拓展3 导数与零点、不等式的综合运用（精讲）（解析版）-人教版高中数学精讲精练选择性必修二

资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】拓展3导数与零点、不等式的综合运用（精讲）考点一不等式成立【例1】（2022辽宁省）已知函数，定义域都是，且为偶函数，为奇函数，．(1)求函数和的解析式；(2)若恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)，(2)【解析】（1）因为为偶函数，为奇函数，所以，由，，.（2）因为为奇函数，所以为偶函数，，当时，，所以为上单调递增，又为偶函数，所以在上单调递减，所以，，所以．根据题意，恒成立，所以．故实数的取值范围是．【一隅三反】1．（2022·宁夏）已知函数.(1)求函数的单调区间；(2)若函数恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)见解析(2)【解析】（1）函数的定义域为，且，当时，，当时，，当时，，所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.当时，，有两根－1，，且，，则；，则；故函数的单调递增区间为和，单调递减区间为.综上可知：当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）函数恒成立转化为在上恒成立.令，则，，，，，故在上为增函数，在上为减函数.所以，则，又，故实数的取值范围为.2（2022·贵州）已知函数.(1)当时，求的最大值；(2)当时，.若对恒成立，求的取值范围.【答案】(1)0(2)【解析】（1）函数的定义域为，当时，，当时，，函数在上单调递增；当时，，函数在上单调递减.所以.（2）当时，，，必要性：，，故，即.充分性：当时，，故，恒成立.函数在上是减函数，恒成立，满足.综上所述：的取值范围是.考点二函数的零点【例2】（2022·全国·高二专题练习）已知函数的图像在x＝1处的切线与直线垂直．(1)求的解析式；(2)若在内有两个零点，求m的取值范围；(3)若对任意的，不等式恒成立，求实数k的最大值．【答案】(1)；(2)；(3)3【解析】（1），则，∵函数的图像在x＝1处的切线与直线x+3y﹣1＝0垂直，∴，即，解得，∴；（2）由（1）得，则，则，由得x＝1，由得，由得，∴在上单调递减，在上单调递增，∴当时，取得极小值也是最小值，要使在内有两个零点，只需满足，即，解得，故实数的取值范围为；（3）对任意的，不等式恒成立，转化为对任意的，恒成立，①当时，，显然成立，此时；②当时，恒成立，令，则，∵x＞0，∴恒成立，由得，由得，由得0＜x＜1，∴在上单调递减，在上单调递增，∴当x＝1时，取得极小值也是最小值，且，∴；③当时，恒成立，令，此时m（x）＜0，由②得（），令，，∴在上单调递增，又，由零点存在定理得存在，使得，有，即，由得，由得，∴在上单调递减，在上单调递增，∴当时，取得极大值也是最大值，且＝，∴，综上所述，实数k的取值范围为，∴实数k的最大值为3．【一隅三反】1．（2022·广东广州·高二期末）已知函数.(1)求函数的单调区间；(2)若函数有两个不同的零点、，求实数的取值范围.【答案】(1)答案见解析(2)【解析】（1）解：函数的定义域为，，当时，对任意的，，此时函数的单调递增区间为；当时，由可得，由可得，此时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.综上所述，当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）解：由（1）可知，当时，函数在上单调递增，此时函数至多一个零点，不合乎题意；当时，函数在上单调递增，在上单调递减，则，令，其中，则，所以，函数在上单调递减，且，所以，，故.令，其中，则.当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，所以，，即，所以，，所以，，，又因为，由零点存在定理可知，函数在、上各有一个零点，合乎题意.综上所述，实数的取值范围是.2（2022·安徽·歙县教研室高二期末）已知函数，.(1)求函数的极值；(2)当时，判断函数在上零点个数.【答案】(1)答案见解析(2)两个【解析】（1）由知定义域为，①当时，在上，故单调递减，所以无极值.②当时，由得:，当时，当时，.所以函数有极小值为，无极大值.（2）当时，，，当时，，当时，单调递增，且，，故在上存在使得，而当时，.所以在上单调递减，在上单调递增，且，，所以，又，故由零点的存在性定理在上存在一个零点，在上也存在一个零点.所以在上有两个零点.3．（2022·全国·高二专题练习）已知函数，其中.(1)若的极小值为－16，求；(2)讨论的零点个数.【答案】(1)(2)答案见解析【解析】（1）由题得，其中，当时，，单调递增，无极值；当时，令，解得或；令，解得，所以的单调递减区间为，单调递增区间为，，所以当时，取得极小值，所以，解得.（2）由（1）知当时，的极小值为，的极大值为，当，即时，有三个零点，如图①曲线；当，即时，有两个零点，如图②曲线；当，即时，有一个零点，如图③曲线；当时，，易知有一个零点.

综上，当时，有一个零点；当时，有两个零点；当时，有三个零点.考点三双变量问题【例3】（2021·江西·高安中学高二期中（理））巳知函数.(1)求函数f（x）的最大值;(2)若关于x的方程有两个不等实数根证明:【答案】(1)2(2)证明见详解【解析】（1）因为，所以.令，得；令，得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以.（2）方程可化为.设，显然在上是增函数，又，所以有，即方程有两个实数根，.由（1）可知，则有，所以的取值范围为.因为方程有两个实数根，，所以，则，要证，即证.，需证.需证.不妨设，令，则，即要证.设，则，所以在上是增函数，，即成立，故原式成立.【一隅三反】1（2022·陕西安康·高二期末（理））已知函数．(1)若时，，求的取值范围；(2)当时，方程有两个不相等的实数根，证明：．【答案】(1)(2)证明见解析【解析】（1）∵，，∴，设，，当时，令得，当时，，单调递减；当时，，单调递增，∴，与已知矛盾．当时，，∴在上单调递增，∴，满足条件；综上，取值范围是．（2）证明：当时，，当，，当，，则在区间上单调递增，在区间上单调递减，不妨设，则，要证，只需证，∵在区间上单调递增，∴只需证，∵，∴只需证．设，则，∴在区间上单调递增，∴，∴，即成立，∴．2．（2022·贵州遵义·高二期末（理））已知函数（k为常数），函数．(1)讨论函数的单调性；(2)当，时，有且只有两个不相等的实数根，且；有且只有两个不相等的实数，，且．证明：．【答案】(1)详见解析；(2)证明见解析.【解析】（1）因为，当时，，函数在单调递增；当时，令，解得，当时，，当时，，∴函数在上单调递减，在上单调递增，综上，当时，函数在单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增．（2）当时，，，∴，所以方程与的根互为倒数，又因为方程有且只有两个不相等的实数根，，且，方程有且只有两个不相等的实数根，，且，所以，，可得，，所以，故要证，只需证明，要证，只需证，因为，所以，因为在上单调递增，所以只需证，进而只需证，因为，只需证明，构造函数，，则，所以函数在上单调递增，又，所以当时，，则，即，所以，即，故．3．（2022·重庆·万州纯阳中学校高二期中）设函数.(1)讨论函数的单调性；(2)若有两个零点，①求a的取值范围；②证明：.【答案】(1)当时，在为增函数，当时，在上是减函数，在上为增函数；(2)；详见证明过程．【解析】(1)的定义域为，且，当时，成立，所以在为增函数，当时，①当时，，所以在上为增函数，②当时，，所以在上为减函数；综上：当时，在为增函数，当时，在上是减函数，在上为