【课件】谈直线与圆的复习

现“圆”形百花齐放

巧

突

破不拘一格谈直线与圆的复习山西省孝义中学蔡雪梅目录近五年高考考点分析一回归课本示例二2018年备考复习建议三一、近五年高考考点分析

纵观近年来的高考解析几何试题，知识面广，综合性强，背景新颖，灵活多样。对直线与圆的知识年年考查，近几年则更有增温态势，且表现为以下三大特点：1、直线与圆自身模块的小交汇：

这类试题以直线、圆为载体呈现，单纯考查直线、圆或将两种元素结合在一起综合考查。如：直线的平行或垂直判定，直线系方程，直线的对称问题，直线与圆的相切、相交等问题。如:1.（2016年全国甲卷4题）圆的圆心到直线的距离为1，则a=（）2.（2016年全国丙卷16题）已知直线与圆交于A、B两点，过A、B分别作L的垂线与x轴交于C、D两点.若，则=__________.

3.(2014年新课标1文科20题）已知点P(2,2），圆，过点P的动直线L与圆C交于A、B

两点，线段AB的中点为M,O为坐标原点.（1）求M的轨迹方程；（2）当时，求L的方程及的面积.

2、直线与圆同圆锥曲线知识的深度交汇：这类问题一直是高考热点。以直线与圆锥曲线的结合最为常见，几乎所有的圆锥曲线问题都离不开直线，体现了直线的基础地位。近年来，将直线、圆与圆锥曲线三种曲线结合在一起综合考查的题目越来越多，试题通过对知识的重新整合，既注重了整体平衡，更注意突出重点，对学生综合解决问题的能力，提出了更高的要求。如：1.（2017年全国1卷15题）已知双曲线

的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线

C的一条渐近线交于M、N两点，若，则C的离心率为_________.2.(2017年全国3卷10题）已知椭圆的左右顶点分别为，且以线段为直径的圆与直线

相切，则C的离心率为_____.3.(2017年全国3卷20题）已知抛物线，过点（2,0）的

直线L交C于A、B两点，圆M是以线段AB为直径的圆.（1）证明：坐标原点O在圆M上；（2）设圆M过点P（4，-2），求直线L与圆M的方程.3、直线与圆和不同模块知识的大交汇：

以直线与圆和函数、向量、平面几何、代数知识的结合最为常见。这为解析几何试题的命制开拓了新的思路，为实现在知识网络交汇点设计试题提供了良好的素材。如：1.（2017年全国3卷12题）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P

在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若，则的最大值为（）A.3B.C.D.22.(2016年四川卷7题）设P:实数x,y满足，q:实数x,y满足则p是q的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件二、回归课本示例由于直线与圆的基础地位以及与其他知识联系紧密的特点，所以在一轮复习时一定要求学生回归课本，而回归课本并不是简单的一句让学生自己看书，而是要带领学生对课本的例题、习题进行再研究，再探索和综合应用。事实上，大部分高考题都来源于课本。如：2017年全国1卷（理科）17题:的内角A.B.C的对边分别为ɑ、b、c，已知的面积为,（1）求就来源于人教A版必修5，20页习题1.2，B组第1题:证明三角形的面积公式：；再如2016年全国1卷（理科）17题:的内角A、B、C的对边分别为a,b,c,已知.(1)求C，则来源于人教A版必修5第18页练习第3题:在中，求证：；；.下面用一个例子来示范一下《直线与圆》这一章如何回归课本：

在《普通高中课程标准实验教科书》（人教A版）必修2中，多次出现一类问题：

1、P124习题4.1B组第3题

已知点M与两个定点O(0，0),A(3，0)的距离的比为求点M的轨迹方程。2、P139—140信息技术应用中，用《几何画板》探究点的轨迹.有一例题：已知点P(2，0)、Q（8，0），点M与点P的距离是它与点Q的距离的,用《几何画板》探究点M的轨迹并给出轨迹的方程.3、P144复习参考题B组2题已知点M(x,y)与两个定点的距离的比是一个正数m，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形。（考虑m=1和m≠1两种情形）上述三个问题有一个共同的规律即：平面内到两个定点的距离之比为定值（不为1）的点的轨迹其实这三个问题的背景都是阿波罗尼斯圆阿波罗尼斯对圆锥曲线有深刻的研究，他与阿基米德、欧几里得被称为亚历山大时期的“数学三巨匠”.阿波罗尼斯圆

设A.B是平面内的两个定点，平面内的动点C到点A的距离与到点B的距离的比为定值

，则点C的轨迹为圆.

设定线段AB的长为2a(a>0),以线段AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(-a,0),B(a,0),圆心(,0),半径为

xAOByC阿波罗尼斯圆很常见，曾多次在高考或各类自招竞赛题中显性或隐性地出现。

例1.（2008年高考江苏卷第13题）若AB=2.AC=BC,则的最大值是____.解法1：（常规）设BC=x,则AC=，根据面积公式得，

①

根据余弦定理得，将其代入①式得，由三角形三边关系有，解得故当时，取得最大值.解法2：以AB所在直线为x轴，AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，则A(-1，0),B(1，0),设C(x,y),由AC=BC可得，故点C的轨迹是圆（除去与x轴的两个交点），从而故的最大值为xAOByC小结：解法1用余弦定理将面积转化为边长的齐二次函数，再用二次函数最值求解，运算复杂；解法2看出三角题中隐藏着阿波罗尼斯圆，应用面积最大即高取圆的半径时最大，巧妙化解难点，使原本复杂的运算变得简单。解法1是常规解法，但解法2更本质，充分体现了在解小题时要多想少算。例2、（2011年浙江省温州市高三模拟题）等腰三角形ABC的腰AC上的中线BD的长为3,则的面积的最大值为________.此题题干简洁，问法常规，每个人看到此题时都会想去解三角形，但从解三角形角度思考又会感觉无从下手或运算复杂。事实上，若发现AB=2AD，则可知点A在以B、D为两定点的阿波罗尼斯圆上运动，所以与上题一样，易求得：r=2,ABDCABD·类似的题目还有很多，如：1、（2006年高考四川卷理科第6题）已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于（

）A．

B．

C．

D．2.(2008年高考四川卷理科第12题）已知抛物线C：的焦点为F，准线与x轴的交点为k，点A在C上且

,则的面积为（

）A.4B.8C.16D.

32例3.（2013年高考江苏卷17题）在平面直角坐标系xoy中，已知点A(0,3)，直线L:

y=2x-4,设圆C的半径为1，圆心在直线L上.（1）(略)（2）若圆C上存在点M使,求圆心C的横坐标a的取值范围.解：(2)解:∵圆C的圆心在直线L:y=2x-4上，所以，设圆心C为(a,2a-4)，则圆的方程为:又∵MA=2MO∴设M为(x,y)，则整理得:.设为圆D.∴点M既在圆C上又在圆D上，即:圆C和圆D有交点.∴由得，由得.终上所述,a的取值范围为:．小结：此题中很容易想到求点M的轨迹方程，但能否从轨迹中看出是圆，进而利用两圆的位置关系来解题非常关键，这就需要学生要有这方面的知识和经验积累。对比例1和例2，此题中的阿波罗尼斯圆可以认为是显性的。1.（2005年高考江苏卷第19题）如图所示，圆O1和圆O2的半径都等于1，=4，过动点P分别作圆O1，圆O2的切线PM，PN（M，N分别为切点），使得|PM|=|PN|.试建立平面直角坐标系，并求动点P的轨迹方程.类似的题目有：2、（2016年江苏省南京市、盐城市一模第17题）如图所示，A,B是两个垃圾中转站，B在A的正东方向16千米处，AB的南面为居民生活区。为了妥善处理生活垃圾，政府决定在的AB北面建一个垃圾发电厂P。垃圾发电厂的选址P拟满足以下两个要求（A，B，P可看成三个点）：①垃圾发电厂到两个垃圾中转站的距离与它们每天集中的生活垃圾量成反比，比例系数相同；②垃圾发电厂应尽量远离居民区（这里参考的指标是点P到直线AB的距离要尽可能大）。现估测得，A,B两个中转站每天集中的生活垃圾量分别约为30吨和50吨，问垃圾发电厂该如何选址才能同时满足上述要求？CDBA例4、（2011年卓越联盟自主招生第12题）在中,AB=2AC,AD是∠A的平分线.且AD=kAC，求k的取值范围.解法1（常规）：设AC=1,则AB=2,AD=k,由三角形内角平分线的性质可得,.由余弦定理可得,，，因为,,即

,故所求k的取值范围是yCDBA解法2：以BC所在直线为x轴，BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，不妨设B(-a,0),C(a,0)，A(x,y)，由AB=2AC,得点A的轨迹方程为：①又因为AD是的平分线，所以,又,而，②①代入②化简得，又x解法3：由条件AB=2AC,故构造半径为的阿波罗尼斯圆O，其中D是BC与圆的交点，AD是的平分线，则圆O上的点A满足AB=2AC,设,则令，从而为减函数.故，所以yxEBCDOA注：事实上，此题的几何事实一目了然，当点A在圆上运动时，点A趋近于圆直径的两端点D,E时为k的取值范围的端点，容易计算出端点对应的k值为0和.yxEBCDOA小结：通过此题可以看出，有些题虽然应用阿波罗尼斯圆在简化解题过程方面优势不大，但却能给我们提供多条思路，而且更容易看出问题的本质。1、（2014年高考湖北卷文科第17题）已知圆和点A(-2，0)，若定点B(b,0)(b

-2)和常数满足：对圆O上任意一点M，都有,则：（1）b=_____；（2）_____2、（2012年全国高中数学联赛福建省预赛高一第14题）已知圆,点A(4,6），B(s,t).若s,t为正整数,且圆C上任意一点到点A的距离与到点B的距离之比为定值,求m的值.类似的题目还有：总结：以阿波罗尼斯圆为命题背景编写的试题，由于内容形式常规、起点低，能保证大部分学生有思路、可以做，同时数学水平高、学科素养好的学生，从阿波罗尼斯圆的高层次观点去考虑，往往能更快捷地解决问题。所以这类试题能很好地检测学生能力，实现试题的区分功能。问题的设计以数学史上的名题为基础，显示出数学文化在选拔性考试中独特的“点石成金”的作用。所以，本着从学科的整体高度和思维价值的角度出发，将知识、能力与素质融为一体，全面考查学生的数学素养的试题无疑会是高考的热点。同时，探究命题规律，揭示试题背后的故事，除了能帮助学生从根源上理解试题的解法，更能帮助老师探明试题命制的来龙去脉，从而有效地提高学生的解题水平和教师的教学水平。

前面仅以一例说明如何带领学生回归课本，事实上，本章的课本习题有很多是非常有研究价值的。如：1.课本103页与109的直线系方程