2024新教材高中数学第四章指数函数与对数函数单元质量测评新人教A版必修第一册

第四章单元质量测评时间：120分钟满分：150分一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列函数中，在区间(0,1)上为增函数的是()A．y＝2x2－x＋3 ．y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))xC．y＝xeq\s\up15(eq\f(2,3)) ．y＝logeq\s\do16(\f(1,2))x答案C解析∵y＝2x2－x＋3的对称轴为x＝eq\f(1,4)，∴在区间(0,1)上不是增函数，故A错误；y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x的底数大于0小于1，在(0,1)上为减函数，故B错误；因为0<eq\f(1,2)<1，所以y＝logeq\s\do16(\f(1,2))x在(0,1)上为减函数，故D错误；y＝xeq\s\up15(eq\f(2,3))中，指数eq\f(2,3)＞0，在(0,1)上单调递增，C正确．故选C.2．函数y＝eq\f(\r(x),lg2－x)的定义域是()A．[0,2)B．[0,1)∪(1,2)C．(1,2)D．[0,1)答案B解析若使函数有意义，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,2－x>0，,2－x≠1，))解得0≤x<2且x≠1.选B.3．计算log225·log32eq\r(2)·log59的结果为()A．3B．4C．5D．6答案D解析利用换底公式，则原式＝eq\f(lg25,lg2)×eq\f(lg2\r(2),lg3)×eq\f(lg9,lg5)＝eq\f(2lg5,lg2)×eq\f(\f(3,2)lg2,lg3)×eq\f(2lg3,lg5)＝2×eq\f(3,2)×2＝6.4．设a＝50.8，b＝0.67，c＝log0.74，则a，b，c的大小关系是()A．a<c<bB．c<a<bC．b<a<cD．c<b<a答案D解析∵a＝50.8>50＝1,0<b＝0.67<0.60＝1，c＝log0.74<0，故c<b<a，故选D.5．用二分法探讨函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点x0∈________，其次次应计算________．以上横线上应填的内容为()A．(0,0.5)f(0.25)B．(0,1)f(0.25)C．(0.5,1)f(0.75)D．(0,0.5)f(0.125)答案A解析由于f(0)f(0.5)<0，故x0∈(0,0.5)，依二分法其次次应计算f(0.25)．故选A.6．2011年全球经济起先转暖，据统计某地区1月、2月、3月的用工人数分别为0.2万、0.4万和0.76万，则该地区这三个月的用工人数y万人关于月数x的函数关系近似的是()A．y＝0.2x ．y＝eq\f(1,10)(x2＋2x)C．y＝eq\f(2x,10) ．y＝0.2＋log16x答案C解析当x＝1时，否定B；当x＝2时，否定D；当x＝3时，否定A，故选C.7．函数f(x)＝eq\f(2,x)＋lneq\f(1,x－1)的零点所在的大致区间是()A．(1,2)B．(2,3)C．(3,4)D．(1,2)与(2,3)答案B解析易知f(x)在(1，＋∞)上单调递减，f(2)＝1>0，f(3)＝eq\f(2,3)＋lneq\f(1,2)＝eq\f(2,3)－ln2<0，所以f(x)在(2,3)内只有一个零点．8．已知f(x)是偶函数，它在[0，＋∞)上是减函数，若f(lgx)>f(1)，则x的取值范围是()A.eq\f(1,10)<x<1B．0<x<eq\f(1,10)或x>1C.eq\f(1,10)<x<10D．0<x<1或x>10答案C解析∵f(x)为偶函数，且f(x)在[0，＋∞)上是减函数，∴f(x)在(－∞，0)上是增函数．由函数的对称性且f(lgx)>f(1)，∴－1<lgx<1.∴eq\f(1,10)<x<10.二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．已知等式log2m＝log3n，m，n∈(0，＋∞)成立，那么下列结论可能成立的为()A．m＝n ．n<m<1C．1<n<m ．1<m<n答案ABD解析设log2m＝log3n＝t，则2t＝m,3t＝n，当t＝0时，m＝n＝1，故A正确；当t<0时，0<n<m<1，故B正确；当t>0时，n>m>1，故D正确．故选ABD.10．已知函数f(x)＝ex－e－x，g(x)＝ex＋e－x，则以下结论正确的是()A．随意的x1，x2∈R且x1≠x2，都有eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>0B．随意的x1，x2∈R且x1≠x2，都有eq\f(gx1－gx2,x1－x2)<0C．f(x)有最小值，无最大值D．g(x)有最小值，无最大值答案AD解析f(x)＝ex－eq\f(1,ex)在R上单调递增，无最值，故A正确，C错误；g(x)＝ex＋eq\f(1,ex)为偶函数，易知其在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数，且在x＝0处取得最小值，无最大值，故B错误，D正确．故选AD.11．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2，x∈－∞，0，,lnx，x∈0，1，,－x2＋4x－3，x∈[1，＋∞，))若函数g(x)＝f(x)－m恰有2个零点，则实数m可以是()A．－1B．0C．1D．2答案ABC解析画出函数f(x)的图象，当x∈[1，＋∞)时，f(x)＝－(x－2)2＋1.若函数g(x)＝f(x)－m恰有2个零点，则实数m＝1或m≤0.结合选项，因此m可以为－1，0,1.故选ABC.12．设函数f(x)＝logeq\s\do16(\f(1,2))x，下列四个命题正确的是()A．函数f(|x|)为偶函数B．若f(a)＝|f(b)|，其中a>0，b>0，a≠b，则ab＝1C．函数f(－x2＋2x)在(1,3)上为单调递增函数D．若0<a<1，则|f(1＋a)|<|f(1－a)|答案ABD解析f(x)＝logeq\s\do16(\f(1,2))x，x>0.函数f(|x|)＝logeq\s\do16(\f(1,2))|x|，f(|x|)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，∵f(|－x|)＝f(|x|)，∴f(|x|)为偶函数，A正确；若f(a)＝|f(b)|，其中a>0，b>0，∵a≠b，∴f(a)＝|f(b)|＝－f(b)，∴logeq\s\do16(\f(1,2))a＋logeq\s\do16(\f(1,2))b＝logeq\s\do16(\f(1,2))(ab)＝0，∴ab＝1，B正确；函数f(－x2＋2x)＝logeq\s\do16(\f(1,2))(－x2＋2x)＝logeq\s\do16(\f(1,2))[－(x－1)2＋1]，由－x2＋2x>0，解得0<x<2，∴函数的定义域为(0,2)，因此在(1,3)上不具有单调性，C不正确；若0<a<1，∴1＋a>1>1－a>0,0<1－a2<1，∴f(1＋a)<0<f(1－a)，故|f(1＋a)|－|f(1－a)|＝－f(1＋a)－f(1－a)＝－logeq\s\do16(\f(1,2))(1－a2)<0，即|f(1＋a)|<|f(1－a)|，D正确．故选ABD.三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．化简：eq\f(aeq\s\up15(eq\f(4,3))－8aeq\s\up15(eq\f(1,3))b,4beq\s\up15(eq\f(2,3))＋2\r(3,ab)＋aeq\s\up15(eq\f(2,3)))÷eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－2\r(3,\f(b,a))))×eq\r(3,ab)＝________.答案aeq\r(3,b)解析原式＝eq\f(aeq\s\up15(eq\f(1,3))a－8b,2beq\s\up15(eq\f(1,3))2＋2aeq\s\up15(eq\f(1,3))beq\s\up15(eq\f(1,3))＋aeq\s\up15(eq\f(1,3))2)×eq\f(aeq\s\up15(eq\f(1,3)),aeq\s\up15(eq\f(1,3))－2beq\s\up15(eq\f(1,3)))×aeq\s\up15(eq\f(1,3))beq\s\up15(eq\f(1,3))＝eq\f(aeq\s\up15(eq\f(1,3))a－8b,a－8b)×aeq\s\up15(eq\f(1,3))×aeq\s\up15(eq\f(1,3))beq\s\up15(eq\f(1,3))＝aeq\r(3,b).14．函数f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))x2－2x的单调递减区间是________，单调递增区间是________．答案[1，＋∞)(－∞，1)解析令u＝x2－2x，其递增区间是[1，＋∞)，递减区间是(－∞，1)，依据函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))u是定义域上的减函数知，函数f(x)的单调递减区间是[1，＋∞)，单调递增区间是(－∞，1)．15．不等式x<eq\f(1,x)的解集是________．答案(0,1)∪(2，＋∞)解析由x<eq\f(1,x)，得x<x－1.当x>1时，logeq\s\do16(\f(1,2))<－1，即logeq\s\do16(\f(1,2))x<logeq\s\do16(\f(1,2))2，∴x>2.当0<x<1时，logeq\s\do16(\f(1,2))x>－1，即logeq\s\do16(\f(1,2))x>logeq\s\do16(\f(1,2))2，∴x<2，即0<x<1.综上得，不等式的解集为(0,1)∪(2，＋∞)．16．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x＋1，x>0，,－x2－2x，x≤0，))若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是________．答案(0,1)解析若函数g(x)＝f(x)－m有三个零点，等价于直线y＝m和y＝f(x)的图象有三个交点，数形结合可知m的取值范围是(0,1)．四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)(1)计算：(0.25)0－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)))－0.75＋eq\r(4,1－\r(2)4)＋eq\r(6－4\r(2))＋lneq\r(e)＋22＋log23；(2)已知14a＝6,14b＝7，用a，b表示log4256.解(1)原式＝1－(2－4)eq\s\up15(－eq\f(3,4))＋(eq\r(2)－1)＋eq\r(2－\r(2)2)＋lneeq\s\up15(eq\f(1,2))＋22×2log23＝1－23＋eq\r(2)－1＋2－eq\r(2)＋eq\f(1,2)＋4×3＝eq\f(13,2).(2)∵14a＝6,14b＝7，∴log146＝a，log147＝b，∴log4256＝eq\f(log1456,log1442)＝eq\f(log1414＋log144,log146＋log147)＝eq\f(1＋2log142,a＋b)＝eq\f(1＋2log14\f(14,7),a＋b)＝eq\f(1＋2log1414－log147,a＋b)＝eq\f(3－2log147,a＋b)＝eq\f(3－2b,a＋b).18．(本小题满分12分)定义在R上的偶函数y＝f(x)在(－∞，0]上单调递增，函数f(x)的一个零点为－eq\f(1,2)，求满意f(logeq\s\do16(\f(1,4))x)≥0的x的取值范围．解∵－eq\f(1,2)是函数的一个零点，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝0.∵y＝f(x)是偶函数且在(－∞，0]上单调递增，∴当logeq\s\do16(\f(1,4))x≤0，即x≥1时，logeq\s\do16(\f(1,4))x≥－eq\f(1,2)，解得x≤2，即1≤x≤2.由对称性可知，当logeq\s\do16(\f(1,4))x>0时，即0<x<1时，logeq\s\do16(\f(1,4))x≤eq\f(1,2)，解得x≥eq\f(1,2)，即eq\f(1,2)≤x<1.综上所述，x的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2)).19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝lg(3＋x)＋lg(3－x)．(1)求函数y＝f(x)的定义域；(2)推断函数y＝f(x)的奇偶性；(3)若f(2m－1)<f(m)，求m的取值范围．解(1)要使函数有意义，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3＋x＞0，,3－x＞0，))解得－3<x<3，故函数y＝f(x)的定义域为(－3,3)．(2)由(1)可知，函数y＝f(x)的定义域为(－3,3)，关于原点对称．对随意x∈(－3,3)，则－x∈(－3,3)，∴f(－x)＝lg(3－x)＋lg(3＋x)＝f(x)，∴由函数奇偶性可知，函数y＝f(x)为偶函数．(3)∵函数f(x)＝lg(3＋x)＋lg(3－x)＝lg(9－x2)，由复合函数单调性推断法则知，当0≤x<3时，函数y＝f(x)为减函数．又函数y＝f(x)为偶函数，∴不等式f(2m－1)<f(m)等价于|m|<|2m－1|<3，解得－1<m<eq\f(1,3)或1<m<2.20．(本小题满分12分)某种商品进价为每个80元，零售价为每个100元，为了促销，确定用买一个这种商品赠送一个小礼品的方法．实践表明：礼品价值为1元时，销售量增加10%，且在肯定范围内，礼品价值为(n＋1)元时比礼品价值为n元(n∈N*)时的销售量增加10%.(1)写出礼品价值为n元时，利润yn(元)与n的函数关系式；(2)请你设计礼品的价值，以便商店获得最大利润．解(1)设未赠礼品时的销售量为m个，则当礼品价值为n元时，销售量为m(1＋10%)n个；利润yn＝(100－80－n)·m·(1＋10%)n＝(20－n)·m·1.1n(0<n<20，n∈N*)．(2)令yn＋1－yn≥0，即(19－n)·m·1.1n＋1－(20－n)·m·1.1n≥0，解得n≤9.∴y1<y2<y3<…<y9＝y10.令yn＋1－yn＋2≥0，即(19－n)·m·1.1n＋1－(18－n)·m·1.1n＋2≥0，解得n≥8.∴y9＝y10>y11>y12>y13>…>y19，∴礼品价值为9元或10元时，商店获得最大利润．21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝b·ax(a，b为常数，且a>0，a≠1，b≠0)的图象经过点A(1,8)，B(3,32)．(1)试求a，b的值；(2)若不等式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))x＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)))x－m≥0在x∈(－∞，1]时恒成立，求实数m的取值范围．解(1)∵函数f(x)＝b·ax的图象经过点A(1,8)，B(3,32)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ab＝8，,a3b＝32，))又a>0，∴a＝2，b＝4.(2)由题意，知m≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))x在x∈(－∞，1]时恒成立．设g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))x，x∈(－∞，1]，则m≤g(x)min.∵g(x)在(－∞，1]上是减函数，∴g(x)min＝g(1)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＝eq\f(3,4)，∴m≤eq\f(3,4).故实数m的取值范围为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,4))).22．(本小题满分12分)设f(x)＝logeq\s\do16(\f(1,2))eq\f(1－ax,x－1)＋x为奇函数，a为常数．(1)求a的值；(2)推断函数f(x)在x∈(1，＋∞)上的单调性，并说明理由；(3)若对于区间[3,4]上的每一个x值，不等式f(x)>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x＋m恒成立，求实数m的取值范围．解(1)∵f(x)＝logeq\s\do16(\f(1,2))eq\f(1－ax,x－1)＋x为奇函数，∴f(－x)＋f(x)＝0对定义域内的随意x都成立，∴logeq\s\do16(\f(1,2))eq\f(1＋ax,－