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第六章圆刷难关大招专题15主从联动问题大招专题15刷难关

4161234567【解析】过F作FK⊥AD，交AD的延长线于K，设EF交CD于T，如图(1).

设AP＝m.∵四边形ABCD是正方形，1234567

1234567过点M作GH⊥AD，交AD于G，交BC于H，作EF1⊥BC于F1，连接

BE，作EF2⊥BE交BC的延长线于F2，过点M作M1M2∥BC，分别交

EF1，EF2于点M1，M2，如图(2).∵AD∥CB，GH⊥AD，∴GH⊥BC.

1234567

∴△EGM≌△FHM(AAS)，∴MG＝MH，∴点M的运动轨迹是一条平

行于BC的线段.当点P与点A重合时，点F与点F1重合，则点M与点M1

重合；当点P与点B重合时，点F与点F2重合，则点M与点M2重合.1234567

1234567

子题练变式

图形变换求最值

A.

B.

5

C.

D.

3A1234567

12345673.

[中]如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E为BC上一点，且BE＝

1，F为AB边上的一个动点，连接EF，将EF绕着点E顺时针旋转45°到EG

的位置，连接FG和CG，则CG的最小值为

.

1234567【解析】如图，将线段BE绕点E顺时针旋转45°得到线段ET，连接GT，连

接DE交CG于J.

∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝3，∠B＝∠BCD＝90°.∵∠BET＝∠FEG＝45°，∴∠BEF＝∠TEG.

在△EBF和△ETG中，

1234567

1234567

1234567

∵AB'＝AB＝2，∴B'在以A为圆心，2为半径的弧上运动.当A，B'，C三点共线时，CB'最短，

当点P在DC上时，如图(2)所示，1234567

1234567

子题练变式1

求运动路径长5.

[2024江苏泰州模拟，中]如图，已知点A是第一象限内的一个定点，点P是

以O为圆心，1为半径长的圆上的一个动点，连接AP，以AP为边在AP右侧

作等边三角形APB.

当点P在☉O上运动一周时，点B运动的路径长

是

.2π1234567

1234567

子题练变式2

求最值6.

[2024江苏南通模拟，中]如图，☉O与x轴交于点A，B，与y轴交于点

C，D，P为☉O上一动点，连接AP，Q为弦AP上一点，且AQ＝3PQ.

若

点D的坐标为(0，－4)，则CQ的最小值为

.

1234567

12345677.

[2024四川广元模拟，中]如图，线段AB为☉O的直径，点C在AB的延长

线上，AB＝4，BC＝2，点P是☉O上一动点，连接CP，以CP为斜边在PC

的上方作Rt△PCD，且使∠PDC＝90°，∠

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