2024年高考数学真题模拟测试卷二含解析

2024年高考数学真题+模拟重组卷（新高考地区专用）（一）历年真题精选姓名：__________________班级：______________得分：_________________留意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1．（2024·海南高考真题）（）A．1 B．−1C．i D．−i【答案】D【详解】故选：D2．（2024·天津高考真题（理））设全集为R，集合，，则A． B． C． D．【答案】B【解析】详解：由题意可得：，结合交集的定义可得：.本题选择B选项.3．（2015·四川高考真题（理））设，都是不等于的正数，则“”是“”的（）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若，则，从而有，故为充分条件.若不肯定有，比如.，从而不成立.故选B.4．（2015·山东高考真题（文））设函数，若，则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意得，当时，即，则，解得（舍去）；当时，即，则，解得，故选D．5．（2024·全国高考真题（理））若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（）A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+【答案】D【详解】设直线在曲线上的切点为，则，函数的导数为，则直线的斜率，设直线的方程为，即，由于直线与圆相切，则，两边平方并整理得，解得，（舍），则直线的方程为，即.故选：D.6．（2024·全国高考真题（文））函数f(x)=sin(x+)+cos(x−)的最大值为A． B．1 C． D．【答案】A【解析】由诱导公式可得，则,函数的最大值为.所以选A.7．（2024·全国高考真题（理））(2024高考新课标III，理3)已知向量,则ABC=A．30 B．45 C．60 D．120【答案】A【解析】试题分析：由题意，得，所以，故选A．8．（2024·海南高考真题）日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为（）A．20° B．40°C．50° D．90°【答案】B【详解】画出截面图如下图所示，其中是赤道所在平面的截线；是点处的水平面的截线，依题意可知；是晷针所在直线.是晷面的截线，依题意依题意,晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直，依据平面平行的性质定理可得可知、依据线面垂直的定义可得..由于，所以，由于，所以，也即晷针与点处的水平面所成角为.故选：B多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．（2024·海南高考真题）我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推动复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，下列说法正确的是（）A．这11天复工指数和复产指数均逐日增加;B．这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量;C．第3天至第11天复工复产指数均超过80%;D．第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量;【答案】CD【详解】由图可知，第1天到第2天复工指数削减，第7天到第8天复工指数削减，第10天到第11复工指数削减，第8天到第9天复产指数削减，故A错误；由图可知，第一天的复产指标与复工指标的差大于第11天的复产指标与复工指标的差，所以这11天期间，复产指数增量小于复工指数的增量，故B错误;由图可知，第3天至第11天复工复产指数均超过80%，故C正确;由图可知，第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量，故D正确;10．（2024·海南高考真题）下图是函数y=sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)=（）

A． B． C． D．【答案】BC【详解】由函数图像可知：，则，所以不选A,当时，，解得：，即函数的解析式为：.而故选：BC.11．（2024·海南高考真题）已知曲线.（）A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B．若m=n>0，则C是圆，其半径为C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为D．若m=0，n>0，则C是两条直线【答案】ACD【详解】对于A，若，则可化为，因为，所以，即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故A正确；对于B，若，则可化为，此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，故B不正确；对于C，若，则可化为，此时曲线表示双曲线，由可得，故C正确；对于D，若，则可化为，，此时曲线表示平行于轴的两条直线，故D正确；故选：ACD.12．（2024·海南高考真题）信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X全部可能的取值为，且，定义X的信息熵.（）A．若n=1，则H(X)=0B．若n=2，则H(X)随着的增大而增大C．若，则H(X)随着n的增大而增大D．若n=2m，随机变量Y全部可能的取值为，且，则H(X)≤H(Y)【答案】AC【详解】对于A选项，若，则，所以，所以A选项正确.对于B选项，若，则，，所以，当时，，当时，，两者相等，所以B选项错误.对于C选项，若，则，则随着的增大而增大，所以C选项正确.对于D选项，若，随机变量的全部可能的取值为，且（）..由于，所以，所以，所以，所以，所以D选项错误.故选：AC三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．（2015·广东（理））已知随机变量X听从二项分布B～（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，则P=__________．【答案】【解析】随机变量X听从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，可得np=30，npq=20，q=，则p=，故答案为．14．（2024·全国高考真题（理））函数在的零点个数为________．【答案】【详解】详解：由题可知，或解得,或故有3个零点．15．（2024·江苏高考真题）若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为__________．【答案】.【解析】由得，因为函数在上有且仅有一个零点且，所以，因此从而函数在上单调递增，在上单调递减，所以，16．（2024·北京高考真题（理））设函数f（x）=ex+ae−x（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=________；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是___________．【答案】-1;.【详解】若函数为奇函数,则，对随意的恒成立.若函数是上的增函数,则恒成立,.即实数的取值范围是四、解答题(本大题共6小题，共70分)17．（2024·全国高考真题（理））设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．（1）求的公比；（2）若，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）.【详解】（1）设的公比为，为的等差中项，，；（2）设的前项和为，，，①，②①②得，，.18．（2015·山东高考真题（理））设.（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）在锐角中，角的对边分别为,若,求面积的最大值.【答案】（Ⅰ）单调递增区间是；单调递减区间是（Ⅱ）面积的最大值为【解析】（Ⅰ）由题意知由可得由可得所以函数的单调递增区间是；单调递减区间是（Ⅱ）由得由题意知为锐角，所以由余弦定理：可得：即：当且仅当时等号成立.因此所以面积的最大值为19．（2015·重庆高考真题（理））如图，三棱锥中，平面，，．分别为线段上的点，且．(1)证明：平面；(2)求二面角的余弦值．【答案】（1）见解析；（2）【详解】（1）证明：由PC平面ABC，DE平面ＡＢＣ，故PCDE由CE＝２，CD=DE＝得ＣＤＥ为等腰直角三角形，故CDDE由PCCD=C，DE垂直于平面PCD内两条相交直线，故DE平面PCD（2）解：由（１）知，CDE为等腰直角三角形，DCE＝，如（１９）图，过点Ｄ作DF垂直CE于Ｆ，易知DF＝FC＝EF＝１，又已知EB＝１，故FB＝２．由ACB＝得DFAC，，故AC＝DF＝．以Ｃ为坐标原点，分别以的方程为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则Ｃ（0,0,0,），Ｐ（0,0,3），Ａ（,0,0）,Ｅ（0,2,0），Ｄ（1,1,0），设平面的法向量，由，，得.由（1）可知DE平面PCD，故平面PCD的法向量可取为,即.从而法向量，的夹角的余弦值为，故所求二面角A-PD-C的余弦值为.20．（2014·全国高考真题（理））从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下图频率分布直方图：（I）求这500件产品质量指标值的样本平均值和样本方差（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）；（II）由直方图可以认为，这种产品的质量指标听从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.（i）利用该正态分布，求；（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记表示这100件产品中质量指标值位于区间的产品件数.利用（i）的结果，求.附：若则，．【答案】（I）；（II）（i）；（ii）．【解析】（I）抽取产品的质量指标值的样本平均值和样本方差分别为，．（II）（i）由（I）知，听从正态分布，从而．（ii）由（i）可知，一件产品的质量指标值位于区间的概率为，依题意知，所以．21．（2024·上海高考真题）设常数．在平面直角坐标系中，已知点，直线：，曲线：．与轴交于点、与交于点．、分别是曲线与线段上的动点．（1）用表示点到点距离；（2）设，，线段的中点在直线，求的面积；（3）设，是否存在以、为邻边的矩形，使得点在上？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）；（2）；（3）见解析.【详解】（1）方法一：由题意可知：设，则，∴；方法二：由题意可知：设，由抛物线的性质可知：，∴；（2），，，则，∴，∴，设的中点，，，则直线方程：，联立，整理得：，解得：，（舍去），∴的面积；（3）存在，设，，则，，直线方程为，∴，，依据，则，∴，解得：，∴存在以、为邻边的矩形，使得点在上，且．22．（2024·四川高考真题（文））设函数f（x）=ax2–a–lnx，g（x）=，其中a∈R，e=2.718…为自然对数的底数.（Ⅰ）探讨f（x）的单调性；（Ⅱ）证明：当x＞1时，g（x）＞0；（Ⅲ）确定a的全部可能取值，使得f（x）＞g（x）在区间（1，+∞）内恒成立.【答案】（Ⅰ）当时，<0，单调递减；当时，＞0，单调递增；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）.【解析】（Ⅰ）<0，在内单调递减.由=0有.当时，<0，单调递减；当时，＞0，单调递增.（Ⅱ）令=，则=.当时，＞0，所以，从而=＞0.（Ⅲ）由（Ⅱ），当时，＞0.当，时，=.故当＞在区间内恒成立时，必有.当时，＞1.由（Ⅰ）有,而，所以此时＞在区间内不恒成立.当时，令=（）.当时，=.因此，在区间单调递增.又因为=0，所以当时，=＞0，即＞恒成立.综上，.（二）2024新高考模拟卷姓名：__________________班级：______________得分：_________________留意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1．（2024·广东广州市·高三月考）已知复数，则（）A． B．3 C． D．5【答案】D【详解】，所以，故选：D2．（2024·河南高二期中（理））已知集合，，则（）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为，或，则.故选：D.3．（2024·四川成都七中高二期中）已知，则“”是“方程表示双曲线”的（）A．充分必要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】∵若表示双曲线，则，即或，或，∴“”是“表示双曲线”的充分不必要条件.故选：B.4．（2024·江西高三其他模拟（文））众所周知的“太极图”，其形态如对称的阴阳两鱼互抱在一起，也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”．整个图形是一个圆形．其中黑色阴影区域在y轴右侧部分的边界为一个半圆，给出以下命题：①在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是②当时，直线y＝ax+2a与白色部分有公共点；③黑色阴影部分（包括黑白交界处）中一点（x，y），则x+y的最大值为2；④设点P（﹣2，b），点Q在此太极图上，使得∠OPQ＝45°，b的范围是[﹣2，2]．其中全部正确结论的序号是（）A．①④ B．①③ C．②④ D．①②【答案】A【详解】对于①，将y轴右侧黑色阴影部分补到左侧，即可知黑色阴影区域占圆的面积的一半，依据几何概型的计算公式，所以在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是，正确；对于②，当时，直线,过点，所以直线与白色部分在第I和第IV象限部分没有公共点.圆的圆心为，半径为，圆心到直线，即直线的距离为，所以直线与白色部分在第III象限的部分没有公共点.综上所述，直线y＝ax+2a与白色部分没有公共点，②错误；对于③，设l：z＝x+y，由线性规划学问可知，当直线l与圆x2+（y﹣1）2＝1相切时，z最大，由解得z（舍去），③错误；对于④，要使得∠OPQ＝45°，即须要过点P的两条切线所成角大于等于，所以，即OP≤2，于是22+b2≤8，解得．故选：A5．（2024·全国高三专题练习）如图，正方体中，P为底面上的动点，于E，且则点P的轨迹是（）A．线段 B．圆 C．椭圆的一部分 D．抛物线的一部分【答案】A【详解】连结，可证，即，即点E是体对角线上的定点，直线AE也是定直线．，∴动点P必定在线段AE的中垂面上，则中垂面与底面的交线就是动点P的轨迹，所以动点P的轨迹是线段．故选：A6．（2024·重庆市万州其次高级中学高二期中）在边长为a菱形中，，将这个菱形沿对角线折起，使得平面平面，若此时三棱锥的外接球的表面积为，则（）A． B． C． D．3【答案】B【详解】解:如图①所示，取的中点，连接，由题意知都是等边三角形，设边长为.如图②，由题意知为等腰直角三角形，在中，分别是上靠近的三等分点.即为三棱锥外接球的半径，所以.在中，，解得：.故选:7．（2024·全国高三其他模拟）已知定义在上的函数是奇函数，当时，，则不等式的解集为（）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为函数是定义在上的奇函数，所以函数的图像关于点中心对称，且，当时，，则，当且仅当时取等号，故，函数在上单调递增，因为函数的图像关于点中心对称，所以函数在上单调递增，不等式可化为或，，即，解得，，即，解得，故不等式的解集为，故选：D.8．（2024·湖北）如图，在中，，，点为边上的一动点，则的最小值为（）A．0 B． C． D．【答案】C【详解】如图所示，作，，，可得，即，利用向量的三角形法则，可知若与O重合，则若在O左侧，即在上时,若在O右侧，即在上时，，明显此时最小，利用基本不等式（当且仅当，即为中点时取等号）故选：C.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．（2024·湖南高三月考）已知函数，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且直线是其中一条对称轴，则下列结论正确的是（）A．函数的最小正周期为 B．C．函数在区间上单调递增 D．点是函数图象的一个对称中心【答案】ACD【详解】因为图象相邻两条对称轴之间的距离为，所以,,,又直线是其中一条对称轴，所以，，即，，由，得，所以所以的最小正周期A正确；因为，所以B错误；由，，解得单调递增区间为，，取可知C正确；由，解得，，取可知D正确.故选：ACD10．（2024·全国高二单元测试）若实数m的取值使函数在定义域上有两个极值点，则称函数具有“凹凸趋向性”，已知是函数的导数，且，当函数具有“凹凸趋向性”时，m的取值范围的子集有（）A． B． C． D．【答案】BD【详解】依题意得，若函数具有“凹凸趋向性”，则在上有2个不同的实数根，令，则，令，解得；令，解得，∴在上单调递减，在上单调递增，故的最小值是，当时，，故，故选：BD．11．（2024·江苏淮安市·马坝中学高二月考）设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d．已知a3＝12，S12＞0，a7＜0，则（）A．a6＞0B．C．Sn＜0时，n的最小值为13D．数列中最小项为第7项【答案】ABCD【详解】∵S12＞0，a7＜0，∴＞0，a1+6d＜0．∴a6+a7＞0，a6＞0．∴2a1+11d＞0，a1+5d＞0，又∵a3＝a1+2d＝12，∴＜d＜﹣3．a1＞0．S13＝＝13a7＜0．∴Sn＜0时，n的最小值为13．数列中，n≤6时，＞0，7≤n≤12时，＜0，n≥13时，＞0．对于：7≤n≤12时，＜0．Sn＞0，但是随着n的增大而减小；an＜0，但是随着n的增大而减小，可得：＜0，但是随着n的增大而增大．∴n＝7时，取得最小值．综上可得：ABCD都正确．故选：ABCD．12．（2024·江苏南通市·高一期末）某同学在探讨函数的性质时，联想到两点间的距离公式，从而将函数变形为，则下列结论正确的是（）A．函数在区间上单调递减，上单调递增B．函数的最小值为，没有最大值C．存在实数，使得函数的图象关于直线对称D．方程的实根个数为2【答案】ABD【详解】设点，，函数表示x轴上的点到A、B两点的距离之和，由图可知，当点P由x的负半轴方向向原点O移动时，的和渐渐变小，即函数区间上单调递减，当点P由点A向x的正半轴方向移动时，的和渐渐变大，即函数在区间上单调递增，故A正确；当点P移动到点A时，的和最小，最小值为，没有最大值，即函数的最小值为，没有最大值，故B正确；，而，明显，故不存在存在实数，使得函数的图象关于直线对称，故C错误；方程即，由选项A可知，函数在区间上单调递减，上单调递增，当时，，当时，，所以存在唯一的，使得，当时，故等价于，解得，舍去，综上，方程的实根个数为2，D正确.故选：ABD.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．（2024·云南昆明市·昆明一中（理））函数取最小值时的取值范围是________.【答案】【详解】因为，所以，当时，y取最小值，此时，所以x的范围为.故答案为：.14．（2024·上海市南洋模范中学高一期中）已知正数x，y满意且有解，则实数m的取值范围是______.【答案】【详解】由已知得：，，当且仅当时取等号；由题意：，即，解得：或，故答案为：.15．（2024·沈阳市·辽宁省试验中学分校高二期末）已知函数，其中为自然对数的底数，若函数与的图像恰有一个公共点，则实数的取值范围是______．【答案】或【解析】因为，所以函数在上为增函数且，所以当时，与有一个公共点，当时，令有一解即可，设，令得，因为当时，，当时，，所以当时，有唯一微小值，即有最小值，故当时有一公共点，故填或.16．（2024·江苏南通市·高一期中）十六、十七世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，约翰•纳皮尔正是在探讨天文学的过程中，为了简化其中的计算而独创了对数，后来天才数学家欧拉发觉了对数与指数的关系，即，现已知，则____，_____．【答案】1【详解】由题意知，可得，所以，所以，又由，所以.故答案为：，.四、解答题(本大题共6小题，共70分)17．（2024·全国高三其他模拟）记为数列的前项和，已知，．数列满意．（1）求的通项公式；（2）令，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）.【详解】（1）由，得，所以，即，所以数列是首项，公比为2的等比数列，所以，即．（2）由（1）得，所以．设，①则，②①-②，得，所以．所以．18．（2024·上海嘉定区·高三一模）已知函数的最小正周期为.（1）求的值及函数的值域；（2）在中，内角，，所对应的边长分别为，，，若，，的面积为，，求的值.【答案】（1）；值域为；（2）4.【详解】解：（1）因为函数的最小正周期为，由，又因为所以.此时，则得，即，即当时，，，所以所求函数的值域为.（2）由题意得因为则得，所以，解得因为的面积为，则得，即，即.又因为，由余弦定理，得所以.19．（2024·全国高三其他模拟）为了了解某类工程的工期，某公司随机选取了10个这类工程，得到如下数据（单位：天）：17，23，19，21，22，21，19，17，22，19．（1）若该类工程的工期听从正态分布，用样本的平均数和标准差分别作为和的估计值．（ⅰ）求和的值；（ⅱ）由于疫情须要，要求在22天之内完成一项此类工程，估计能够在规定时间内完成该工程的概率（精确到0.01）．（2）在上述10个这类工程的工期中任取2个工期，设这2个工期的差的肯定值为，求的分布列和数字期望．附：若随机变量听从正态分布，则，，．【答案】（1）（ⅰ），；（ⅱ）0.84；（2）分布列见解析，.【详解】解：（1）（ⅰ）样本的平均数为，样本的标准差为．因此，．（ⅱ）22天之内完成该工程的概率，所以估计能够在规定时间内完成该工程的概率为0.84．（2）把这10个工期从小到大排列，为17，17，19，19，19，21，21，22，22，23，则的可能取值为0，1，2，3，4，5，6，，，，，，，．所以的分布列是0123456的数学期望是．20．（2024·贵州安顺市·高三其他模拟（理））如图，底边是边长为