合解题．（1）通过数轴直接判断出每个字母的正负，结合即可得出结果；（2）通过字母的正负化简绝对值即可；（3）通过字母以及式子的正负化简绝对值即可；．【详解】（1）解：（1）由数轴知，，故答案为：；；；；；（2）；（3）．20．（23-24·北京海淀·期中）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示．(1)用“＞”“＜”或“＝”填空：______0，______0，______0．(2)化简：．【答案】(1)，，(2)【分析】本题主要考查了利用数轴确定代数式的正负、绝对值的化简等知识点，掌握利用数轴确定代数式的正负成为解题的关键．（1）先根据数轴取得a、b、c的大小关系，然后再确定所求代数式的正负即可；（2）根据（1）所的代数式的正负取绝对值，然后再合并同类项即可．【详解】（1）解：由数轴可得：，则．故答案为：，，．（2）解：∵，∴．21．（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）求解含绝对值的一元一次方程的方法我们没有学习过，但我们可以采用分类讨论的思想先把绝对值去除，使得方程成为一元一次方程，这样我们就能轻松求解了．比如，求解方程：．解：当时，原方程可化为，解得；当时，原方程可化为，解得，所以原方程的解是或．请你依据上面的方法，求解方程：，得到的解为．【答案】或【分析】根据绝对值的化简方法计算即可，本题考查了绝对值的化简，正确化简绝对值是解题的关键．【详解】解：当时，原方程可化为，解得；当时，原方程可化为，解得，所以原方程的解是或．故答案为：或．22．（23-24七年级下·甘肃天水·期中）阅读下列材料：我们知道表示的是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即，也就是说，对表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为表示在数轴上数，对应点之间的距离．例1：解方程．解：∵，∴在数轴上与原点距离为6的点对应的数为，即该方程的解为．例2：解不等式．解：如图，首先在数轴上找出的解，即到1的距离为2的点对应的数为，3，则的解集为到1的距离大于2的点对应的所有数，所以原不等式的解集为或．参考阅读材料，解答下列问题：(1)方程的解为______；(2)解不等式；(3)若，则x的取值范围是_______；【答案】(1)或(2)(3)【分析】本题考查含绝对值的一元一次方程，不等式，利用绝对值的性质，借助数轴表示其实际意义进行求解，熟练运用数形结合思想是解题的关键．（1）将表示在数轴上与5的距离为3的点对应的数，借助数轴求解即可；（2）首先找的解，即到距离为4的点对应的数为和2，再根据表示到的距离小于4的点对应的所有数，借助数轴求解即可；（3），表示到1的点与到的点距离和为3，借助数轴求解即可．【详解】（1）解：，在数轴上与5的距离为3的点对应的数是2或8，则该方程的解为：或．故答案为：或．（2），首先找的解，即到距离为4的点对应的数为和2，表示到的距离小于4的点对应的所有数，不等式解集为；（3），表示到1的点与到的点距离和为3，与1之间的距离为3，；故答案为：．23．（24-25七年级上·全国·假期作业）数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离．

利用数形结合思想回答下列问题：(1)数轴上表示x和的两点之间的距离表示为．(2)若，则．(3)最大值为，最小值为．【答案】(1)(2)1或(3)5，【分析】本题考查数轴、绝对值的意义，读懂题目信息、理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键．（1）根据数轴上A、B两点之间的距离即可解答；（2）分两种情况，将绝对值方程转化为两个方程求解，即得答案；（3）可看作是数轴上表示x的点到3、两点的距离之差，据此即可解答．【详解】（1）数轴上x和两点之间的距离表示为；故答案为：．（2）

或，或；

故答案为：1或．（3）式子可看作是数轴上表示x的点到3、两点的距离之差，∴当时，有最大值5；当时，有最小值．

故答案为：5；．24．（23-24七年级上·四川南充·阶段练习）我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点，，分别用数，表示，那么，两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离，利用此结论，回答以下问题：(1)数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离是_________，数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离是_________．(2)数轴上点用数表示，则①若，那么的值是_________．②有最小值，最小值是_________；③求的最小值．【答案】(1)，(2)①或；②；③【分析】本题考查绝对值的性质、数轴上两点间的距离，熟练掌握绝对值的意义和性质，逐步探索变化规律是解题的关键．（1）根据两点间的距离公式求解即可；（2）①利用绝对值的定义可得或，即可求解；②由表示：数轴上表示数的点到的距离与表示数的点到的距离之和，根据两点间线段最短即可求解；③该式子表示数轴上点到、、、、的距离之和，根据两点之间线段最短和绝对值的意义可知：当时，原式有最小值，然后去取绝对值，利用求和公式计算即可．【详解】（1）解：数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离是：，数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离是：，故答案为：，；（2）①若，那么或，解得：或，故答案为：或；②表示：数轴上表示数的点到的距离与表示数的点到的距离之和，由两点间线段最短可知：当时，有最小值，最小值是，故答案为：；③的中间一项是，当时，原式有最小值，的最小值是．25．（23-24·黑龙江哈尔滨·期中）出租车司机李师傅某日上午一直在某市区一条东西方向的公路上营运，共连续运载八批乘客，若按规定向东为正，李师傅营运八批乘客里程数记录如下（单位：千米）：，，，，，，，．(1)将最后一批乘客送到目的地后，李师傅位于第一批乘客出发地多少千米？(2)若出租车的收费标准为：起步价元（不超过千米），超过千米，超过部分每千米元，不超过千米则收取起步价，求李师傅在这期间一共收入多少元？【答案】(1)将最后一批乘客送到目的地后，李师傅位于第一批乘客出发地千米(2)李师傅在这期间一共收入元【分析】本题考查了正负数的实际应用，有理数的四则运算的应用，理解正负数的意义、正确计算是解题的关键．（）把记录的数相加即可得出答案；（）根据收费标准列式计算即可．【详解】（1）解：，答：将最后一批乘客送到目的地后，李师傅位于第一批乘客出发地千米；（2）解：∵出租车的收费标准为：起步价元（不超过千米），超过千米，超过部分每千米元，不超过千米则收取起步价，八批乘客里程数记录中，，，∴（元），答：李师傅在这期间一共收入元．26．（23-24·黑龙江哈尔滨·阶段练习）刚刚闭幕的第33届“哈洽会”，于2024年5月16日至21