数学名校- 高三上学期9月月考数学试题（解析版）

第1页/共1页高三数学9月月考卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分别求出集合和，然后，利用交集的运算可得答案.【详解】，，.故选：C2.已知复数满足，则的共轭复数在复平面中的对应点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】求出复数后可求，从而可得复数在复平面中的对应点，故可得正确的选项.【详解】，故，其对应的点为，该点在第四象限，故选：D.3.设等差数列前项和为，若，则的公差为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】根据等差数列的基本量的计算即可求解.【详解】由，故，则，由得，故，故公差为，故选：C4.已知，则（）A.或7 B.或 C.7或-7 D.-7或【答案】B【解析】【分析】根据辅助角公式可求，故可求的值.【详解】因为，故，故，故，故，故选：B.5.已知且，若函数的值域为，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用对数函数和指数函数的单调性，对进行分类讨论，可得答案.【详解】的值域为，且，当时，则，为增函数，，而时，为增函数，此时，，不符题意；当时，则，减函数，，而时，为减函数，此时，，因为的值域为，当且仅当时，满足题意，此时，，则，整理得，，解得；综上，时满足题意.故选：A6.已知点在所在的平面内，且.过点的直线与直线分别交于，设，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用平面向量基本定理可得，再利用基本不等式可求最小值.【详解】设的中点为，连接，则，故即，故为的中点，因为三点共线，故存在实数，使得，故，而，因为不共线，故即，，当且仅当时等号成立，故的最小值为，故选：C.7.已知函数是上的奇函数，则（）A.2 B.-2 C. D.【答案】B【解析】【分析】利用正切的和角公式化简得，结合题意得分母为偶函数，则，继而即可求解.【详解】，是上的奇函数，又为奇函数，则分母上的函数需为偶函数，，.故选：.8.若不等式恒成立，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】令，依题意可得恒成立，求出函数的导函数，分、两种情况讨论，说明函数的单调性，求出，即可得到，从而得到，再利用导数求出的最小值，即可得解.【详解】令，则恒成立，又，当时，恒成立，所以在上单调递增，且时，不符合题意；当时，令，解得，令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，所以，令，，则，所以当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，即的取值范围是.故选：B【点睛】关键点点睛：本题关键是推导出，从而得到.二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分，9.已知函数的部分图象如图所示，则（）A. B.C.的图象关于直线对称 D.在上的值域为【答案】BC【解析】【分析】根据图象求出函数的解析式，结合三角函数的性质，逐次判断各选项即可得到结论．【详解】由函数部分图象可知：，又因为，即结合函数的单调性可得,故A错误；即所以,故B正确；所以．对于选项C：当时，可得，所以的图象关于直线对称，故C正确；对于选项D：当时，，所以，即，故D错误；故选：BC．10.已知等差数列的首项为，公差为，其前项和为，若，则下列说法正确的是（）A.当时，最大B.使得成立的最小自然数C.D.数列中的最小项为【答案】ACD【解析】【分析】利用等差数列及，判断出，，再利用等差数列和等差数列前项和的性质逐项判断即可.【详解】若，则，所以，即等差数列an为递减数列，对于A，由，知等差数列an前7项为正数，其余项为负数，故当时，最大，故A正确；对于B，，故所以使得成立的最小自然数不是，故B错误；对于C，，则，故C正确；对于D，当或时，；当时，；由，所以中最小项为，故D正确.故选：ACD11.已知定义域为的偶函数满足，当时，则下列结论正确的有（）A.B.的图象关于点成中心对称C.D.【答案】ABD【解析】【分析】对A，利用赋值法再结合偶函数即可求解；对B，先推出的周期，再结合中心对称的结论即可求解；对C，利用周期性即可求解；对D，利用函数的奇偶性，单调性，再结合函数的对称性即可求解.【详解】对A，满足，令，则，即f1=0又为偶函数，，故A对；对B，，，故的周期，再根据，即，∴fx的图象关于点成中心对称，故B对；对C，由B知：的周期，故，，令，则f2又当时，，即，即，，故，故C错误；对D，满足，∴fx关于1,0又当时，∴fx在0,2当时，，当时，为偶函数，，，当且仅当时，即时等号成立，，故D对.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：解答此类有关函数性质的题目，关键点在于要结合函数性质，利用赋值法以及代换法，推出函数相应的性质.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分.12.已知平面向量，若，则______．【答案】【解析】【分析】根据向量坐标运算和向量垂直的坐标表示即可得到方程，解出即可.【详解】，因为，所以，即，解得.故答案为：.13.已知，分别为直线和曲线上的点，则AB的最小值_______【答案】【解析】【分析】利用数形结合思想可知直线与曲线相切的切点到直线的距离是最小值，从而利用导数来求出切点，再用点到直线的距离公式求出最小值即可.【详解】直线与曲线相切于点A，由题意的最小值为切点A到直线的距离，如图所示，对求导有，由可得，即，故的最小值为.故答案为：.14.已知数列有30项，，且对任意，都存在，使得.（1）__________；（写出所有可能的取值）（2）数列中，若满足：存在使得，则称具有性质.若中恰有4项具有性质，且这4项的和为20，则__________.【答案】①.②.1047【解析】【分析】①根据题意代入即可求解；②先根据题意分析出具有性质的项，易知从开始是以为首项为公差的等差数列，再根据等差数列求和即可求解.【详解】当时，，当时，，或，当时，，或，或时有或，当时，，或，或时有或，或时有或或，综上所述：的所有可能取值为：.中恰有4项具有性质，且这4项的和为20，故，，即具有性质，则易知从开始是以为首项为公差的等差数列，.故答案为：；1047.【点睛】关键点点睛：本题考查数列新定义问题的求解，涉及到根据新定义求解数列中的项、数列求和等知识；关键是能够准确理解所给的新定义，得到所给数列性质与等差数列之间的关系.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知数列的前项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1），（2），.【解析】【分析】（1）利用得出数列是等比数列，从而可得通项公式；（2）由已知求得，得出是等差数列，求出其前项和，然后根据绝对值的性质得出数列与的前项和的关系，从而求得结论．【小问1详解】由，则当时两式相减得，所以.将代入得，，所以对于，故an是首项为2，公比为2的等比数列，所以.【小问2详解】.，因为当时，当时，所以当时，，当时，.故.16已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）讨论的单调区间.【答案】（1）（2）答案见详解【解析】【分析】（1）求导，可得，，结合导数的几何意义求切线方程；（2）求导可得，分类讨论的符号以及与0的大小关系，利用导数判断原函数的单调性.【小问1详解】当时，则，，可得，，即切点坐标为，切线斜率为，所以切线方程为，即.【小问2详解】由题意可知：的定义域为，且，（i）若，则，令，解得；令，解得；可知在内单调递减，在内单调递增；（ⅱ）若，令，解得或，①当，即时，令，解得或；令，解得；可知在内单调递减，在内单调递增；②当，即时，则，可知在内单调递增；③当，即时，令，解得或；令，解得；可知在内单调递减，在内单调递增；综上所述：若，的单调递减区间为，单调递增区间为；若，的单调递减区间为，单调递增区间为；若，的单调递增区间为，无单调递减区间；若，的单调递减区间为，单调递增区间为.17.已知的内角所对的边分别为，且（1）求角A；（2）若为边上一点，为的平分线，且，求的面积【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意利用正弦定理边化角，再结合三角恒等变换运算求解；（2）根据面积关系可得，再结合余弦定理解得，进而可得面积.【小问1详解】因为，由正弦定理可得，且，即，整理可得，且，则，可得，又因为，则，可得，所以.【小问2详解】因为为的平分线，则，因为，则，即，可得，在中，由余弦定理可得，即，整理可得，解得或（舍去），所以的面积.18.如图，平面四边形中，，对角线相交于．（1）设，且，（ⅰ）用向量表示向量；（ⅱ）若，记，求的解析式．（2）在（ⅱ）的条件下，记△，△的面积分别为，，求的取值范围．【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ），；（2）.【解析】【分析】（1）（ⅰ）由平面向量的线性运算即可求解，（ⅱ）根据已知条件可得，将（ⅰ）中的结论两边同时平方再展开化简即可求解；（2）利用三角形的面积公式结合（ⅱ）中的结论将面积之比表示为关于的函数，再利用导数判断单调性即可求解.【详解】（1）（ⅰ）因为，，所以，即，所以，（ⅱ）因为，，所以，因为且，所以，即，所以，整理可得：，即，.（2）由（1）知：，由三角形面积公式可得：，记，所以，所以在上单调递减，所以，所以的取值范围为.19.已知函数.（1）当时，求的单调区间；（2）若在1,+∞上恒成立，求实数的取值范围；（3）帕德近似（Padeapproximation）是数学中常用的一种将三角函数､指数函数､对数函数等“超越函数”在一定范围内用“有理函数”近似表示的方法，比如在附近，可以用近似表示.（i）当且时，试比较与的大小；（ii）当时，求证：.【答案】（1）减区间为，无增区间（2）（3）（i）答案见解析；（ii）证明见解析【解析】【分析】（1）求导，判断导函数的符号，可得函数的单调区间.（2）采用分离常数的方法得（），设，求ℎx在1,+∞上的最小值即可.（3）（i）构造函数，利用函数单调性及，比较与的大小；（ii）利用（i）的结论，进行证明.【小问1详解】当时，，则.所以的减区间为0,+∞，无增区间.【小问2详解】因为在1,+∞上恒成立，所以，所以（）设，则再设，则，则在1,+∞上恒成立，所以在1,+∞单调递增，所以，所以ℎ′x>0在1,+∞上恒成立，所以所以.又在1,+∞上恒成立，所以.【小问3详解】（i）记，则，所以Fx在0,+∞上单