苏科版九年级数学上册压轴题攻略专题04待定系数求二次函数的解析式压轴题五种模型全攻略特训(原卷版+解析)

专题04待定系数求二次函数的解析式压轴题五种模型全攻略考点一一点一参数代入求二次函数的解析式考点二两点两参数代入求二次函数的解析式考点三三点三参数代入求二次函数的解析式考点四已知顶点式求二次函数的解析式考点五已知交点式求二次函数的解析式典型例题典型例题考点一一点一参数代入求二次函数的解析式例题：（2022·全国·九年级专题练习）已知抛物线y＝x2＋（3﹣m）x﹣2m＋2(1)若抛物线经过坐标原点，求此时抛物线的解析式；(2)该抛物线的顶点随着m的变化而移动，当顶点移到最高处时，求该抛物线的顶点坐标；【变式训练】1．（2022·湖南·长沙市长郡双语实验中学九年级开学考试）已知抛物线（）经过点（，0）．(1)求抛物线的函数表达式和顶点坐标．(2)直线l交抛物线于点A（，m），B（n，7），n为正数．若点P在抛物线上且在直线l下方（不与点A，B重合），求出点P纵坐标的取值范围．考点二两点两参数代入求二次函数的解析式例题：（2022·福建·莆田二中九年级阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线图像恰好经过A（2，﹣9），B（4，﹣5）两点，求该抛物线解析式．【变式训练】1．（2023·湖北·襄州七中九年级阶段练习）如图，已知二次函数的图象经过点A(2，0)，B(0，-6)两点．(1)求这个二次函数的解析式；(2)设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求△ABC的面积．2．（2021·山东·嘉祥县金屯镇中学九年级阶段练习）如图，抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）与x轴交于点A（2，0）和点B（﹣6，0），与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线上是否存在一点P，使△PAB的面积与△ABC的面积相等，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．(3)设抛物线的对称轴与x轴交于点M，在对称轴上存在点Q，使△CMQ是以MC为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标．考点三三点三参数代入求二次函数的解析式例题：（2021·四川·邻水县坛同镇初级中学九年级阶段练习）已知二次函数y＝c的图象经过（0，﹣2），（﹣1，﹣1），（1，1）三点．(1)求这个函数的解析式；(2)写出此抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标，增减性，最值．【变式训练】1．（2022·云南·会泽县以礼中学校九年级阶段练习）如图，抛物线与x轴交于点A（-2，0）和点B（4，0），与y轴交于点C（0，4）(1)求抛物线的解析式．(2)点D在抛物线的对称轴上，求AD+CD的最小值．(3)点P是直线BC上方的点，连接CP，BP，若△BCP的面积等于3，求点P的坐标．2．（2022·甘肃·武威第九中学九年级阶段练习）如图，已知抛物线与x轴的交点坐标A(﹣4，0)，B(2，0)，并过点C(﹣2，﹣2)，与y轴交于点D．(1)求出抛物线的解析式；(2)求出△ABD的面积；(3)在抛物线对称轴上是否存在一点E，使BE+DE的值最小，如果有，写出点E的坐标；如果没有，说明理由．3．（2021·河南·睢县第二中学九年级期中）如图，抛物线经过A(﹣1，0)，B(3，0)，C(0，)三点．(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；(3)点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．考点四已知顶点式求二次函数的解析式例题：（2020·浙江省义乌市廿三里初级中学九年级阶段练习）已知抛物线经过点，，三点，求抛物线的解析式．【变式训练】1．（2022·广东·揭阳市实验中学模拟预测）如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的顶点为，连接．(1)求此抛物线的解析式；(2)抛物线对称轴上是否存在一点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．2．（2022·吉林·安图县第三中学九年级阶段练习）已知关于x的二次函数的图象与x轴交于（-1，0），(3，0)两点，且图象过点(0，3)，(1)求这个二次函数的解析式；(2)写出它的开口方向、对称轴3．（2022·河南·开封市东信学校九年级阶段练习）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0），B（3，0）．C（0，﹣3）三点，直线l是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的函数解析式；(2)设点M是直线l上的一个动点，当点M到点A，点C的距离之和最短时，求点M的坐标．考点五已知交点式求二次函数的解析式例题：（2021·宁夏·石嘴山市第九中学九年级期中）已知抛物线的顶点为P（﹣2，3），且过A（﹣3，0），求此二次函数的解析式．【变式训练】1．（2022·湖北·浠水县兰溪镇河口中学九年级阶段练习）已知某二次函数的图象经过点（2，-6），当x＝1时，函数的最大值为-4，求此二次函数的解析式．2．（2020·天津市西青区当城中学九年级阶段练习）抛物线的顶点坐标为（3，－1）且经过点（2，3），求该抛物线解析式．3．（2020·天津市西青区张家窝中学九年级阶段练习）已知二次函数图像的顶点坐标（-1，-3），且经过点（1，5），求此二次函数的表达式．4．（2022·湖北武汉·九年级期中）已知抛物线经过点(－1，0)，(3，0)，且函数有最小值－4．(1)求抛物线的解析式；(2)若0＜x＜4，求函数值y的取值范围．课后训练课后训练一、选择题1．（2022·江苏·九年级专题练习）将抛物线y＝（x+2）2﹣3先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后所得抛物线的解析式为（）A．y＝（x+3）2﹣5 B．y＝（x+3）2﹣1 C．y＝（x+1）2﹣1 D．y＝（x+1）2﹣52．（2022·江苏·九年级专题练习）一个二次函数，当x＝0时，y＝﹣5；当x＝﹣1时，y＝﹣4；当x＝﹣2时，y＝5，则这个二次函数的关系式是（

）A．y＝4x2+3x﹣5 B．y＝2x2+x+5 C．y＝2x2﹣x+5 D．y＝2x2+x﹣53．（2022·全国·九年级单元测试）已知抛物线经过点(0，5)，且顶点坐标为(2，1)，关于该抛物线，下列说法正确的是（

）A．表达式为 B．图象开口向下C．图象与轴有两个交点 D．当时，随的增大而减小二、填空题4．（2022·吉林·安图县第三中学九年级阶段练习）若二次函数的图象经过原点，则a＝____．5．（2021·湖北·黄梅县晋梅中学九年级阶段练习）已知一个二次函数的图象顶点坐标为（2，3），过点（1，7），则这个二次函数的解析式为_____．（用一般式表示）6．（2022·宁夏·隆德县第二中学九年级期末）抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x⋯01234⋯y⋯30-103⋯则抛物线的解析式是______________．三、解答题7．（2022·福建·莆田第二十五中学九年级阶段练习）根据下列条件分别求二次函数的表达式．(1)已知二次函数的图象经过点(﹣2，﹣1)，且当时，函数有最大值2．(2)已知二次函数图象的对称轴是直线x＝1，与坐标轴交于点(0，﹣1)，(﹣1，0)．8．（2022·陕西·西安工业大学附中九年级期中）抛物线与x轴交于A（﹣2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．(1)求抛物线的表达式；(2)点D是抛物线上一点，且∠DBC的角平分线在x轴上，点M是y轴上一点，若△ADM是以AD为腰的等腰三角形，求出点M的坐标．9．（2022·湖北·汉川市官备塘中学九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点和点.(1)求这条抛物线所对应的函数解析式；(2)点为该抛物线上一点（不与点重合），直线将的面积分成两部分，求点的坐标.10．（2022·吉林·安图县第三中学九年级阶段练习）二次函数中的x，y满足如表x…﹣1012…y…0﹣3m﹣3…(1)该抛物线的顶点坐标为；(2)①求m的值．②当x＞1时，y随值的x增大而（填“增大”或“减小”）．11．（2022·福建·莆田第二十五中学九年级阶段练习）如图是一个二次函数的图象，顶点是原点O，且过点A(2，1)．(1)求出二次函数的表达式；(2)我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，请用整数n表示这条抛物线上所有的整点坐标．(3)过y轴的正半轴上一点C(0，c)作AO的平行线交抛物线于点B，如果点B是整点，求证：OAB的面积是偶数．12．（2021·江苏·昆山市城北中学九年级阶段练习）如图，已知抛物线（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．(1)若直线y＝mx+n经过B，C两点，求直线BC和抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴x＝﹣1上找一点M，使MA+MC的值最小，求点M的坐标；(3)设P为抛物线的对称轴x＝﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．13．（2022·全国·九年级单元测试）如图，抛物线交x轴于点A（1，0），交y轴交于点B，对称轴是直线x＝2．(1)求抛物线的解析式；(2)若在抛物线上存在一点D，使△ACD的面积为8，请求出点D的坐标．(3)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使△PAB的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．14．（2022·甘肃·民勤县第六中学九年级期末）如图，抛物线经过点A(2，0)，B(-2，4)，(-4，0)，直线AB与抛物线的对称轴交于点E．(1)求抛物线的表达式；(2)点M在直线AB上方的抛物线上运动，当ΔABM的面积最大时，求点M的坐标；(3)若点F为平面内的一点，且以点为顶点的四边形是平行四边形，请写出符合条件的点F的坐标．15．（2022·黑龙江省新华农场中学九年级阶段练习）如图，已知抛物线的对称轴是直线x=3，且与x轴相交于A、B两点（B点在A点的右侧），与y轴交于C点．(1)A点的坐标是_____________；B点坐标是________________；(2)求直线BC的解析式；(3)点P是直线BC上方的抛物线上的一动点（不与B、C重合），是否存在点P，使△PBC的面积最大．若存在，请求出△PBC的最大面积，若不存在，试说明理由；(4)若点M在x轴上，点N在抛物线上，以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M点坐标．专题04待定系数求二次函数的解析式压轴题五种模型全攻略考点一一点一参数代入求二次函数的解析式考点二两点两参数代入求二次函数的解析式考点三三点三参数代入求二次函数的解析式考点四已知顶点式求二次函数的解析式考点五已知交点式求二次函数的解析式典型例题典型例题考点一一点一参数代入求二次函数的解析式例题：（2022·全国·九年级专题练习）已知抛物线y＝x2＋（3﹣m）x﹣2m＋2(1)若抛物线经过坐标原点，求此时抛物线的解析式；(2)该抛物线的顶点随着m的变化而移动，当顶点移到最高处时，求该抛物线的顶点坐标；【答案】(1)y＝x2+2x(2)（﹣2，0）【分析】（1）用待定系数法将（0，0）代入进行计算即可得；（2）设抛物线的顶点坐标为（p，q），即可得，，顶点移到最高处，即是q取最大值，而进行计算，利用二次函数的性质即可得．（1）解：将（0，0）代入得：，解得m＝1，∴抛物线的解析式为；（2）解：设抛物线的顶点坐标为（p，q），则，，顶点移到最高处，即是q取最大值，而＝＝＝，∵，∴当时，q最大值是0，此时，∴当顶点移到最高处时，抛物线的顶点坐标为（﹣2，0）．【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是作为待定系数法，二次函数的性质．【变式训练】1．（2022·湖南·长沙市长郡双语实验中学九年级开学考试）已知抛物线（）经过点（，0）．(1)求抛物线的函数表达式和顶点坐标．(2)直线l交抛物线于点A（，m），B（n，7），n为正数．若点P在抛物线上且在直线l下方（不与点A，B重合），求出点P纵坐标的取值范围．【答案】(1)，顶点坐标为(2)【分析】（1）将点（-2，0）代入求解；（2）分别求出点A、B坐标，根据图像开口方向及顶点坐标求解．（1）解：把（-2，0）代入，可得，解得，∴抛物线的函数表达式为，∵，∴抛物线顶点坐标为；（2）把代入，可得，∴，把代入函数解析式得，解得或，∴或，∵n为正数，∴，∴点A坐标为，点B坐标为，∵抛物线开口向上，顶点坐标为，∴抛物线顶点在下方，∴，．【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式以及二次函数的性质，解题关键是熟练掌握二次函数的性质以及待定系数法求函数解析式．考点二两点两参数代入求二次函数的解析式例题：（2022·福建·莆田二中九年级阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线图像恰好经过A（2，﹣9），B（4，﹣5）两点，求该抛物线解析式．【答案】【分析】利用待定系数法解答，即可求解．【详解】解：把A（2，﹣9），B（4，﹣5）代入，得：，解得：，所以该抛物线解析式为．【点睛】本题主要考查了求二次函数的解析式，熟练掌握利用待定系数法求二次函数的解析式的方法是解题的关键．【变式训练】1．（2023·湖北·襄州七中九年级阶段练习）如图，已知二次函数的图象经过点A(2，0)，B(0，-6)两点．(1)求这个二次函数的解析式；(2)设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求△ABC的面积．【答案】(1)(2)6【分析】（1）将点A及点B的坐标代入即可得出b、c的值，继而可得出二次函数解析式；（2）根据（1）求得的解析式，可得出对称轴，也可得出AC的长度，根据可得出答案．（1）解：（1）将点A（2，0）、B（0，−6）代入得：，解得：，故这个二次函数的解析式为：．（2）∵二次函数的解析式为：，∴二次函数的对称轴为x＝4，∴（4，0），B（0，−6）∴OC＝4，，∵点A（2，0），∴AC＝2，故．【点睛】此题考查了二次函数综合题，涉及了待定系数法求函数解析式、三角形的面积，要注意掌握点的坐标与线段长度之间的转换．2．（2021·山东·嘉祥县金屯镇中学九年级阶段练习）如图，抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）与x轴交于点A（2，0）和点B（﹣6，0），与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线上是否存在一点P，使△PAB的面积与△ABC的面积相等，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．(3)设抛物线的对称轴与x轴交于点M，在对称轴上存在点Q，使△CMQ是以MC为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标．【答案】(1)y＝(2)存在，点P的坐标为：（﹣2+，﹣6）或（﹣2﹣，﹣6）或（﹣4，6）(3)点Q的坐标为（﹣2，2）或（﹣2，﹣2）或（﹣2，12）【分析】（1）把A（2，0）和B（﹣6，0）代入解方程组即可；（2）先假设存点P，设出P点坐标，利用△PAB的面积与△ABC的面积相等建立方程求解即可；（3）如图1中，分三种情形①当时，②当时，③当时，分别求解即可．（1）解：（1）把A（2，0）和B（﹣6，0）代入，得：，解得：，∴抛物线的解析式为；（2）存在，P（﹣2+，﹣6）或（﹣2﹣，﹣6）或（﹣4，6），理由如下：∵A（2，0）、B（﹣6，0）、，∴AB＝8，C（0，6），OC＝6，设点P的纵坐标为，由△PAB的面积与△ABC的面积相等，得：，∴．解得：或．当时，＝﹣6，解得，当时，＝6，解得：（此时与点C重合，舍去），，综上所述，点P的坐标为：（﹣2+，﹣6）或（﹣2﹣，﹣6）或（﹣4，6）；（3）解：如图∵抛物线的解析式为：，∴它的对称轴为直线x＝﹣2，∴M（﹣2，0），设点Q坐标为（﹣2，t）．∵中，当x＝0时，y＝6，∴C（0，6），∵M（﹣2，0），∴，，．①当CQ＝QM时，，解得，∴点Q的坐标为，此时，MC不是腰，不符合题意，舍去；②当CM＝QM时，，解得：，∴点Q的坐标为或，③当CM＝CQ时，，解得：t＝0（舍去），或t＝12，∴Q点坐标为综上所述，符合条件的点Q的坐标为（﹣2，2）或（﹣2，﹣2）或（﹣2，12）【点睛】本题考查二次函数综合题、待定系数法、等腰三角形的判定和性质、三角形面积问题等知识，解题的关键是分类讨论思想的运用，属于中考压轴题．考点三三点三参数代入求二次函数的解析式例题：（2021·四川·邻水县坛同镇初级中学九年级阶段练习）已知二次函数y＝c的图象经过（0，﹣2），（﹣1，﹣1），（1，1）三点．(1)求这个函数的解析式；(2)写出此抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标，增减性，最值．【答案】(1)y＝(2)抛物线的开口象上，对称轴为直线x＝﹣，顶点坐标为（﹣，﹣），当x≤﹣时，y随x的增大而减小，当x＞时，y随x的增大增大，当x＝时，y取最小值﹣．【分析】（1）用待定系数法直接可得函数的解析式；（2）配成顶点式，根据二次函数性质可得答案．（1）解：把（0，﹣2），（﹣1，﹣1），（1，1）代入y＝得：解得，∴这个函数的解析式为y＝；（2）∵y＝2+x﹣2＝2﹣，∴抛物线的开口象上，对称轴为直线x＝﹣，顶点坐标为（﹣，﹣），当x≤﹣时，y随x的增大而减小，当x＞时，y随x的增大增大，当x＝时，y取最小值﹣．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握待定系数法，求出二次函数解析式．【变式训练】1．（2022·云南·会泽县以礼中学校九年级阶段练习）如图，抛物线与x轴交于点A（-2，0）和点B（4，0），与y轴交于点C（0，4）(1)求抛物线的解析式．(2)点D在抛物线的对称轴上，求AD+CD的最小值．(3)点P是直线BC上方的点，连接CP，BP，若△BCP的面积等于3，求点P的坐标．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）利用待定系数法解答，即可求解；（2）连接BD，根据二次函数的的对称性可得AD=BD，可得到当点B，D，C三点共线时，AD+CD的值最小，最小值等于BC的长，利用勾股定理求出BC，即可求解；（3）过点P作PF⊥x轴于点F，交BC于点E，先求出直线BC的解析式，设点，则点，可得，再根据△BCP的面积等于3，列出方程，即可求解．（1）解：把点A（-2，0），点B（4，0），点C（0，4）代入得：，解得：，∴抛物线的解析式为；（2）如图，连接BD，∵点D在抛物线的对称轴上，∴AD=BD，∴AD+CD=BD+CD≥BC，∴当点B，D，C三点共线时，AD+CD的值最小，最小值等于BC的长，∵点B（4，0），点C（0，4），∴OB=OC=4，∴；（3）解：如图，过点P作PF⊥x轴于点F，交BC于点E，设直线BC的解析式为，把点B（4，0），点C（0，4）代入得：，解得：，∴直线BC的解析式为，设点，则点，∴，∵△BCP的面积等于3，∴，解得：m=1或3，∴点P的坐标为或．【点睛】本题主要考查了求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键．2．（2022·甘肃·武威第九中学九年级阶段练习）如图，已知抛物线与x轴的交点坐标A(﹣4，0)，B(2，0)，并过点C(﹣2，﹣2)，与y轴交于点D．(1)求出抛物线的解析式；(2)求出△ABD的面积；(3)在抛物线对称轴上是否存在一点E，使BE+DE的值最小，如果有，写出点E的坐标；如果没有，说明理由．【答案】(1)y＝(2)△ABD的面积为6(3)存在，点E的坐标为(﹣1，﹣)【分析】（1）利用待定系数法将A，B，C三点坐标代入抛物线解析式，解方程组即可求得结论；（2）利用抛物线解析式求得点D坐标，利用点的坐标表示出线段OA，OB，OD的长度，根据三角形的面积公式即可求得结论；（3）连接AD交对称轴于点E，则此时BD+BE最小；分别求得对称轴方程和直线AD的解析式，联立后解方程组即可求得点E坐标．（1）∵物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣4，0），B（2，0），C（﹣2，﹣2），∴，解得：．∴抛物线的解析式为y＝．（2）令x＝0，则y＝﹣2，∴D（0，﹣2）．∴OD＝2．∵A（﹣4，0），B（2，0），∴OA＝4，OB＝2，∴AB＝OA+OB＝6．∴AB•AD＝×6×2＝6．∴△ABD的面积为6．（3）在抛物线对称轴上存在一点E，使BE+DE的值最小，理由：∵y＝＝＝，∴抛物线y＝的对称轴为直线x＝﹣1．连接AD交对称轴于点E，则此时BD+BE最小，如图，设直线AD的解析式为y＝kx+m，由题意得：，解得：．∴直线AD的解析式为y＝﹣x﹣2．∴．解得：．∴E（﹣1，﹣）．∴抛物线对称轴上存在一点E，使BE+DE的值最小，点E的坐标为（﹣1，﹣）【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法确定函数的解析式，二次函数图象的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，一次函数图象的性质，轴对称的性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．3．（2021·河南·睢县第二中学九年级期中）如图，抛物线经过A(﹣1，0)，B(3，0)，C(0，)三点．(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；(3)点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)（1，1）(3)存在，，，，，【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）因为点A关于对称轴对称的点B的坐标为（3，0），连接BC交对称轴直线于点P，求出P点坐标即可；（3）分点N在x轴下方或上方两种情况进行讨论．（1）解：设抛物线的解析式为，，，三点在抛物线上，，解得．抛物线的解析式为：．（2）抛物线的解析式为，其对称轴为直线：．连接，设直线的解析式为，，，解得．直线的解析式为．当时，．；（3）存在．如图2所示．①当点在轴上方时，抛物线的对称轴为直线，，；②当点在轴下方时，如图，过点作轴于点，△△．，即点的纵坐标为．．解得或，，，，．综上所述，点的坐标为，，，，．【点睛】本题考查的是二次函数综合知识，涉及到用待定系数法求一次函数与二次函数的解析式、平行四边的判定与性质、全等三角形等知识，在解答（3）时要注意进行分类讨论．考点四已知顶点式求二次函数的解析式例题：（2020·浙江省义乌市廿三里初级中学九年级阶段练习）已知抛物线经过点，，三点，求抛物线的解析式．【答案】【分析】解法一：根据A（﹣2，0），B（，0），可设交点式，代入C点坐标即可求得二次函数的解析式；解法二：可设一般式，代入A、B、C点坐标即可求二次函数的解析式．【详解】解：解法一：设

代入C（0，2）得解得：，∴，解法二：设

代入A（﹣2，0），B（，0），C（0，2）三点，得

，解得：，【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．【变式训练】1．（2022·广东·揭阳市实验中学模拟预测）如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的顶点为，连接．(1)求此抛物线的解析式；(2)抛物线对称轴上是否存在一点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)存在，，【分析】（1）设抛物线的解析式为，再把代入求出的值即可；（2）根据（1）中抛物线的解析式，求出抛物线的对称轴及顶点坐标，设出点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，求出点的坐标，所以可得出的面积，进而得出点的坐标．（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点，∴设抛物线的解析式为，∵过点，∴，解得，∴抛物线的解析式为，即；（2）解：∵抛物线的解析式为；∴其对称轴，顶点的坐标为，∵点在抛物线的对称轴上，∴设，∵，，∴设过点、的直线解析式为，∴，解得，∴直线的解析式为，∴直线与轴的交点的坐标为，∴，∴，∵，∴，解得，当点在点上方时，，解得，∴此时；当点在点下方时，，解得，∴此时，综上所述，可得：，．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、求二次函数解析式、三角形的面积公式，解本题的关键在明确题意，利用二次函数性质和数形结合思想解答问题．2．（2022·吉林·安图县第三中学九年级阶段练习）已知关于x的二次函数的图象与x轴交于（-1，0），(3，0)两点，且图象过点(0，3)，(1)求这个二次函数的解析式；(2)写出它的开口方向、对称轴【答案】(1)(2)开口向下，对称轴为直线【分析】（1）设这个二次函数的解析式为，然后把点(0，3)代入，即可求解；（2）把二次函数的解析式化为顶点式，即可求解．（1）解：设这个二次函数的解析式为，把点(0，3)代入得：，解得：，∴这个二次函数的解析式为；（2）解：∵，∴二次函数开口向下，∵，∴二次函数的对称轴为直线．【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数的性质．3．（2022·河南·开封市东信学校九年级阶段练习）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0），B（3，0）．C（0，﹣3）三点，直线l是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的函数解析式；(2)设点M是直线l上的一个动点，当点M到点A，点C的距离之和最短时，求点M的坐标．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用两点式和待定系数法求函数解析式即可；（2）连接BC，BC与直线l的交点即为M．（1）解：设二次函数的解析式为：，将点C（0，﹣3）代入得：，解得：，∴；∴函数的解析式为：．（2）解：抛物线的对称轴为：；点A关于直线l的对称点为点B，连接BC，则BC是点M到点A，点C的距离之和的最小值，设直线BC的解析式为：，则：，解得：，∴，设，代入得：，∴．【点睛】本题考查二次函数的综合应用，准确求出函数的解析式，利用二次函数的性质进行解题是解题的关键．本题的动点问题是将军饮马问题，找到定点的对称点，与另一个定点形成的线段即为最短距离．考点五已知交点式求二次函数的解析式例题：（2021·宁夏·石嘴山市第九中学九年级期中）已知抛物线的顶点为P（﹣2，3），且过A（﹣3，0），求此二次函数的解析式．【答案】【分析】设抛物线的顶点式，将顶点P（﹣2，3）及点A（﹣3，0）代入即可解答．【详解】解：设二次函数解析式为：，∵顶点坐标为P（﹣2，3），∴，将点A（﹣3，0）代入得，解得：，∴．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，根据题目给出的条件，正确设出二次函数解析式是解题的关键．【变式训练】1．（2022·湖北·浠水县兰溪镇河口中学九年级阶段练习）已知某二次函数的图象经过点（2，-6），当x＝1时，函数的最大值为-4，求此二次函数的解析式．【答案】【分析】根据题意得到抛物线的顶点坐标为（1，-4），于是可设顶点式，然后把（2，-6）代入求出a的值即可．【详解】解：∵当x=1时，函数的最大值为-4，∴抛物线的顶点坐标为（1，-4），设所求二次函数解析式为，把（2，-6）代入得，解得a=-2，∴此二次函数解析式为．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．2．（2020·天津市西青区当城中学九年级阶段练习）抛物线的顶点坐标为（3，－1）且经过点（2，3），求该抛物线解析式．【答案】【分析】因为抛物线的顶点坐标为M（3，﹣1），所以设此二次函数的解析式为，把点（2，3）代入解析式即可解答．【详解】解：已知抛物线的顶点坐标为（3，﹣1），设此二次函数的解析式为，把点（2，3）代入解析式，得：a﹣1＝3，即a＝4，∴此函数的解析式为．【点睛】本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法．题目给出了二次函数的顶点坐标，则采用顶点式求解简单．3．（2020·天津市西青区张家窝中学九年级阶段练习）已知二次函数图像的顶点坐标（-1，-3），且经过点（1，5），求此二次函数的表达式．【答案】【分析】由于已知二次函数的顶点坐标，则可设顶点式，然后把（1，5）代入求出a即可．【详解】解：设二次函数的解析式为，把（1，5）代入得a•4﹣3＝5，解得a＝2，所以二次函数的解析式为．即．【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．4．（2022·湖北武汉·九年级期中）已知抛物线经过点(－1，0)，(3，0)，且函数有最小值－4．(1)求抛物线的解析式；(2)若0＜x＜4，求函数值y的取值范围．【答案】(1)（或）(2)【分析】（1）利用二次函数的对称性可由抛物线经过点(－1，0)，(3，0)，得到抛物线的对称轴为直线，则抛物线的顶点坐标为，于是可设顶点式，然后把代入求出a的值即可；（2）求得和的函数值，即可求得结论．（1）∵抛物线经过点(－1，0)，(3，0)，∴抛物线的对称轴为直线，∵函数有最小值-4，∴抛物线的顶点坐标为，设抛物线解析式为，把代入得，解得，∴抛物线的解析式为（或）．（2）∵，∴抛物线开口向上，函数有最小值为，当时，，∴当时，函数值y的取值范围是．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图像上点的坐标特征，二次函数的性质，求得顶点坐标是解题的关键．课后训练课后训练一、选择题1．（2022·江苏·九年级专题练习）将抛物线y＝（x+2）2﹣3先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后所得抛物线的解析式为（）A．y＝（x+3）2﹣5 B．y＝（x+3）2﹣1 C．y＝（x+1）2﹣1 D．y＝（x+1）2﹣5【答案】D【分析】先得到抛物线y＝（x+2）2﹣3的顶点坐标为（﹣2，﹣3），再利用点的平移规律得到点（-2，-3）平移后对应点的坐标为（-1，-5），然后根据顶点式写出平移的抛物线解析式．【详解】解：抛物线y＝（x+2）2﹣3的顶点坐标为（﹣2，﹣3），把（﹣2，﹣3）向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后得到对应点的坐标为（﹣1，﹣5），所以平移后抛物线解析式为y＝（x+1）2﹣5．故选：D．【点睛】本题考查了二次函数图象的平移与几何变换，利用抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题关键．2．（2022·江苏·九年级专题练习）一个二次函数，当x＝0时，y＝﹣5；当x＝﹣1时，y＝﹣4；当x＝﹣2时，y＝5，则这个二次函数的关系式是（

）A．y＝4x2+3x﹣5 B．y＝2x2+x+5 C．y＝2x2﹣x+5 D．y＝2x2+x﹣5【答案】A【分析】设二次函数的关系式是y＝ax2+bx+c（a≠0），然后由当x＝0时，y＝﹣5；当x＝﹣1时，y＝﹣4；当x＝﹣2时，y＝5，得到a，b，c的三元一次方程组，解方程组确定a，b，c的值即可．【详解】解：设二次函数的关系式是y＝ax2+bx+c（a≠0），∵当x＝0时，y＝﹣5；当x＝﹣1时，y＝﹣4；当x＝﹣2时，y＝5，∴c＝﹣5①，a﹣b+c＝﹣4②，4a﹣2b+c＝5③，解由①②③组成的方程组得，a＝4，b＝3，c＝﹣5，所以二次函数的关系式为：y＝4x2+3x﹣5．故选：A．【点睛】本题考查了用待定系数法确定二次函数的解析式．设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），通过解方程组确定a，b，c的值．3．（2022·全国·九年级单元测试）已知抛物线经过点(0，5)，且顶点坐标为(2，1)，关于该抛物线，下列说法正确的是（

）A．表达式为 B．图象开口向下C．图象与轴有两个交点 D．当时，随的增大而减小【答案】D【分析】由二次函数顶点坐标可设抛物线解析式为顶点式，将(0，5)代入解析式求解．【详解】解：∵抛物线顶点坐标为(2，1)，∴，将(0，5)代入得，解得，∴，故选项A不符合题意；∵a=1>0，∴图象开口向上，故选项B不符合题意；∵顶点坐标为(2，1)，且图象开口向上，∴图象与轴没有有两个交点，故选项C不符合题意；∵a=1>0，且对称轴为直线x=2，∴时，随增大而减小，故选项D符合题意；故选：D．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握二次函数图象与系数的关系．二、填空题4．（2022·吉林·安图县第三中学九年级阶段练习）若二次函数的图象经过原点，则a＝____．【答案】1【分析】把点（0，0）代入，即可求解．【详解】解：∵二次函数的图象经过原点，∴且，解得：．故答案为：1【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，通过代入点的坐标即可求解，较为简单．5．（2021·湖北·黄梅县晋梅中学九年级阶段练习）已知一个二次函数的图象顶点坐标为（2，3），过点（1，7），则这个二次函数的解析式为_____．（用一般式表示）【答案】【分析】设顶点式，再把（1，7）代入求得a＝4，从而得到抛物线解析式，然后把顶点式化为一般式即可．【详解】解：∵二次函数的图象顶点坐标为（2，3），∴抛物线解析式可设为，把（1，7）代入得，解得a＝4，所以二次函数解析式为，即．故答案为：．【点睛】本题了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．6．（2022·宁夏·隆德县第二中学九年级期末）抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x⋯01234⋯y⋯30-103⋯则抛物线的解析式是______________．【答案】【分析】结合题意，根据二次函数的性质，通过列二元一次方程组并求解，即可得到答案．【详解】根据题意，得：将代入到，得：∴∴故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数、二元一次方程组的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数、二元一次方程组的性质，从而完成求解．三、解答题7．（2022·福建·莆田第二十五中学九年级阶段练习）根据下列条件分别求二次函数的表达式．(1)已知二次函数的图象经过点(﹣2，﹣1)，且当时，函数有最大值2．(2)已知二次函数图象的对称轴是直线x＝1，与坐标轴交于点(0，﹣1)，(﹣1，0)．【答案】(1)(2)【分析】（1）由二次函数当时，有最大值是2，得到二次函数的顶点坐标为（），设出二次函数的顶点式方程，将（）代入求出a的值，即可求出二次函数的解析式．（2）已知抛物线的对称轴，可以设出函数的解析式为，把（），（）代入函数解析式即可求得函数解析式．（1）解：由二次函数当时，有最大值是2，得到顶点坐标为（），设二次函数解析式为（a≠0），将点（）代入得：，解得：，则二次函数解析式为．（2）设函数的解析式是，根据题意得：，解得：．则函数的解析式是．【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，根据条件正确设出函数的解析式形式是解题的关键．8．（2022·陕西·西安工业大学附中九年级期中）抛物线与x轴交于A（﹣2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．(1)求抛物线的表达式；(2)点D是抛物线上一点，且∠DBC的角平分线在x轴上，点M是y轴上一点，若△ADM是以AD为腰的等腰三角形，求出点M的坐标．【答案】(1)(2)（0，5）或（0，）或（0，）【分析】（1）将A、B、C三点坐标代入求出a、b、c即可；（2）如图，根据角平分线的定义得出∠DBA=∠CBA，可证明△≌△BOC，得出点坐标，利用待定系数法求解直线的解析式，与抛物线联立方程组求出点D坐标，设M（0，t），分AM=AD和DM=AD两种情况，利用两点距离坐标公式列方程求解即可．（1）解：将A（﹣2，0）、B（6，0）、C（0，﹣3）代入中，得，解得：∴求抛物线的表达式为；（2）解：如图，设BD交y轴于点，∵∠DBC的角平分线在x轴上，∴∠DBA=∠CBA，又∠=∠BOC=90°，OB=OB，∴△≌△BOC（ASA），∴=OC=3，∴（0，3），设直线的解析式为，则，解得：，∴直线的解析式为，联立方程组，解得或，∴D（-4，5），设M（0，t），则，，，∵△ADM是以AD为腰的等腰三角形，∴AM=AD和DM=AD，当AM=AD时，，则=29，解得：t=±5，当t=-5时，M（0，-5），设直线DM的解析式为y=px+q，则，解得：，∴直线DM的解析式为，则点A（-2，0）在直线DM上，即A、D、M不能构成三角形，∴（0，5）；当DM=AD时，，则=29，解得：，∴（0，）或（0，），综上，满足条件的点M坐标为（0，5）或（0，）或（0，）．【点睛】本题考查待定系数法求函数的解析式、角平分线的定义、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、两点距离坐标公式、解方程等知识，属于二次函数与几何图形相结合的综合题型，难度适中，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用数形结合和分类讨论思想求解是解答的关键．9．（2022·湖北·汉川市官备塘中学九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点和点.(1)求这条抛物线所对应的函数解析式；(2)点为该抛物线上一点（不与点重合），直线将的面积分成两部分，求点的坐标.【答案】(1)(2)【分析】（1）设抛物线的表达式为，待定系数法求解析式即可求解；（2）当BH=AB=2时，CH将△ABC的面积分成2：1两部分，即点H的坐标为（2，0），则CH和抛物线的交点即为点P，进而求解；（1）∵抛物线经过点和点.∴设抛物线的表达式为，，∵，∴，解得：，∴；（2）由点A、B的坐标知，OB=2OA，故CO将△ABC的面积分成2：1两部分，此时，点P不在抛物线上；如图，设交轴于点∵，当BH=AB=2时，CH将△ABC的面积分成2：1两部分，∴，∴∴点H的坐标为（2，0），由可得,设过点C、H的直线解析式为，∴，解得，直线CH的表达式为，联立，解得：或（舍去），故点P的坐标为（6，-8）．【点睛】本题考查了待定系数法求解析式和与几何图形结合的综合，数形结合是解题的关键．10．（2022·吉林·安图县第三中学九年级阶段练习）二次函数中的x，y满足如表x…﹣1012…y…0﹣3m﹣3…(1)该抛物线的顶点坐标为；(2)①求m的值．②当x＞1时，y随值的x增大而（填“增大”或“减小”）．【答案】(1)（1，-4）；(2)①m=-4；②增大【分析】（1）设一般式，再取两组对应值代入得到关于a、b的方程组，然后解方程组即可；（2）①把x=1代入二次函数的解析式求解即可；②根据二次函数的性质即可写出答案．（1）解：设抛物线解析式为，把（-1，0），（2，-3）代入得，解得：，∴解析式为：，∴抛物线的对称轴为直线x=1，∴当x=1时，y=-4，∴抛物线的顶点坐标为（1，-4）．故答案为：（1，-4）；（2）解：①把x=1代入，可得y=1-2-3=-4，所以m=-4；②∵，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，∴当x＞1时，y随值的x增大而增大．故答案为：增大．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握待定系数法，求出二次函数的解析式．11．（2022·福建·莆田第二十五中学九年级阶段练习）如图是一个二次函数的图象，顶点是原点O，且过点A(2，1)．(1)求出二次函数的表达式；(2)我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，请用整数n表示这条抛物线上所有的整点坐标．(3)过y轴的正半轴上一点C(0，c)作AO的平行线交抛物线于点B，如果点B是整点，求证：OAB的面积是偶数．【答案】(1)(2)，其中n为整数(3)见解析【分析】（1）可设抛物线的解析式为，然后只需把点A的坐标代入抛物线的解析式，就可解决问题；（2）由抛物线的解析式可知，要使y是整数，只需x是偶数，故x可用2n表示（n为整数），由此就可解决问题；（3）运用待定系数法求出直线OA的解析式，然后根据两直线平行一次项的系数相同，可得到直线BC的函数表达式；由于点B是整点，点B的坐标可表示为，代入直线BC的解析式，即可得到a的值（用n表示），然后根据平行等积法可得，由于与是相邻整数，必然一奇一偶，因而是偶数，问题得以解决．（1）解：∵二次函数的图象，顶点是原点O，且过点A(2，1)，设抛物线的解析式为，将点代入得，，解得，∴二次函数的表达式为；（2）解：∵抛物线的解析式为，∴抛物线上整点坐标可表示为，其中n为整数（3）证明：设直线OA的解析式为把点A（2，1）代入y=kx,得1=2k,解得k=，∴直线OA的解析式为,∴过点C（0，c）与直线OA平行的直线的解析式为；∵点B是整点，∴点B的坐标可表示为，其中n为整数，把B代入,得∴．∵，∴，∵为整数，∴与一奇一偶，∴是偶数，即△OAB的面积是偶数．【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求直线与抛物线的解析式、两直线平行问题、直线上点的坐标特征、平行等积法、奇数与偶数等知识，运用平行等积法是解决第（3）小题的关键．12．（2021·江苏·昆山市城北中学九年级阶段练习）如图，已知抛物线（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．(1)若直线y＝mx+n经过B，C两点，求直线BC和抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴x＝﹣1上找一点M，使MA+MC的值最小，求点M的坐标；(3)设P为抛物线的对称轴x＝﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．【答案】(1)，y＝x+3(2)M的坐标为（﹣1，2）(3)点P的坐标为（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，）或（﹣1，）【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）设直线BC与对称轴x＝﹣1的交点为M，则此时MA+MC的值最小，进而求解；（3）分点B为直角顶点、点C为直角顶点、P为直角顶点三种情况，分别求解即可．（1）解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，且抛物线经过A（1，0），故点B的坐标为（﹣3，0），设抛物线的表达式为y＝＝，将点C坐标代入上式得：3＝a（﹣3），解得a＝﹣1，∴抛物线的解析式为：；把B（﹣3，0），C（0，3）代入y＝mx+n得：，解得，∴直线的解析式为y＝x+3；（2）解：设直线BC与对称轴x＝﹣1的交点为M，则此时MA+MC的值最小．把x＝﹣1代入直线y＝x+3得y＝2，故M（﹣1，2），即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为（﹣1，2）；（3）解：设P（﹣1，t），B（﹣3，0），C（0，3），则＝18，＝＝，，若点B为直角顶点时，则，即18+＝，解得t＝﹣2；若点C为直角顶点时，则BC2+PC2＝PB2，即＝18+，解得t＝4，若P为直角顶点时，则，则+＝18，解得t＝，综上，点P的坐标为（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，）或（﹣1，）．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、直角三角形的性质、点的对称性等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．13．（2022·全国·九年级单元测试）如图，抛物线交x轴于点A（1，0），交y轴交于点B，对称轴是直线x＝2．(1)求抛物线的解析式；(2)若在抛物线上存在一点D，使△ACD的面积为8，请求出点D的坐标．(3)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使△PAB的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)D（5，8）或（﹣1，8）(3)存在，（2，1）【分析】（1）利用待定系数法解答，即可求解；（2）先求出点C（0，3），可得AC=2，根据三角形的面积可得到n＝±8，再代入抛物线解析式，即可求解；（3）根据抛物线的对称性可得当点P与点B，C共线时，△PAB的周长最小，求出直线BC的解析式，即可求解．（1）解：由题意得∶，解得，∴抛物线的解析式为；（2）解：令y=0，则，解得：，∴点C（0，3），∴AC=2，设D（m，n），∵△ACD的面积为8，∴×2×|n|＝8，∴n＝±8，当n＝8时，，解得x＝5或﹣1，∴D（5，8）或（﹣1，8），当n＝﹣8时