数学- 高三上学期开学验收考试数学试卷（解析版）

东北师大附中2024—2025学年高三年级（数学）科试卷上学期假期作业验收考试考试时长：120分钟满分：120分一、单项选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，则集合与集合的关系是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出集合中函数的值域，集合中函数的定义域，得到这两个集合，可判断集合间的关系.【详解】函数值域为，函数定义域为，即，，所以有.故选：C.2.已知等差数列的前8项和为68，，则（）A.300 B.298 C.295 D.296【答案】C【解析】【分析】设等差数列公差为，根据题意列出方程组求得，结合等差数列的通项公式，即看求解.【详解】设等差数列的公差为，因为等差数列的前8项和为，可得，即，即，又由，可得，联立方程组，解得，所以.故选：C.3.设：实数，满足且；：实数，满足；则是的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】先考查是否成立，再考查是否成立,即可得结论.【详解】解：因为且，所以，即成立；反之若，满足，如，但不满足且，即不成立，所以是的充分不必要条件.故选：A.4.若为偶函数，则（）A B.0 C. D.1【答案】B【解析】【分析】由求出，代入，检验是否满足题意.【详解】的自变量需满足，解得：或，若为偶函数，则，所以，解得：，所以，.所以为偶函数，满足题意.故选：B.5.若关于的不等式在区间上有解，则a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用分离常数法得出不等式在上能成立，根据函数在上的单调性，求出的取值范围.【详解】关于的不等式在区间上有解，在上有解，即在上能成立，所以，设函数，，因为函数在区间上单调递减，在区间上是单调递增，又，，，所以当时，函数取最大值，最大值为，即的取值范围是.故选：D.6.设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据为奇函数，为偶函数，可得函数的周期，且为偶函数，根据时，，求的值得此时解析式，即可求得的值.【详解】为奇函数，，所以关于对称，所以①，且，又为偶函数，，则关于对称，所以②，由①②可得，即，所以，于是可得，所以的周期，则，所以为偶函数则，所以，所以所以，解得，所以当时，所以.故选：B.7.已知，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】构造函数，判断函数单调性，代入数值可比较大小.【详解】设，，时，，为减函数，时，，为增函数，所以，，即.设，，时，，为增函数，时，，为减函数，所以，，即，所以.设，，为增函数，所以，所以，即.故选：D8.已知函数，若方程有三个不相等的实数解，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意，求导可得f′x，画出函数的大致图像，令，可得等价于，然后构建，结合二次函数根的分布，分别讨论，代入计算，即可求解.【详解】由题意可知：的定义域为R，则，当时，f′x>0；当时，f可知在内单调递减，在1,+∞内单调递增，可得，且当趋近于时，趋近于；当趋近于时，趋近于0；作出的图象，如图所示，对于关于x的方程，令，可得，整理得，且不为方程根，可知方程等价于，若方程有三个不相等的实数解，可知有两个不同的实数根，且或或，构建，若，则，解得；若，则，解得，此时方程为，解得，不合题意；若，则，解得，此时方程为，解得，不合题意；综上所述：实数a的取值范围为.故选：A【点睛】关键点睛：本题主要考查了利用导数研究函数图象问题，以及函数零点问题，难度较大，解答本题的关键在于画出函数的大致图象，以及将方程根的问题进行转化进行求解.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数，若，且，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】【分析】作出函数的图象，设，则直线与函数的图象个交点横坐标分别为，可得出，再结合对称性与对数运算即可得正确选项.【详解】函数的图象如图所示，设，则，则直线与函数的图象个交点横坐标分别为，对于A：函数的图象关于直线对称，则，故A正确；对于B：由图象可知，且，∴，即，所以，故B正确；对于C，当时，，由图象可知，则，故C错误；对于D，由图象可知，所以，故D错误.故选：AB.10.已知函数及其导函数的定义域为，若为奇函数，，且对任意，，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】【分析】根据赋值法，结合原函数与导函数的对称性，奇、偶函数的定义、函数周期性进行求解即可.【详解】由，令，则，因为，所以，故A错误；令，则，①所以，因为为奇函数，所以f′x为偶函数，，所以，②由①②并整理得，即，所以，所以是周期为的周期函数，故，故B正确；因为，所以，故C正确；由上知，在①中，令，得，所以，所以，所以，故D正确.故选：BCD.【点睛】关键点点睛：本题主要考查抽象函数的性质，涉及函数的奇偶性、周期性及导数的计算.解题关键在于熟练地应用函数奇偶性、周期性的定义及导数的计算，利用赋值法推导出函数，f′x的性质11.瑞士数学家JakobBernoulli于17世纪提出如下不等式：，有，请运用以上知识解决如下问题：若，，，则以下不等式正确的是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】不妨设，根据选项C的结构构造函数，利用导数研究其单调性，结合题目不等式结论即可判定正确，再根据题目不等式结论证明得及，相加即可判断B正确，结合C判断A正确，得解.【详解】不妨设，先证明C：证明上单调递减即可.，即要证明，即要证明，因为，得证，所以，即，故选项C正确，D错误；再证明B：，因此，同理，故，且，所以AB正确.故选：ABC【点睛】方法点睛：利用导数比较大小的基本步骤（1）作差或变形；（2）构造新的函数ℎx（3）利用导数研究ℎx（4）根据单调性及最值，得到所证不等式．三、填空题：本大题共3小题，每小题4分，共12分.12.数在上可导，若，则______.【答案】12【解析】【分析】利用导数的定义计算代入可得结果.【详解】根据导数定义可.故答案为：1213.设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则的取值范围是_____【答案】【解析】【分析】由，判断函数值的变化情况，作出函数的图象，再确定所在的区间，求出临界点即可求出结果．【详解】当,时，函数在上递增，在上递减，所以，由得到，可得当图象向右平移2个单位时，最大值变为原来的倍，最大值不断变小，由得到，可得当图象向左平移2个单位时，最大值变为原来的2倍，最大值不断变大，当,时，，当,时，，设,，,，，即，由，解得或，根据题意，当时，恒成立，故答案为：．14.在数列中，且，当时，，则实数的取值范围为______．【答案】【解析】【分析】由数列的递推式可得，求和后结合条件可得，求出即可.【详解】因为，，所以，当时，，所以，所以，所以，因为，所以，所以，解得.所以实数的取值范围为.故答案为：【点睛】关键点点睛：解题的关键点是由数列的递推式可得，然后利用累加法求和求解范围即可.四、解答题：本大题共5小题，共58分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.二次函数满足，且.（1）求的解析式；（2）若时，的图象恒在图象的上方，试确定实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设，利用求得，由可求得，即得答案；（2）依题意可得当时，恒成立，参变分离可得恒成立，再令，，求出，即可求出参数的取值范围.【小问1详解】由题意设，由得；由得，即恒成立，故，则，故；【小问2详解】因为当时，的图象恒在图象的上方，所以当时，恒成立，即当时，恒成立，令，，则在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，即实数的取值范围为.16.已知函数，且在处的切线方程是．（1）求实数，的值；（2）求函数的单调区间和极值．【答案】（1），（2）单调递减区间为，单调递增区间为，极小值为，无极大值【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，根据导数的几何意义得到方程组，解得即可；（2）由（1）可得，利用导数求出函数单调区间，从而求出极值.【小问1详解】因为，所以，又在处的切线方程为，所以，，解得，．【小问2详解】由（1）可得定义域为，则，当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，则在处取得极小值，所以的单调递减区间为，单调递增区间为，因此极小值为，无极大值．17.已知数列的前项和是，（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用数列与的关系即可求得数列的通项公式；（2）因为数列的首项为正且是一个递减数列，令，得该数列前34为正，后面的项全为负，设数列的前项和为，利用分组求和即可求得数列的前项和.【小问1详解】当时，，当时，把代入上式，满足题意.数列的通项公式.【小问2详解】数列的首项为正，是一个递减数列，先正后负，令，则数列前34为正，后面的项全为负，设数列的前项和为，则当，，当时，数列的前项和为18.已知函数.（1）若函数为奇函数，求的值；（2）当时，用函数单调性的定义证明：函数在上单调递增；（3）若函数有两个不同的零点，求的取值范围.【答案】（1）1（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）根据得到方程，求出，验证后得到答案；（2）定义法求解函数单调性步骤：取点，作差，判号，下结论；（3）换元后得到在0,+∞有两个不同的实数解，由根的判别式和对称轴得到不等式，求出的取值范围.【小问1详解】的定义域为R，且为奇函数，由，得，此时.因为，所以为奇函数，故.【小问2详解】当时，.任取，且，则，因为，所以，所以，即，所以函数在R上单调递增.【小问3详解】有两个不同的零点，等价于有两个不同的实数解.令，则在0,+∞有两个不同的实数解，令，其中g0=1>0所以，解得.所以的取值范围为.19.已知函数有两个极值点，且．（1）求的取值范围；（2）证明：．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）函数有两个不相等的极值点，则方程在0,+∞上有两个不相等的实数根，通过构造函数，利用导数研究单调性和函数图象，数形结合求结论成立时的取值范围；（2）由，设，要证，只需证，即证即证，构造函数利用导数证明不等式.【小问1详解】函数的定义域是0,+∞，，因为函数有两个不相等的极值点，所以方程在0,+∞上有两个不相等的实数根，所以，方程两边同时除以，整理得，即直线与函数的图象有两个交点．令，则，令，得，当时，单调递增；当时，单调递减．所以，又，时，gx>0且，所以的图象如图所示，要想与的图象有两个交点，则，所以．故的取值范围是．【小问2详解】由（1）易知，，设，则，．由（1）得，所以，即，又，即，代入上式得，，整理得，要证，只