2025版高中数学一轮复习情境试题创新练五解析几何理含解析新人教A版

PAGE情境试题创新练(五)解析几何1．阿波罗尼斯是古希腊闻名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的探讨，主要探讨成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书，阿波罗尼斯圆是他的探讨成果之一，指的是：已知动点M与两定点Q，P的距离之比eq\f(|MQ|,|MP|)＝λ(λ＞0，λ≠1)，那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆．已知动点M的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为x2＋y2＝1，定点Q为x轴上一点，Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))且λ＝2，若点B(1，1)，则2|MP|＋|MB|的最小值为()A．eq\r(6)B．eq\r(7)C．eq\r(10)D．eq\r(11)【解析】选C.由题意可得圆x2＋y2＝1是关于P，Q的阿波罗尼斯圆，且λ＝2，则eq\f(|MQ|,|MP|)＝2，设点Q的坐标为(m，n)，点M的坐标为(x，y)，则eq\f(\r(（x－m）2＋（y－n）2),\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))\s\up12(2)＋y2))＝2，整理得，x2＋y2＋eq\f(4＋2m,3)x＋eq\f(2n,3)y＋eq\f(1－m2－n2,3)＝0，又该圆的方程为x2＋y2＝1，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4＋2m＝0，,2n＝0，,\f(1－m2－n2,3)＝－1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝－2，,n＝0，))所以点Q的坐标为(－2，0)，所以2|MP|＋|MB|＝|MQ|＋|MB|，由图象可知，当点M位于M1或M2时取得最小值，且最小值为|QB|＝eq\r(（－2－1）2＋1)＝eq\r(10).2．正确运用远光灯对于夜间行车很重要．已知某家用汽车远光灯(如图)的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点处，若灯口直径是20cm，灯深10cm，则光源到反光镜顶点的距离是()A.2.5cmB．3.5cmC．4.5cmD．5.5cm【解析】选A.建立如图所示的平面直角坐标系，设对应抛物线的标准方程为y2＝2px，由题意知抛物线过点(10，10)，得100＝2p×10，得p＝5，则eq\f(p,2)＝2.5，即焦点坐标为(2.5，0)，则光源到反光镜顶点的距离是2.5cm.3．仿照“Dandelin双球”模型，人们借助圆柱内的两个内切球证明白平面截圆柱的截面为椭圆面．如图，底面半径为1的圆柱内两个内切球球心距离为4，现用与两球都相切的平面截圆柱所得到的截面边缘线是一椭圆，则该椭圆的离心率为()A．eq\f(1,2)B．eq\f(\r(3),3)C．eq\f(\r(2),2)D．eq\f(\r(3),2)【解析】选D.设两个球的球心分别为O1，O2，所得椭圆的长轴为AB，直线AB与O1O2交于点O，设它们确定平面α，作出平面α与两个球及圆柱的截面，如图所示，过B作O1O2的垂线，交圆柱的母线于点C，设AB切球O2的大圆于点F1，切球O1的大圆于F2，连接O2F1，O1F2，因为在Rt△O2F1O中，OO2＝eq\f(1,2)O1O2＝2，O2F1＝1，所以cos∠F1O2O＝eq\f(1,2)，所以∠F1O2O＝60°，所以OF1＝eq\r(3)，因为锐角∠F1O2O与∠ABC的两边对应相互垂直，所以∠ABC＝∠F1O2O＝60°，所以在Rt△ABC中，cos∠ABC＝eq\f(1,2)，因为BC长等于球O1的直径，得BC＝2，椭圆的长轴AB＝4，所以椭圆的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2).4．将一条闭合曲线放在两条平行线之间，无论这条闭合曲线如何运动，只要它与两平行线中的一条直线只有一个交点，就必与另一条直线也只有一个交点，则称此闭合曲线为等宽曲线，这两条平行直线间的距离叫等宽曲线的宽比．如圆就是等宽曲线．其宽就是圆的直径．如图是分别以A，B，C为圆心画的三段圆弧组成的闭合曲线Γ(又称莱洛三角形)，下列关于曲线Γ的描述中，正确的有()(1)曲线Γ不是等宽曲线；(2)曲线Γ是等宽曲线且宽为线段AB的长；(3)曲线Γ是等宽曲线且宽为弧AB的长；(4)若曲线Γ和圆的宽相等，则它们的周长相等；(5)若曲线Γ和圆的宽相等，则它们的面积相等．A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】选B.若曲线Γ和圆的宽相等，设曲线Γ的宽度为1，则圆的半径为eq\f(1,2)，(1)依据定义，可以得到曲线Γ是等宽曲线，错误；(2)曲线Γ是等宽曲线且宽为线段AB的长，正确；(3)依据(2)得(3)错误；(4)曲线Γ的周长为3×eq\f(1,6)×2π＝π，圆的周长为2π×eq\f(1,2)＝π，故它们的周长相等，正确；(5)正三角形的边长为1，则三角形对应的扇形面积为eq\f(π×12,6)＝eq\f(π,6)，正三角形的面积S＝eq\f(1,2)×1×1×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),4)，则一个弓形面积S′＝eq\f(π,6)－eq\f(\r(3),4)，则整个区域的面积为3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－\f(\r(3),4)))＋eq\f(\r(3),4)＝eq\f(π,2)－eq\f(\r(3),2)，而圆的面积为πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(π,4)，不相等，故错误．综上，正确的有2个．5．数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”．事实上，许多代数问题可以转化为几何问题加以解决，例如，与eq\r(（x－a）2＋（y－b）2)相关的代数问题，可以转化为点A(x，y)与点B(a，b)之间的距离的几何问题．结合上述观点，可得方程|eq\r(x2＋6x＋13)－eq\r(x2－6x＋13)|＝4的解为()A．±eq\f(6,5)B．±eq\f(\r(5),5)C．±eq\f(6\r(5),5)D．±eq\f(3\r(5),5)【解析】选C.由|eq\r(x2＋6x＋13)－eq\r(x2－6x＋13)|＝4得，|eq\r(（x＋3）2＋（2－0）2)－eq\r(（x－3）2＋（2－0）2)|＝4，其几何意义为平面内动点(x，2)与两定点(－3，0)，(3，0)距离差的肯定值为4，平面内动点与两定点(－3，0)，(3，0)距离差的肯定值为4的点的轨迹是双曲线，设双曲线方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1，(a＞0，b＞0)，由题得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a＝4，,c＝3，,c2＝a2＋b2，))解得a＝2，b＝eq\r(5)，所以平面内动点与两定点(－3，0)，(3，0)距离差的肯定值为4的点的轨迹方程是eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1，联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝2，,\f(x2,4)－\f(y2,5)＝1，))解得x＝±eq\f(6\r(5),5).6.双曲线定位法是通过测定待定点到至少三个已知点的两个距离差所进行的一种无线电定位．通过船(待定点)接收到三个放射台的电磁波的时间差计算出距离差，两个距离差即可形成两条位置双曲线，两者相交便可确定船位．我们来看一种简洁的“特别”状况：如图所示，已知三个放射台分别为A，B，C且刚好三点共线，已知AB＝34海里，AC＝20海里．现以AB的中点为原点，AB所在直线为x轴建系．现依据船P接收到C点与A点发出的电磁波的时间差计算出距离差，得知船P在双曲线eq\f(（x－27）2,36)－eq\f(y2,64)＝1的左支上，若船P上接到A台放射的电磁波比B台电磁波早185.2μs(已知电磁波在空气中的传播速度约为0.3km/μs，1海里＝1.852km)，则点P的坐标(单位：海里)为()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(90,7)，±\f(32\r(11),7)))B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(135,7)，±\f(32\r(2),7)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(17，±\f(32,3)))D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(45，±16\r(2)))【解析】选B.由题可知，PB－PA＝185.2×0.3＝55.56km＝30海里，设依据船P接收到B点与A点发出的电磁波的时间差计算距离差时，构成的双曲线为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，由双曲线的定义知，PB－PA＝2a，所以a＝15，因为AB＝34＝2c，所以c＝17，b2＝c2－a2＝172－152＝64，所以双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的方程为eq\f(x2,225)－eq\f(y2,64)＝1.联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x2,225)－\f(y2,64)＝1，,\f(（x－27）2,36)－\f(y2,64)＝1，))解得x＝45或eq\f(135,7)，因为点P在双曲线eq\f(（x－27）2,36)－eq\f(y2,64)＝1的左支上，所以x＜xC＝eq\f(1,2)AB＋eq\f(1,2)AC＝17＋10＝27，所以x＝eq\f(135,7)，y＝±eq\f(32\r(2),7)，即点P的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(135,7)，±\f(32\r(2),7))).7．1970年4月24日，我国放射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从今我国开启了人造卫星的新篇章．人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是改变的，速度的改变听从面积守恒规律，即卫星的向径(卫星与地球的连线)在相同的时间内扫过的面积相等．设椭圆的长轴长、焦距分别为2a，2c，下列结论不正确的是()A．卫星向径的最小值为a－cB．卫星向径的最大值为a＋cC．卫星向径的最小值与最大值的比值越小，椭圆轨道越扁D．卫星运行速度在近地点时最小，在远地点时最大【解析】选D.由题意可得卫星的向径是椭圆上的点到右焦点的距离，所以最小值为a－c，最大值为a＋c，所以A，B正确；卫星向径的最小值与最大值的比值越小，即eq\f(a－c,a＋c)＝eq\f(1－e,1＋e)＝－1＋eq\f(2,1＋e)越小，则e越大，椭圆越扁，故C正确．因为运行速度是改变的，速度的改变听从面积守恒规律，而卫星运行时在近地点的向径最小，在远地点的向径最大，卫星的向径(卫星与地球的连线)在相同的时间内扫过的面积相等，则向径越大，速度越小，所以卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小，即D不正确．8．中国是世界上最古老的文明中心之一，中国古代对世界上最重要的贡献之一就