冲刺双一流备战2024年高考数学二轮复习核心专题讲练新高考版第1讲三角函数的图象与性质重难点题型突破含解析

Page40第1讲三角函数的图象与性质书目第一部分：学问强化其次部分：重难点题型突破突破一：三角函数的周期性突破二：三角函数的奇偶性突破三：三角函数的对称性突破四：三角函数图象变换突破五：依据图象求解析式突破六：五点法作图问题突破七：和三角函数有关的零点问题

第三部分：冲刺重难点特训第一部分：学问强化1、三角函数的周期性函数周期函数周期函数()()()周期2、三角函数的奇偶性三角函数取何值为奇函数取何值为偶函数()()()()()3、三角函数的对称性(1)函数的图象的对称轴由()解得，对称中心的横坐标由()解得；(2)函数的图象的对称轴由()解得，对称中心的横坐标由()解得；(3)函数的图象的对称中心由)解得．4、由的图象变换得到(，)的图象的两种方法(1)先平移后伸缩(2)先伸缩后平移5、依据图象求的解析式求解析式求法方法一：代数法方法二：读图法表示平衡位置；表示振幅求法方法一：图中读出周期，利用求解；方法二：若无法读出周期，运用特别点代入解析式但需留意依据详细题意取舍答案.求法方法一：将最高（低）点代入求解；方法二：若无最高（低）点，可运用其他特别点代入求解；但需留意依据详细题意取舍答案.6、五点法作图五点法步骤③①②对于复合函数，第一步：将看做一个整体，用五点法作图列表时，分别令等于，，，，，对应的则取，，，，。，（如上表中，先列出序号①②两行）其次步：逆向解出（如上表中，序号③行。）第三步：得到五个关键点为：，,,,其次部分：重难点题型突破突破一：三角函数的周期性1．（2024·广西桂林·模拟预料（文））函数的最小正周期是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】，因为，所以的最小正周期为.故选：D.2．（2024·陕西咸阳·二模（理））下列四个函数，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】最小正周期为，在区间上单调递减；最小正周期为，在区间上单调递减；最小正周期为，在区间上单调递增；最小正周期为，在区间上单调递增；故选：A.3．（2024·辽宁沈阳·三模）函数的最小正周期为________．【答案】6【详解】的周期为，由正弦型函数图象与性质可知，的最小正周期为6.故答案为：64．（2024·上海·模拟预料）函数的周期为___________；【答案】【详解】,所以的周期为：故答案为：.5．（多选）（2024·北京东城·三模）下列函数中最小正周期不是的周期函数为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：对于A选项，不为周期函数；对于B选项，的图像是将图像在轴下方的翻到轴上方，进而函数为周期函数，周期是，故正确；对于C选项，，故周期为；对于D选项，图像是将图像在轴下方的翻到轴上方，其周期性不变，故依旧为，正确；故选：C突破二：三角函数的奇偶性1．（2024·广西·模拟预料（理））若将函数的图象向右平移个单位后，所得图象对应的函数为奇函数，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】，向右平移个单位后得到函数，由于是奇函数，因此，得，.又，则当时，的最小值是，故选：B.2．（2024·四川德阳·三模（理））将函数的图象向左平移个单位长度后，所得到的图象对应函数为奇函数，则m的最小值是___________.【答案】【详解】由，向左平移个单位，得到的图象，∴函数为奇函数，∴所以，即，所以的最小值是．故答案为：.3．（2024·山东聊城·一模）若为奇函数，则___________.（填写符合要求的一个值）【答案】（答案不唯一，符合题意均可）【详解】解：，因为为奇函数，且为奇函数，为偶函数，所以，即，所以或，，所以的值可以是，故答案为：（答案不唯一，符合题意均可）4．（2024·四川泸州·三模（文））下列函数中，定义域为R且周期为π的偶函数是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】对于A、C、D三个选项视察得函数定义域都为，即定义域关于原点对称；对于B选项定义域为，所以解除B；对于A：的周期为π又是奇函数，所以解除A；对于C：的周期为π又是偶函数，所以C正确；对于D：的周期为所以解除D；故选：C．5．（2024·北京·北师大试验中学模拟预料）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象．若函数的图象关于原点对称，则的一个取值为_________．【答案】【详解】将函数的图象向左平移个单位长度，可得，由函数的图象关于原点对称，可得,所以，，当时，.故答案为：突破三：三角函数的对称性1．（2024·江西南昌·高三阶段练习（文））已知函数的最小值为2，且的图象关于点对称，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为函数的最小值为2，所以，解得，又的图象关于点对称，所以，所以，因为，所以，所以的最小值为，所以的最小值为，故选：C2．（2024·宁夏·平罗中学高三期中（文））将函数的图象向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于原点O对称，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由题意得的图象向左平移个单位长度得，而的图象关于原点O对称，则，即，得，，的最小值是．故选：C3．（2024·陕西·武功县教化局教化教学探讨室一模（文））已知定义在上的偶函数满意，则的一个解析式为___________．【答案】（答案不唯一）【详解】∵为上的偶函数，∴，又，∴用替换，得，∴，∴的周期为4，则的一个解析式可以为故答案为：（答案不唯一）．4．（2024·江西赣州·高三期中（文））已知函数图象的一条对称轴为．若,则的最大______．【答案】【详解】由题知.所以因为,所以当取最大值故答案为：5．（2024·内蒙古·保康一中高三阶段练习（理））函数的图象的对称中心为_________【答案】【详解】令，，解得，所以对称中心为.故答案为:.突破四：三角函数图象变换1．（2024·贵州·贵阳一中高三阶段练习（文））已知函数（，）的相邻两条对称轴之间的距离为，且为奇函数，将的图象向右平移个单位得到函数的图象，则函数的图象（

）A．关于点对称 B．关于点对称C．关于直线对称 D．关于直线对称【答案】A【详解】由相邻两条对称轴之间的距离为可知，即，，因为为奇函数，依据可知，对称中心：，，故A正确，B错误对称轴：，，故C、D错误故选：A2．（多选）（2024·湖南·宁乡一中高三期中）已知是偶函数，将函数图像上全部点向右平移个单位得到函数的图像，则（

）A．在的值域为 B．的图像关于直线对称C．在有5个零点 D．的图像关于点对称【答案】BD【详解】解：，因为函数为偶函数，所以，即，因为，所以，即，所以，对于A选项，时，，所以，即，故错误；对于B选项，令得，故当时，故的图像关于直线对称，B选项正确；对于C选项，当时，，因为函数在上有4个零点，分别为，，，，所以，在有4个零点，故C选项错误；对于D选项，由于时，，函数关于点对称，所以，的图像关于点对称，故D选项正确.故选：BD3．（2024·天津·南开中学高三阶段练习）已知函数将其图象向左平移个单位得到函数图象且函数为偶函数，若是使变换成立的最小正数，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：∵函数将其图象向左平移个单位，得到函数的图象，又∵函数为偶函数，则直线是的对称轴∴，，解得：，，∵是使变换成立的最小正数，∴时，可得．故选：B．4．（2024·湖南·高三阶段练习）将函数的图像先向右平移个单位，再将所得的图像上每个点的横坐标变为原来的倍，得到函数的图像，则的一个可能取值是______.【答案】（答案不唯一）【详解】解：函数的图像先向右平移个单位，得到的图像，再将所得的图像上每个点的横坐标变为原来的倍，得到的图像，所以，，解得，所以，的一个可能取值为.故答案为：5．（2024·重庆市云阳县高阳中学高三阶段练习（理））若的图象向右平移个单位长度得到的图象，则的值可以是______．（写出满意条件的一个值即可）【答案】（答案不唯一，满意均可）【详解】解：的图象向右平移后得到的函数为则，解得，又所以的值可以是当时，.故答案为：（答案不唯一，满意均可）突破五：依据图象求解析式1．（2024·四川省绵阳南山中学模拟预料（理））函数的部分图象如图所示，若将图象上的全部点向右平移个单位得到函数的图象，则关于函数有下列四个说法，其中正确的是（

）A．函数的最小正周期为B．函数的一条对称轴为直线C．函数的一个对称中心坐标为D．再向左平移个单位得到的函数为偶函数【答案】D【详解】对于，由图可知，，，，由于，所以，所以.图象上的全部点向右平移个单位得到函数，的最小正周期为，A选项错误.，B选项错误.点的纵坐标是，所以不是的对称中心，C选项错误.再向左平移个单位得到，所得函数为偶函数，所以D选项正确.故选：D2．（2024·四川广安·模拟预料（文））已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（

）A．的图象关于点对称B．的图象向右平移个单位后得到的图象C．在区间的最小值为D．为偶函数【答案】D【详解】因为的图象过点，所以，因为，所以，因为的图象过点，所以由五点作图法可知，得，所以，对于A，因为，所以为的图象的一条对称轴，所以A错误，对于B，的图象向右平移个单位后，得，所以B错误，对于C，当时，，所以，所以在区间的最小值为，所以C错误，对于D，，令，因为，所以为偶函数，所以D正确，故选：D3．（2024·贵州·贵阳一中模拟预料（文））如图是函数的图像的一部分，则要得到该函数的图像，只须要将函数的图像（

）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度【答案】A【详解】由题图知：，又，，解得，又，将向左平移得.故选：A.4．（2024·山东潍坊·模拟预料）函数的部分图像如图所示，现将的图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，则的表达式可以为（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】由图像可知：，；又，，又，，，由五点作图法可知：，解得：，；.故选：B.5．（多选）（2024·全国·模拟预料）函数的部分图像如图所示，则（

）A． B．C．函数在上单调递增 D．函数图像的对称轴方程为【答案】AD【详解】由图像知函数的周期，解得：，所以A对；由五点对应法得，因为，所以，所以B错误，所以．当时，函数单调递减.取，得的一个单调递减区间为，所以C错，函数图像的对称轴方程为，即，所以D对．故选：AD6．（多选）（2024·江苏徐州·模拟预料）已知函数，若函数的部分图象如图所示，则关于函数，下列结论中正确的是（

）A．函数的图象关于直线对称B．函数的图象关于点对称C．函数在区间上的减区间为D．函数的图象可由函数的图象向左平移个单位长度而得到【答案】BC【详解】依据函数图象可得：，∴，，又，故，所以对称轴为时，故A项错．，∴关于对称，故B项对．函数的单调递减区间为，时在单调递减，故C项对．，故D项错．故选：BC.突破六：五点法作图问题1．（2024·全国·高一单元测试）已知函数．(1)用“五点法”在给定的坐标系中，画出函数在上的大致图像，并写出图像的对称中心；(2)先将函数的图像向右平移个单位长度后，再将得到的图像上各点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图像，求在上的值域．【答案】(1)作图见解析；对称中心为(2)（1）列表：012001描点，连线，画出在上的大致图像如图：由图可知函数图像的对称中心为；（2）将函数的图像向右平移个单位长度后，得到的图像，再将得到的图像上各点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图像，所以，，当时，，函数单调递增，而，，所以函数在上的值域为．2．（2024·河北·沧县中学高一阶段练习）已知向量，，．(1)求函数f（x）的对称中心；(2)利用“五点法”画出函数f（x）在一个周期内的图象．【答案】(1)(2)图见解析（1）∵，∴∴，由，得，∴对称中心为，（2）列表如下：x0y00－20画出图象：3．（2024·陕西·西北高校附中高一阶段练习）设函数f(x)＝sin（2x+φ）（﹣π＜φ＜0），y＝f(x)图象的一条对称轴是直线x＝，此对称轴相邻的对称中心为（）(1)求函数y＝f(x)的解析式；(2)用五点法画出函数y＝f(x)在区间[0，π]上的图象．【答案】(1)；(2)见解析.（1）解：是函数的一条对称轴，，即，所以.令得.所以函数的对称中心为，所以函数的解析式为.（2）解：由可知故函数在区间上的图像为：4．（2024·广东·华南师范高校其次附属中学高一期中）已知函数，.(1)在用“五点法”作函数的图象时，列表如下：0200完成上述表格，并在坐标系中画出函数在区间上的图象；(2)求函数的单调递增区间；(3)求函数在区间上的值域.【答案】(1)答案见解析(2)单调递增区间：，(3)【分析】(1)利用给定的角依次求出对应的三角函数值，进而填表，结合“五点法”画出图象即可；(2)依据正弦函数的单调增区间计算即可；(3)依据x的范围求出的范围，即可利用正弦函数的单调性求出函数的值域.(1)0x020-20函数图象如图所示，(2)令，，得，.所以函数的单调递增区间：，.(3)因为，所以.所以.当，即时，；当，即时，.所以函数在区间上的值域为.突破七：和三角函数有关的零点问题

1．（2024·湖北·郧阳中学高一阶段练习）已知函数的最小正周期．(1)求函数单调递增区间；(2)若函数在上有零点，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为函数的最小正周期，所以，由于，所以．所以，所以函数单调递增区间，只需求函数的单调递减区间，令，解得，所以函数单调递增区间为．（2）因为函数在上有零点，所以函数的图像与直线在上有交点，因为，故函数在区间上的值域为所以当时，函数的图像与直线在上有交点，所以当时，函数在上有零点．2．（2024·陕西·宝鸡中学高三阶段练习（理））已知向量，函数(1)求函数的单调增区间；(2)若函数在区间上有且仅有两个零点，求实数k的取值范围．【答案】(1)(2)或【详解】（1），令，解得.所以函数的单调增区间为.（2）由函数在区间上有且仅有两个零点.即在区间上有且仅有两个零点，直线与的图像上有且仅有两个交点，当，，设函数，在区间上单调递增，，在区间上单调递减，，在区间上单调递增，，所以或，即或.3．（2024·吉林·东北师大附中模拟预料）已知．(1)求函数的值域；(2)若方程在上的全部实根按从小到大的依次分别记为，求的值．【答案】(1)(2)【详解】（1）令，则，，，得，当，，单调递减，当时，，单调递增。所以，所以，的值域是（2）由已知得，解得或（舍去），由得函数图象在区间且确保成立的，对称轴为在内有11个根，数列构成以为首项，为公差的等差数列．所以.第三部分：冲刺重难点特训一、单选题1．（2024·陕西·渭南市瑞泉中学高三阶段练习（理））函数零点的个数为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【详解】的零点个数，即为与图象的交点个数，在同始终角坐标系下，两函数图象如下所示：由图可知，两函数共有4个交点，故有4个零点.故选：C.2．（2024·江西赣州·高三期中（理））函数的部分图象大致为（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】对，，所以函数是偶函数，其图象关于轴对称，所以解除选项A；令，可得或，即，当时，，所以，故解除选项C；当时，，所以，所以解除选项D.故选：B.3．（2024·全国·高三阶段练习（理））记函数的最小正周期为T．若，且的图象在点处取得最大值，则的解集是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】由函数的最小正周期T满意，得，解得，又因为的图象在点处取得最大值，所以，且，所以，所以，则即为，得，得，解得．故的解集是．故选：.4．（2024·吉林·东北师大附中模拟预料）已知函数，现将的图象向右平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则在的值域为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】将函数的图象向右平移个单位，得到的图象，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数，因为，所以，所以，所以在上的值域为，故选：A.5．（2024·重庆南开中学高三阶段练习）已知A，B是函数的图像上的两个相邻最高点和最低点，且，为得到的图像，只须要将函数的图像（

）A．向左平移个单位长度 B．向右平移π个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移3个单位长度【答案】A【详解】由题意因为，构造直角三角形，可得，则函数的最小正周期，∴，∴，∴只需将的图像向左平移个单位长度，即可得到的图像．故选：A6．（2024·江苏·沭阳县建陵高级中学高三阶段练习）已知函数（，）

的部分图像如图所示，则下列说法正确的是（

）A．B．图像的对称中心为，C．直线是图像的一条对称轴D．将的图像向左平移个单位长度后，可得到一个偶函数的图像【答案】A【详解】由函数图像可知，，最小正周期为，，将点代入函数解析式中，得：，又，，故．对A，，所以正确,对B，令，则，所以，即的对称中心为，故B错误；对C，令，即，令，则，故C错误对D，将的图像向左平移个单位长度后，得到的图像，该函数不是偶函数，故D错误．故选：A.7．（2024·宁夏·银川一中高三阶段练习（理））函数的部分图象如图所示，下列说法不正确的是（

）A．函数的解析式为B．函数的单调递增区间为C．为了得到函数的图象，只需将函数的图象向右平移个单位长度，再向上平移一个单位长度D．函数的图象关于点对称【答案】D【详解】对于A选项，不妨设，则，，由，则，两式相减得，所以①，设函数的最小正周期为，因为，所以，结合①，，因为，所以，可得，因为，所以，，所以，故A正确；对于B，由，解得：，故B正确；对于C，将函数向右平移个单位得到，向上平移一个单位长度可得，故C正确；对于D，令，解得：，函数的图象关于点对称，所以D不正确；故选：D.8．（2024·福建龙岩·高三期中）阻尼器是一种以供应运动的阻力，从而达到减振效果的专业工程装置．深圳一高楼平安金融中心的阻尼器减震装置，是亚洲最大的阻尼器，被称为“镇楼神器”，由物理学学问可知，某阻尼器模型的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移s（单位；cm）和时间t（单位：s）的函数关系式为，若振幅是2，图像上相邻最高点和最低点的距离是5，且过点，则和的值分别为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】依据题意，由振幅是2易知，故，则是的最高点，不妨记相邻的最低点为，连接，过作轴，过作，交点为，如图，则，，，故，得，又因为，故，得，所以，因为是的点，故，得，即，因为，所以，故，.故选：A..二、多选题9．（2024·吉林·东北师大附中模拟预料）设函数的最小正周期为，且过点，则下列正确的为（

）A．在单调递减B．的一条对称轴为C．的最小正周期为D．把函数的图像向左平移个长度单位得到函数的解析式为【答案】AC【详解】解：函数，因为函数的最小正周期为，所以，因为函数图象过点，所以，则，即，因为，所以，则，当时，，则由余弦函数的性质知在单调递减，故A正确；当时，，所以不是的一条对称轴，故B错误；因为是偶函数，所以，则的最小正周期为，故C正确；把函数的图像向左平移个长度单位得到函数的解析式为，故D错误；故选：AC10．（2024·吉林·东北师大附中模拟预料）将函数的图象向左平移个单位长度，向下平移个单位长度后，得到的图象，若对于随意的实数，都单调递增，则正数的值可能为（

）A．3 B． C． D．【答案】BC【详解】解：将函数的图象向左平移个单位长度，向下平移个单位长度后，得到，当时，，因为单调递增，所以，解得，由，得，因为，当时，，所以正数的值可能为，，故选：BC11．（2024·福建宁德·高三期中）声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数，纯音的数学模型是函数，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音，若一个复合音的数学模型函数f（x），其图象是由的图象向右平移个单位长度，再把所得图象各点的横坐标缩短到原来的倍，再把所得图象各点的纵坐标伸长到原来的2倍而得到，若，则下列结论正确的是（

）A．的图像关于点（，0）中心对称B．f（x）在单调递减C．若一个奇函数的图象向左平移个单位长度后，可得f（x）的图象，则n的最小值为D．若在有解，则k的取值范围是【答案】ACD【详解】由题意可知，所以，又，故为的对称轴，因此故,故，或，由于，故，因此，对于A，,故为对称中心，故A正确；对于B，,故在，单调递增，在单调递减，故在不单调，故B错误；对于C，将图象向右平移个单位长度后，得到由于为奇函数，所以,，所以当时，最小为，故C正确；对于D，当，，所以有解则，故D正确.故选：ACD12．（2024·广东·华南师大附中南海试验中学高三阶段练习）已知函数（，，）的部分图像如图所示，下列说法正确的是（

）A．的图像关于点对称B．的图像关于直线对称C．将函数的图像向左平移个单位长度得到函数的图像D．若方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围是【答案】ABD【详解】由题图可得，，故，所以，又，即，所以（），又，所以，所以.对于A：当时，，故A正确；对于B：当时，，故B正确；对于C：将函数的图像向左平移个单位长度得到函数的图像，故C中说法错误；对于D：当时，，则当，即时，单调递减，当，即时，单调递增，因为，，，所以方程在上有两个不相等的实数根时，的取值范围是.故选：ABD三、填空题13．（2024·吉林·东北师大附中模拟预料）已知函数，