综合复习卷答案

20232024学年度高二数学第二学期综合复习卷一、单选题：1.设全集，集合则（C）A.B.C. D.【答案】C【解析】【详解】，或，.故选：C.2.已知为虚数单位，若，则（B）A. B.2 C. D.【答案】B【解析】【详解】因为，所以，.故选：B.3.的内角，，的对边分别为，，，若，，则结合的值，下列解三角形有两解的为（B）A.B.C.D.【答案】B【解析】【详解】由正弦定理可得，，所以，因为三角形有两解，所以，且，因此由选项知，只有符合.故选：B已知向量满足，且，则（B）A. B. C. D.1【答案】B【解析】【详解】因为，所以，即，又因为，所以，从而.故选：B.已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（A）（） B.（）C.（） D.（）【答案】A【解析】【详解】设点，则，因为为的中点，所以，即，又在圆上，所以，即，即点的轨迹方程为.故选：A已知双曲线（a、b均为正数）的两条渐近线与直线围成的三角形的面积为，则双曲线的离心率为（D） B. C. D.2【答案】D【解析】【详解】解：双曲线的渐近线为，令，可得，不妨令，，所以，所以，，即，所以，所以；故选：D甲､乙､丙､丁､戊共5名同学进行演讲比赛，决出第1名到第5名的名次.已知甲和乙都不是第1名，且丙和丁的名次相邻，则5人的名次排列可能有（B）种不同的情况.18 B.24 C.36D.48【答案】B【解析】【详解】由题意知，将丙和丁看成一个整体，分4种情况分析：①丙和丁的整体分别为第1、2名，有种情况；②丙和丁的整体分别为第2、3名，第1名只能是戊，所以甲和乙为第4、5名，有种情况；③丙和丁的整体分别为第3、4名，第1名只能是戊，所以甲和乙为第2、5名，有种情况；④丙和丁的整体分别为第4、5名，第1名只能是戊，所以甲和乙为第2、3名，有种情况；所以共有种情况.故选：B已知某圆台的上、下底面半径分别为，且，若半径为2的球与圆台的上、下底面及侧面均相切，则该圆台的体积为（C）A. B. C.D.【答案】C【解析】【详解】如图，设圆台上、下底面圆心分别为，则圆台内切球的球心O一定在的中点处，设球O与母线切于M点，所以，所以，所以与全等，所以，同理，所以，过A作，垂足为G，则，，所以，所以，所以，所以，所以该圆台的体积为.故选：C多选题：某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图.为进一步分析高分学生的成绩分布情况，计算得到这名学生中，成绩位于内的学生成绩方差为，成绩位于内的同学成绩方差为.则（BCD）参考公式：样本划分为层，各层的容量､平均数和方差分别为：、、；、、.记样本平均数为，样本方差为，.A.B.估计该年级学生成绩的中位数约为C.估计该年级成绩在分及以上的学生成绩的平均数为D.估计该年级成绩在分及以上的学生成绩的方差为【答案】BCD【解析】【详解】对于A选项，在频率分布直方图中，所有直方图的面积之和为，则，解得，A错；对于B选项，前两个矩形的面积之和为，前三个矩形的面积之和为，设计该年级学生成绩的中位数为，则，根据中位数的定义可得，解得，所以，估计该年级学生成绩的中位数约为，B对；对于C选项，估计成绩在分以上的同学的成绩的平均数为分，C对；对于D选项，估计该年级成绩在分及以上学生成绩的方差为，D对.故选：BCD.已知函数，则（BC）曲线的对称轴为B.在区间上单调递增C.的最大值为D.在区间上的所有零点之和为【答案】BC【解析】【详解】由题意可得：.对于选项A：令，解得，所以曲线的对称轴为，故A错误；对于选项B：因为，则，且在内单调递增，所以在区间上单调递增，故B正确；对于选项C：当，即时，取到最大值为，故C正确；对于选项D：令，解得，可知的零点为，则在区间上零点为，共8个，结合A可知，这些零点均关于直线对称，所以在区间上的所有零点之和为，故D错误；故选：BC.设有一组圆，下列命题正确的是（ACD）A.不论k如何变化，圆心始终在一条直线上B.存在圆经过点（3，0）C.存在定直线始终与圆相切D.若圆上总存在两点到原点的距离为1，则【答案】ACD【解析】【详解】解：根据题意，圆，其圆心为，半径为2，依次分析选项：对于A，圆心为，其圆心在直线上，A正确；对于B，圆，将代入圆的方程可得，化简得，，方程无解，所以不存在圆经过点，B错误；对于C，存在直线，即或，圆心到直线或的距离，这两条直线始终与圆相切，C正确，对于D，若圆上总存在两点到原点的距离为1，问题转化为圆与圆有两个交点，圆心距为，则有，解可得：或，D正确．故选：ACD．三、填空题：已知随机变量，则等于___0.15865_______．（参考数据：）【答案】0.15865【解析】详解】由题意随机变量，则，故，故答案为：0.15865展开式中项的系数为______42_______(用数字作答)【答案】42【解析】【详解】的展开式通项为，因为，在中，令，可得项的系数为；在中，令，得，可得项的系数为.所以，展开式中项的系数为.已知函数是奇函数，则的最小值为________【答案】【解析】【详解】令，得，故函数的定义域为．因为是奇函数，则其定义域关于原点对称，可得，即，此时，可得，可得是奇函数，即故，当且仅当，即，时等号成立，故的最小值为。四、解答题：设为数列的前项和，已知，且为等差数列．（1）求证：数列为等差数列；（2）若数列满足，且，设为数列的前项和，集合，求（用列举法表示）．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【小问1详解】设等差数列的公差为d，则，即，①因为，所以由，得．②由①、②解得，所以，即，当时，，当时，，上式也成立，所以，所以数列是等差数列．【小问2详解】由（1）可知，当时，，因为满足上式，所以．，因为当时，，所以某数学兴趣小组为研究本校学生数学成绩与语文成绩的关系，采取有放回的简单随机抽样，从学校抽取样本容量为200的样本，将所得数学成绩与语文成绩的样本观测数据整理如下：语文成绩合计优秀不优秀数学成绩优秀503080不优秀4080120合计90110200（1）根据的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？（2）在人工智能中常用表示在事件发生的条件下事件发生的优势，在统计中称为似然比.现从该校学生中任选一人，表示“选到的学生语文成绩不优秀”，表示“选到的学生数学成绩不优秀”请利用样本数据，估计的值.（3）现从数学成绩优秀的样本中，按分层抽样的方法选出8人组成一个小组，从抽取的8人里再随机抽取3人参加数学竞赛，求这3人中，语文成绩优秀的人数的概率分布列及数学期望.附：【答案】（1）认为数学成绩与语文成绩有关；（2）；（3）分布列见解析，.【解析】【小问1详解】零假设：数学成绩与语文成绩无关.据表中数据计算得：根据小概率值的的独立性检验，我们推断不成立，而认为数学成绩与语文成绩有关；【小问2详解】∵，∴估计的值为；【小问3详解】按分层抽样，语文成绩优秀的5人，语文成绩不优秀的3人，随机变量的所有可能取值为.，，，，∴的概率分布列为：0123∴数学期望.已知和为椭圆上两点.（1）求C的离心率;（2）若过P的直线交C于另一点B，且的面积为9，求的方程．【答案】（1）（2）直线的方程为或.【解析】【小问1详解】由题意得，解得，所以.【小问2详解】法一：，则直线的方程为，即，，由（1）知，设点到直线的距离为，则，则将直线沿着与垂直的方向平移单位即可，此时该平行线与椭圆的交点即为点，设该平行线的方程为：，则，解得或，当时，联立，解得或，即或，当时，此时，直线的方程为，即，当时，此时，直线的方程为，即，当时，联立得，，此时该直线与椭圆无交点.综上直线的方程为或.法二：同法一得到直线的方程为，点到直线的距离，设，则，解得或，即或，以下同法一.法三：同法一得到直线的方程为，点到直线的距离，设，其中，则有，联立，解得或，即或，以下同法一；法四：当直线的斜率不存在时，此时，，符合题意，此时，直线的方程为，即，当线的斜率存在时，设直线的方程为，联立椭圆方程有，则，其中，即，解得或，，，令，则，则同法一得到直线的方程为，点到直线的距离，则，解得，此时，则得到此时，直线的方程为，即，综上直线的方程为或.法五：当的斜率不存在时，到距离，此时不满足条件.当的斜率存在时，设，令，，消可得，，且，即，，到直线距离，或，均满足题意，或，即或.法六：当斜率不存在时，到距离，此时不满足条件.当直线斜率存在时，设，设与轴的交点为，令，则，联立，则有，，其中，且，则，则，解的或，经代入判别式验证均满足题意.则直线为或，即或.如图，在四棱锥中，四边形是菱形，平面平面，点在上，且．（1）求证：平面；（2）若，求平面与平面夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【小问1详解】不妨设，，由余弦定理得，在中，，平面平面，平面平面平面，平面．平面，四边形是菱形，，又，且平面平面平面．小问2详解】在平面内，过点作的垂线，垂足为，平面平面，平面平面，平面，又四边形是菱形，，均为等边三角形，以点A为坐标原点，及过点A平行于的直线分别为轴，建立空间直角坐标系（如图），则，由（1）平面，为平面的一个法向量，设平面的法向量为，则即．令，可得，平面与平面的夹角的余弦值为．已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【小问1详解】当时，则，，可得，，即切点坐标为，切线斜率，所以切线方程为，即.【小问2详解】解法一：因为的定义域为，且，若，则对任意恒成立，可知在上单调递增，无极值，不合题