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第一章测评(时间:120分钟满分:150分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.已知集合A={1,3,5,7},B={2,3,4,5},则A∩B=()A.{3} B.{5} C.{3,5} D.{1,2,3,4,5,7}解析集合A,B的公共元素为3,5,故A∩B={3,5}.答案C2.已知集合A={x|x-1≥0},B={0,1,2},则A∩B=()A.{0} B.{1} C.{1,2} D.{0,1,2}解析由题意得A={x|x≥1},B={0,1,2},∴A∩B={1,2}.答案C3.设x∈R,则“x3>8”是“|x|>2”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析由x3>8,所以x>2⇒|x|>2;当|x|>2时,则x>2或x<-2,不能得到x3>8,比如x=-3.所以“x3>8”是“|x|>2”的充分不必要条件.答案A4.已知全集U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1},则集合∁U(A∪B)=()A.{x|x≥0} B.{x|x≤1} C.{x|0≤x≤1} D.{x|0<x<1}解析∵U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1},∴A∪B={x|x≤0,或x≥1},∴∁U(A∪B)={x|0<x<1}.答案D5.已知M,N都是U的子集,则图中的阴影部分表示()A.M∪N B.∁U(M∪N)C.(∁UM)∩N D.∁U(M∩N)解析图中的阴影部分为M∪N的补集.答案B6.(2024邢台高一检测)若{1,2}⊆A⊆{1,2,3,4,5},则满意条件的集合A的个数是()A.6 B.7 C.8 D.9解析∵{1,2}⊆A⊆{1,2,3,4,5},∴集合A中必需含有1,2两个元素,因此满意条件的集合A为{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,5},{1,2,3,4,5},共8个.答案C7.设全集U是实数集R,M={x|x>2或x<-2},N={x|x≥3或x<1}都是U的子集,则图中阴影部分所表示的集合是()A.{x|-2≤x<1} B.{x|-2≤x≤2}C.{x|1<x≤2} D.{x|x<2}解析∵图中阴影部分表示:x∈N且x∉M,∴x∈N∩∁UM.∴∁UM={x|-2≤x≤2},∴N∩∁UM={x|-2≤x<1}.故选A.答案A8.设集合A={x|a-1<x<a+1,x∈R},B={x|1<x<5,x∈R}.若A∩B=⌀,则实数a的取值范围是()A.[0,6] B.(-∞,2]∪[4,+∞)C.(-∞,0]∪[6,+∞) D.[2,4]解析∵A={x|a-1<x<a+1,x∈R},∴A≠⌀.又A∩B=⌀,如图可知a+1≤1或a-1≥5.故a≤0或a≥6,即a的取值范围为(-∞,0]∪[6,+∞).答案C二、多项选择题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分)9.设全集U={0,1,2,3,4},集合A={0,1,4},B={0,1,3},则()A.A∩B={0,1} B.∁UB={4}C.A∪B={0,1,3,4} D.集合A的真子集个数为8解析因为A={0,1,4},B={0,1,3},所以A∩B={0,1},A∪B={0,1,3,4},选项A,C都正确;又全集U={0,1,2,3,4},所以∁UB={2,4},选项B错误;集合A={0,1,4}的真子集有7个,所以选项D错误.答案AC10.已知集合A={2,3},B={x|mx-6=0},若B⊆A,则实数m可以是()A.3或2 B.1 C.0 D.-1解析当m=0时,方程mx-6=0无解,B=⌀,满意B⊆A;当m≠0时,B=6m,因为B⊆A,所以6m=2或6m=3,解得m=3或m=2答案AC11.(2024通化高一检测)下列命题的否定中,是全称量词命题且为真命题的有()A.∃x∈R,x2-x+14<B.全部的正方形都是矩形C.∃x∈R,x2+2x+2≤0D.至少有一个实数x,使x3+1=0解析由条件可知,原命题为存在量词命题且为假命题,所以解除B,D;又因为x2-x+14=x-122≥0,x2+2x+2=(x+1)2+1>答案AC12.下列说法正确的是()A.“a≠0”是“a2+a≠0”的必要不充分条件B.若命题p:某班全部男生都爱踢足球,则p:某班至少有一个女生爱踢足球C.“随意菱形的对角线肯定相等”的否定是“菱形的对角线肯定不相等”D.“k>4,b<5”是“一次函数y=(k-4)x+b-5的图像交y轴于负半轴,交x轴于正半轴”的充要条件解析对于A,“a2+a≠0”⇔“a≠-1且a≠0”,“a≠0”“a≠-1且a≠0”,“a≠-1且a≠0”⇒“a≠0”,所以“a≠0”是“a2+a≠0”的必要不充分条件是正确的;对于B,若命题p:某班全部男生都爱踢足球,则p:某班至少有一个男生不爱踢足球,所以原说法是错误的;对于C,“随意菱形的对角线肯定相等”的否定是“存在菱形,其对角线不相等”,所以选项C中的说法是错误的;对于D,当k>4,b<5时,函数y=(k-4)x+b-5的图像如图所示,明显交y轴于负半轴,交x轴于正半轴.当一次函数y=(k-4)x+b-5的图像交y轴于负半轴,交x轴于正半轴时,即x=0,y=b-5<0,所以b<5.当y=0时,x=5-bk-4>0,因为b<5,所以k>4答案AD三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.若U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={1,2,3},B={5,6,7},则∁UA=,(∁UA)∩(∁UB)=.
解析∁UA={4,5,6,7,8},(∁UA)∩(∁UB)={4,5,6,7,8}∩{1,2,3,4,8}={4,8}.答案{4,5,6,7,8}{4,8}14.命题“∀x∈[0,+∞),x2+x≥0”的否定是.
答案∃x∈[0,+∞),x2+x<015.已知全集U={0,1,2,3},A={x∈U|x2+mx=0},若∁UA={1,2},则实数m=.
解析∵∁UA={1,2},∴A={0,3},∴0,3是关于x的方程x2+mx=0的两个根,∴m=-3.答案-316.一名法官在审理一起珠宝盗窃案时,四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下.甲说:“罪犯在乙、丙、丁三人之中.”乙说:“我没有作案,是丙偷的.”丙说:“甲、乙两人中有一人是小偷.”丁说:“乙说的是事实.”经过调查核实,四人中有两人说的是真话,另外两人说的是假话,且这四人中只有一人是罪犯,由此可推断罪犯是.
解析四人供词中,乙、丁看法一样,或同真或同假.若同真,即是丙偷的,而四人中有两人说的是真话,即此时甲、丙说的是假话,即乙、丙、丁没偷,冲突;若同假,即不是丙偷的,则甲、丙说的是真话,可知犯罪的是乙,符合题意.答案乙四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)(2024东莞高一检测)已知全集U为R,集合A={x|0<x≤2},B={x|-2<x+1<2},求:(1)A∩B;(2)(∁UA)∩(∁UB).解B={x|-3<x<1},(1)因为A={x|0<x≤2},所以A∩B={x|0<x<1}.(2)∁UA={x|x≤0或x>2},∁UB={x|x≤-3或x≥1},所以(∁UA)∩(∁UB)={x|x≤-3或x>2}.18.(12分)已知集合A={x|2≤x<7},B={x|3<x<10},C={x|x<a}.(1)求A∪B,(∁RA)∩B;(2)若A∩C≠⌀,求a的取值范围.解(1)因为A={x|2≤x<7},B={x|3<x<10},所以A∪B={x|2≤x<10}.因为A={x|2≤x<7},所以∁RA={x|x<2或x≥7},则(∁RA)∩B={x|7≤x<10}.(2)因为A={x|2≤x<7},C={x|x<a},且A∩C≠⌀,所以a>2,所以a的取值范围是(2,+∞).19.(12分)(2024盘锦高一检测)已知p:实数x满意a<x<4a(其中a>0),q:实数x满意2<x≤5.(1)若a=1,且p与q都为真命题,求实数x的取值范围.(2)若p是q的必要不充分条件,求实数a的取值范围.解(1)若a=1,p为真,p:1<x<4,q为真,q:2<x≤5.∵p,q都为真命题,∴x的取值范围为(2,4).(2)设A={x|a<x<4a,a>0},B={x|2<x≤5}.∵p是q的必要不充分条件,∴B⫋A,∴a≤2,4a>5,综上所述,a的范围为5420.(12分)设全集U=R,集合A={x|-5<x<4},集合B={x|x<-6或x>1},集合C={x|x-m<0},若C⊇(A∩B)且C⊇(∁UA)∩(∁UB),求实数m的取值范围.解因为A={x|-5<x<4},B={x|x<-6或x>1},所以A∩B={x|1<x<4},∁UA={x|x≤-5或x≥4},∁UB={x|-6≤x≤1},所以(∁UA)∩(∁UB)={x|-6≤x≤-5}.又C={x|x<m},当C⊇(A∩B)时,m≥4,当C⊇(∁UA)∩(∁UB)时,m>-5.所以实数m的取值范围为[4,+∞).21.(12分)已知m>0,p:-2≤x≤6,q:2-m≤x≤2+m.(1)已知p是q成立的必要不充分条件,求实数m的取值范围;(2)若q是p成立的充分不必要条件,求实数m的取值范围.解(1)∵p是q成立的必要不充分条件,∴q⇒p且pq,则[2-m,2+m]是[-2,6]的真子集,有2-m<2+m,2又当m=4时,[2-m,2+m]=[-2,6],不合题意,舍去,∴m的取值范围是(0,4).(2)∵q是p成立的充分不必要条件,∴q⇒p且pq,则(-∞,2-m)∪(2+m,+∞)是(-∞,-2)∪(6,+∞)的真子集,则2-m<2+m,又当m=4时,两集合相等,不合题意,舍去,∴m的取值范围是(4,+∞).22.(12分)已知集合A={x∈R|ax2-3x+2=0,a∈R}.(1)若A是空集,求a的取值范围;(2)若A中只有一个元素,求a的值,并把这个元素写出来;(3)若A中至多有一个元素,求a的取值范围.解
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