中考综合模拟检测《数学试卷》含答案解析

数学中考综合模拟检测试题

学校班级姓名成绩

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.每小题给出的四个选项中，只有一个

选项是符合题目要求的，将此选项的代号填入题后的括号内.

1.-6的倒数是（）

11

A.--B.一C.-6D.6

66

2.下列运算正确的是

九

A.a2«a3=a6B.(a4)3=a12C.(-2a)3=-6a3nD.a+a5=a9

3.一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面上分别刻有1,2,3,4,5,6六个数字，抛掷这枚骰子一次，则

向上的面的数字大于4的概率是

4.如图所示的几何体是由四个完全相同的正方体组成的，这个几何体的俯视图是（）

正面

A.B.——C.

2x+1>3

5.不等式组.「，的解集在数轴上表示正确的是（）

I3x-5<1

A

o

c

O

6.某天的同一时刻，甲同学测得1m的测竿在地面上的影长为0.6m,乙同学测得国旗旗杆在地面上的影长

为9.6m.则国旗旗杆的长为（）

A.10mB.12mC.14mD.16m

7.某县为发展教育事业,加强了对教育经费的投入,2010年投入3000万元,预计2012年投入了5000万元.设

教育经费的年平均增长率为X,根据题意，下面所列方程正确的是（）

A.3000/=5000B.3000(1+x)2=5000

7

C.3000（1+%%）=5000D.3000(1+x)+3000(l+x/=5000

8.如图，先锋村准备在坡角为a的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面

上的距离A3为（）

u.55

A.5smaB.------C.5cosaD.

sinacosa

9.如图。O的直径A5垂直于弦CD,垂足是E,ZA=22.5。，OC=4fCD的长为()

A

10.已知二次函数y=砒2+bx+c图像如图所示,对称轴是直线x=l,下列结论中：①abc>0,②2a+b=0,

③尸—4ac<0,④4a+2b+c>0,其中正确的是（）

B.①③C.②③D.②④

二.填空题：本大题共8小题，每小题3分,共24分.把答案写在题中的横线上.

11.分解因式：a3—25a=

12.己知：如图，AB〃CD,EF〃CD,且NABC=20。，ZCFE=30°，则NBCF的度数是

AB

-D

13.在函数y=31中，自变量X的取值范围是

14.用一个圆心角为90。半径为32cm的扇形作为一个圆锥的侧面(接缝处不重叠)，则这个圆锥的底面圆的

半径为cm.

4一

15.如图，A、3两点在双曲线尸一上，分别经过A、5两点向坐标轴作垂线段，已知S阴影=1,贝!JS1+S2

16.在ZkABC中，若NA,NB满足|cosA—^-|+(sinB—1)2=0,则NC=

29

a2-ab(a>b)

17.对于实数a,b,定义运算“*”：a*b={，)、.例如4*2,因为4>2,所以4*2=429-4x2=8.若

ab-a(a<b)

X1，X2是一元二次方程X2-5x+6=0的两个根，则X1*X2=.

18.正方形AiBiCQ,A2B2C2CI，A3B3c3c2,…，按如图所示的方式放置，点Ai，A2,A3,…和点Ci，C2,

C3,…,分别在直线产kx+b(k>0)和x轴上，已知点Bi、B2的坐标分别为Bi(1,1)、B2(3,2),则

B6的坐标是.

N/

/。|C,C2c3X

三、解答题(一)：本大题共5小题，共26分.解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或

演算步骤.

19.计算：卜l|+2sin30°+(〃—3.14)°+(g)「2

2

20.先化简再求值：已a知-^4~2+(1+，1)，其中。=—3.

a—3a—3

21.如下图所示，每个小方格都是边长为1正方形，以O点为坐标原点建立平面直角坐标系.

(1)画出四边形OABC关于x轴对称的四边形OAiBiCi,并写出点Bi的坐标是

(2)画出四边形OABC绕点0逆时针方向旋转90°后得到的四边形OA2B2c2.并写出点B2的坐标

是.

22.如图某天上午9时，向阳号轮船位于A处，观测到某港口城市P位于轮船的北偏西67.5。，轮船以21海

里/时的速度向正北方向行驶，下午2时该船到达B处，这时观测到城市P位于该船的南偏西36.9。方向，求

331212

此时轮船所处位置B与城市P的距禺？（参考数据：sin36.9°~—,tan36.9°~—,sin67.5°~—,tan67.5°»一）

54135

23.如图，一次函数丫=1蛭+13与反比例函数丫=4的图象相较于A(2,3),B(-3,n)两点.

(1)求一次函数与反比例函数的解析式；

(2)根据所给条件，请直接写出不等式kx+b＞号的解集；

(3)过点B作BCLx轴，垂足为C,求SAABC.

四、解答题(二)本大题共5小题，共40分.解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或

演算步骤.

24.将如图所示牌面数字分别是1,2,3,4的四张扑克牌背面朝上，洗匀后放在桌面上.

(1)从中随机抽出一张牌，牌面数字是偶数的概率是

(2)从中随机抽出二张牌，两张牌牌面数字的和是5的概率是.

(3)先从中随机抽出一张牌，将牌面数字作为十位上数字，然后将该牌放回并重新洗匀，再随机抽取一

张，将牌面数字作为个位上的数字，请用画树状图或列表的方法求组成的两位数恰好是4的倍数的概率.

25.为迎接建党90周年，我市某中学拟组织学生开展唱红歌比赛活动.为此，校团委对九年级一班会唱红

歌的学生进行了统计(甲：会唱1首，乙：会唱2首，丙：会唱3首，丁：会唱4首以上)，并绘制了如下两

幅不完整的统计图.请你根据图中提供的信息解答以下问题:

(1)在条形统计图中，将会唱4首以上的部分补充完整;

(2)求该班会唱1首的学生人数占全班人数的百分比;

(3)在扇形统计图中，计算出会唱3首的部分所对应的圆心角的度数;

(4)若该校九年级共有350人,请你估计会唱3首红歌的学生约有多少人?

使点B落在边CD上.

探究:

(1)如图①，若点B与A重合，你认为AEDA'和△FDC全等吗？如果全等给出证明，如果不全等请说

明理由;

(2)如图②，若点B与CD中点重合，求AFCB'与AB'DG的周长之比.

B

图①图②

27.如图，已知AB是。。的直径，P为。。外一点，且0P〃:BC,ZP=ZBAC.

(1)求证：PA为。0的切线；

25

(2)若0B=5,0P=—,求AC长.

3

28.如图，已知二次函数y=ax?+2x+c的图象经过点C(0,3),与x轴分别交于点A,点B(3,0).点P是

直线BC上方的抛物线上一动点.

(1)求二次函数y=ax?+2x+c的表达式；

(2)连接PO,PC,并把APOC沿y轴翻折，得到四边形POP'C,若四边形POP'C为菱形，请求出此时点

P的坐标；

(3)当点P运动到什么位置时，四边形ACPB的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ACPB的最大面积.

答案与解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.每小题给出的四个选项中，只有一个

选项是符合题目要求的，将此选项的代号填入题后的括号内.

1.-6的倒数是()

11

A.--B.—C.-6D.6

66

【答案】A

【解析】

解：-6的倒数是故选A.

6

2.下列运算正确的是

A.a2,a3=a6B.(a4)3=a12C.(-2a)3=-6a3D.a4+a5=a9

【答案】B

【解析】

试题分析：根据同底数塞的乘法，塞的乘方与积的乘方，合并同类项运算法则逐一计算作出判断：

A、a2«a3=a2+3=a5#a6,故本选项错误；

B、(a4)3=a4x3=a12,故本选项正确；

C、(-2a)=(-2)3a3=-8a3,故本选项错误；

D、与不是同类项，不能合并，故本选项错误.

故选B.

3.一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面上分别刻有1,2,3,4,5,6六个数字，抛掷这枚骰子一次，则

向上的面的数字大于4的概率是

2111

A.-B.—C.—D.一

3236

【答案】C

【解析】

试题分析：根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值

就是其发生的概率.因此，

•••正方体骰子，六个面上分别刻有的1,2,3,4,5,6六个数字中，大于4为5,6,

向上一面的数字是大于4的概率为：故选C.

63

4.如图所示的几何体是由四个完全相同的正方体组成的，这个几何体的俯视图是(

正面

A.B.

【答案】A

【解析】

试题分析：找到从上面看所得到的图形，从上面看易得三个横向排列的正方形.故选A.

2x+1>3

5.不等式组〈cU,的解集在数轴上表示正确的是（）

3%-5<1

A.——B._.

0230

C.一D.

023

【答案】C

【解析】

【分析】

分别求解两个一元一次不等式，然后把解在数轴上表示出来，公共部分就是不等式组的解集.

2%+1>3

【详解】《

3%-5<1

y>l

解不等式组得:<

x<2

，不等式组的解集为：l<x<2.

在数轴上表示解集为：

0^^23）'

故答案选C.

【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组的解集及在数轴上表示不等式组的解集.

6.某天的同一时刻，甲同学测得1m的测竿在地面上的影长为0.6m,乙同学测得国旗旗杆在地面上的影长

为9.6m.则国旗旗杆的长为（）

A.10mB.12mC.14mD.16m

【答案】D

【解析】

【分析】

利用在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成

的两个直角三角形相似.

【详解】：身高与影长成正比例

设国旗旗杆的长为xm.

1_x

•,弗—莉’

...国旗旗杆的长为x=16m.

故选D.

【点睛】考查了相似三角形的应用.注意利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程即可求出国旗

旗杆的长.

7.某县为发展教育事业,加强了对教育经费的投入,2010年投入3000万元,预计2012年投入了5000万元.设

教育经费的年平均增长率为X,根据题意，下面所列方程正确的是()

A.3000.x2=5000B.3000(1+xf=5000

C.3000(1+%%)=5000D.3000(1+x)+3000(l+x)2=5000

【答案】B

【解析】

【分析】

增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量义(1+增长率)，参照本题，如果设教育经费的年平均增长率

为X,根据“2010年投入3000万元，预计2012年投入5000万元”，可以分别用工表示2010以后两年的投

入，然后根据已知条件可得出方程.

【详解】解：设教育经费的年平均增长率为X,

则2011的教育经费为：3000x(l+x)万元，

2012的教育经费为：3000x(l+x)2万元，

那么可得方程：3000x(l+x)2=5000.

故选：B.

【点睛】本题考查了一元二次方程的运用，解此类题一般是根据题意分别列出不同时间按增长率所得教育

经费与预计投入的教育经费相等的方程.

8.如图，先锋村准备在坡角为1的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面

上的距离AB为（）

5

D.-------

sinacosa

【答案】D

【解析】

【分析】

利用所给的角的余弦值求解即可.

Be5

【详解】,.・3。=5米，ZCBA=Za,：.AB=-----二-----

cosacosa

【点睛】本题主要考查学生对坡度、坡角的理解及运用.

9.如图。。的直径A5垂直于弦CD,垂足是E,NA=22.5。，。。=4,CD的长为（）

A.纵序B.4C.彖因D.8

【答案】C

【解析】

【详解】,・•直径AB垂直于弦CD,

1

ACE=DE=—CD,

2

ZA=22.5°,

・•・ZBOC=45°,

AOE=CE,

设OE=CE=x,

VOC=4,

・

..x2+।x2=16,

解得：x=2,

即：CE=2&,

；.CD=4也，

故选C.

10.已知二次函数丁=㈤：2+区+0的图像如图所示，对称轴是直线x=l,下列结论中：①abc>0,②2a+b=0,

③—4ac<。,④4a+2b+c>0,其中正确的是（）

A.①②B.①③D.②④

【答案】D

【解析】

【分析】

由抛物线开口向上，得到a>0,再由对称轴在y轴右侧，得到a与b异号，可得出b<0,又抛物线与y轴

正半轴相交，得到c>0,可得出abc<0,选项①错误;最后由对称轴为直线x=l,利用对称轴公式得到2a+b=0,

选项②正确；由抛物线与x轴有2个交点，得到根的判别式b2-4ac大于0,故③错误；由x=2时对应的函数

值>0,将x=2代入抛物线解析式可得出4a+2b+c大于0,得到选项④正确

【详解】•..抛物线的开口向上，，a>0,

b

V-->0,Ab<0,

2a

・・,抛物线与y轴交于正半轴，・・.c>0,

abc<0,①错误；

b

\•对称轴为直线x=l,「・--=1,即2a+b=0,②正确，

2a

:抛物线与X轴有2个交点，.•.b2-4ac>0,③错误；

:对称轴为直线x=l,

；.x=2时，y>0,.,.4a+2b+c>0,④正确；

所以正确的有②④.

故选D.

【点睛】考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数y=ax2+bx+c(a加)，a的符号由抛物线开口方向决定;

b的符号由对称轴的位置及a的符号决定；c的符号由抛物线与y轴交点的位置决定；抛物线与x轴的交点

个数，决定了b?-4ac的符号，此外还要注意x=l,-1,2及-2对应函数值的正负来判断其式子的正确与否.

二.填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.把答案写在题中的横线上.

11.分解因式：a，—25a=

【答案】a(a+5)(a-5)

【解析】

原式=a(a、25)

=a(a+5)(a-5).

故答案a(a+5)(a-5).

12.己知：如图，AB/7CD,EF〃CD,且NABC=20。，ZCFE=30°，则NBCF的度数是.

AB

EF

【答案】50°

【解析】

【分析】

根据平行线的性质，由AB〃CD得/BCD=NABC=20。，由EF〃CD得NDCF=/CFE=30。，然后利用

ZBCF=ZBCD+ZDCF进行计算即可.

【详解】：AB〃CD,

，NBCD=/ABC=20°,

：EF〃CD,

.\ZDCF=ZCFE=30°,

ZBCF=ZBCD+ZDCF=50°.

故答案是：50°.

【点睛】考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错

角相等.

13.在函数y=WS±1中,

自变量X的取值范围是.

X

【答案】xN—1且x#0

【解析】

试题解析：根据题意得：X+G0且*0,

解得：X>-1且x#0.

考点：函数自变量的取值范围.

14.用一个圆心角为90。半径为32cm的扇形作为一个圆锥的侧面（接缝处不重叠），则这个圆锥的底面圆的

半径为cm.

【答案】8

【解析】

试题分析：二.扇形的圆心角为90。半径为32cm,...根据扇形的弧长公式，扇形的弧长为

90•乃・32

=16万(cm).

180

..•圆锥的底面周长等于它的侧面展开图的弧长,

根据圆的周长公式，得2m-16乃，解得r=8（cm）.

4

15.如图，A、B两点在双曲线y=—上，分别经过A、B两点向坐标轴作垂线段，已知S阴影=1,则S1+S2

x

【答案】6.

【解析】

【分析】

根据题意，想要求S1+S2,只要求出过A、2两点向x轴、y轴作垂线段与坐标轴所构成的矩形的面积即可,

4

而矩形的面积为双曲线>=—的系数鼠由此即可求解.

x

4

【详解】：点A、B是双曲线丫=—上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，

x

则根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于肉=4,

；.SI+S2=4+4-1X2=6.

故答案为6.

【点睛】本题主要考查反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是熟练掌握根据反比例函数系数k的几何

意义求出矩形的面积.

16.在ZkABC中，若NA,N2满足|cosA—L|+(sin8—yi)2=0,则NC=_________.

22

【答案】75。

【解析】

【分析】根据绝对值及偶次方的非负性，可得出cosA及sinB的值，从而得出NA及NB的度数，利用三角

形的内角和定理可得出/C的度数.

【详解】|cosA——|+(sinB—)2=0,

22

cosA=——，sinB=-----,

22

.\ZA=60o,ZB=45°,

.*.ZC=180°-ZA-ZB=75°,

故答案为75°.

【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值及非负数的性质，解答本题的关键是得出cosA及sinB

的值，另外要求我们熟练掌握一些特殊角的三角函数值.

a2-ab(a>b)

17.对于实数a,b,定义运算“*”：a*b={(.例如4*2,因为4>2,所以4*2=429-4x2=8.若

ab-a(a<b)

Xi,X2是一元二次方程X?-5x+6=0的两个根，则X1*X2=.

【答案】3或2

【解析】

【详解】试题分析：:Xi，X2是一元二次方程x2-5x+6=0的两个根，

(x-3)(x-2)=0,解得：x=3或2.

①当xi=3,X2=2时，Xi*X2=32-3x2=3；

②当xi=2,X2=3时，xi*X2=3X2-22=2.

18.正方形AiBiCQ,A2B2C2CI，A3B3c3c2,…，按如图所示的方式放置，点Ai，A2,A3,…和点Ci，C2,

C3,…，分别在直线y=kx+b(k>0)和x轴上,已知点Bi、B2的坐标分别为&(1,1)、B2(3,2),则

【解析】

【分析】

首先由当的坐标为(1,1),点B?的坐标为(3,2),可得正方形AiBiCQi边长为1,正方形A?B2c2cl边

长为2,即可求得Ai的坐标是(0,1),A2的坐标是：(1,2),然后用待定系数法求得直线A1A2的解析式,

由解析式即可求得点A3的坐标，继而可得点B3的坐标，观察可得规律&的坐标是(2%1,2"i),从而得到

Be.

【详解】：Bi的坐标为(1,1),点B2的坐标为(3,2),

正方形AiBiCQi边长为1,正方形A2B2c2cl边长为2,

，Ai的坐标是(0,1),A2的坐标是：(1,2),

设直线A1A2的解析式为：y=kx+b,

Jb=l

,,k+b=2'

,,,,,\k=\

解得：\>

b=l

直线AIA2的解析式是：y=x+l.

:点B?的坐标为(3,2),

.•.点A3的坐标为(3,4),

.•.点B3的坐标为(7,4),

；.Bn的横坐标是：2%1,纵坐标是：211-1.

二Bn的坐标是(2n-l,2nl),

；.B6的坐标是(63,32).

故答案是：(63,32).

【点睛】考查了待定系数法求一次函数的解析式以及正方形的性质.此题难度适中，属于规律型题目，注

意掌握数形结合思想与方程思想的应用.

三、解答题(一)：本大题共5小题，共26分.解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或

演算步骤.

19.计算：|—l|+2sin30°+(万—3.14)°+(万)-2

【答案】7

【解析】

【分析】

零指数幕、负指数幕特殊角的三角函数值3个考点，在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据

实数的运算法则求得计算结果.

【详解】T+2sin30°+(»-3.14)°+g)

C1

=l+2x—+1+4

2

=7.

【点睛】考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型.解决此类题目的关键是熟练掌握负

整数指数幕、零指数累、锐角三角函数等考点的运算.

4-41

20.先化简再求值：已知^—2+(1+-_),其中。=—3.

ci—3ci—3

【答案】T

【解析】

【分析】

将括号内的部分通分，再将除法转化为乘法，因式分解后约分即可.

「、华后r店—(a-2)(“+2)a-3

［详解7］原式=------------------

Q—3a—2

=a+2,

当a=-3时,

原式=-3+2=-1.

【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟悉通分和因式分解是解题的关键.

21.如下图所示，每个小方格都是边长为1的正方形，以。点为坐标原点建立平面直角坐标系.

(1)画出四边形OABC关于x轴对称的四边形OA1B1J,并写出点&的坐标是.

(2)画出四边形OABC绕点。逆时针方向旋转90°后得到的四边形OA2B2c2.并写出点B2的坐标

【分析】

(1)根据网格结构找出点A、B、C关于x轴的对称点Ai、Bi、G的位置，然后顺次连接即可，再根据平

面直角坐标系写出点B］的坐标即可；

(2)根据网格结构找出点A、B、C绕点O顺时针旋转90。的对应点A?、B2、C2的位置，然后顺次连接即

可，再根据平面直角坐标系写出点Bz的坐标即可.

【详解】(1)如图所示，四边形OAiBiG,即为所求作的图形，点Bi(6,-2)；

(2)如图所示，四边形OA2B2c2，即为所求作的图形，点B2(2,-6).

故答案(6,-2)；(2,-6).

【点睛】考查了利用旋转变换作图，利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解

题的关键.

22.如图某天上午9时，向阳号轮船位于A处，观测到某港口城市P位于轮船的北偏西67.5。，轮船以21海

里/时的速度向正北方向行驶，下午2时该船到达B处，这时观测到城市P位于该船的南偏西36.9。方向，求

331212

此时轮船所处位置B与城市P的距禺？（参考数据：sin36.9°~—,tan36.9°~—,sin67.5°~—,tan67.5°»一）

54135

【答案】100海里

【解析】

解：根据题意得：PCJ_AB,设PC=x海里.

PCPC5

在RtAAPC中，•二tanNA------,AC-------------———x.

ACtan67.5°12

PCx4

在RtAPCB中，:tanNB------,/.BC=------------T-——x.

BCtan36.9°3

54

VAC+BC=AB=21x5,A—x+-x=105,解得x=60.

123

60%00

VsinZB^,,,PB=PCinZB^

%sin36.9°3一(海里).

PB

5

.••向阳号轮船所处位置B与城市P的距离为100海里.

根据题意可得PC,AB,然后设PC=x海里，分别在R3APC中与RtAPCB中，利用正切函数求得出AC

与BC的长，由AB=21x5,即可得方程，解此方程即可求得x的值，从而求得答案.

23.如图，一次函数丫=1空+13与反比例函数y#的图象相较于A(2,3),B(-3,n)两点.

(1)求一次函数与反比例函数的解析式；

(2)根据所给条件，请直接写出不等式kx+b＞竽的解集；

(3)过点B作BCLx轴，垂足为C,求SAABG

【答案】(1)反比例函数的解析式为：y=1一次函数的解析式为：y=x+l；

(2)-3<x<0或x>2；

(3)5.

【解析】

【分析】

(1)根据点A位于反比例函数的图象上，利用待定系数法求出反比例函数解析式，将点B坐标代入反比例

函数解析式，求出n的值，进而求出一次函数解析式

(2)根据点A和点B的坐标及图象特点，即可求出反比例函数值大于一次函数值时x的取值范围

(3)由点A和点B的坐标求得三角形以BC为底的高是10,从而求得三角形ABC的面积

【详解】解：⑴•••点A(2,3)在丫=早的图象上，，m=6,

反比例函数的解析式为：y=&

VA(2,3),B(-3,-2)两点在y=kx+b上,

(3=2k+b

'(-2=-3k+b'

解得：体=]

...一次函数的解析式为：y=x+l；

(2)由图象可知-3<x<0或x>2；

(3)以BC为底，则BC边上的高为3+2=5,

四、解答题(二)本大题共5小题，共40分.解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或

演算步骤.

24.将如图所示的牌面数字分别是1,2,3,4的四张扑克牌背面朝上，洗匀后放在桌面上.

(1)从中随机抽出一张牌，牌面数字是偶数的概率是;

(2)从中随机抽出二张牌，两张牌牌面数字的和是5的概率是；

(3)先从中随机抽出一张牌，将牌面数字作为十位上数字，然后将该牌放回并重新洗匀，再随机抽取一

张，将牌面数字作为个位上的数字，请用画树状图或列表的方法求组成的两位数恰好是4的倍数的概率.

【解析】

【分析】

试题分析：(1)共有4种情况，其中数字是偶数的由2种，所以概率为J；(2)共有6种情况，符合要求

的有2种，故概率为2=J_；(3)先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公

42

式求出该事件的概率即可.

【详解】试题解析：(1)1,2,3,4共有4张牌，随意抽取一张为偶数的概率为

42

21

(2)1+4=5；2+3=5,但组合一共有6种，故概率为一=—

63

22,23,24,31,32,33,34,41,42,

41

43,44；其中恰好是4的位数的共有4种：12,24,32,44,所以P(4的倍数)=—=-

164

考点：简单事件的概率.

25.为迎接建党90周年，我市某中学拟组织学生开展唱红歌比赛活动.为此，校团委对九年级一班会唱红

歌的学生进行了统计(甲：会唱1首，乙：会唱2首，丙：会唱3首，丁：会唱4首以上)，并绘制了如下两

幅不完整的统计图.请你根据图中提供的信息解答以下问题：

(1)在条形统计图中，将会唱4首以上的部分补充完整；

(2)求该班会唱1首学生人数占全班人数的百分比；

(3)在扇形统计图中，计算出会唱3首的部分所对应的圆心角的度数；

(4)若该校九年级共有350人，请你估计会唱3首红歌的学生约有多少人?

【答案】(1)见解析；(2)10%；(3)144°(4)140人.

【解析】

【分析】

(1)根据乙18人占总体的30%,可以求出总人数，结合条形统计图进一步求得丁的人数，再把条形统计

图补充完整即可；

(2)根据(1)中得出的总人数，以及甲的人数即可得出会唱1首的学生人数占全班人数的百分比；

(3)先得出丙占的百分比，所对应的圆心角的度数为百分比X360。；

(4)根据丙占得百分比乘以总人数即可得出答案.

【详解】(1)由18+30%=60可知，全班共有60人，

则会唱4首以上共有60-6-18-24=12人.

补全条形统计图如图：

6

(2)一xl00%=10%；

60

24

(3)会唱3首的部分所对应的圆心角的度数为—x360。=144。；

60

24

(4)会唱3首红歌的学生约有丁x350=140人.

【点睛】考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问

题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图能够清楚地表示各部分所占的百分比,

难度适中.

26.己知：矩形纸片ABCD,AB=2,BC=3.操作：将矩形纸片沿EF折叠，使点B落在边CD上.

探究：

(1)如图①，若点B与A重合，你认为aEDA'和△FDC全等吗？如果全等给出证明，如果不全等请说

明理由；

(2)如图②，若点B与CD中点重合，求AFCB，与AB'DG的周长之比.

【解析】

【分析】

(1)根据ASA可以证明两个三角形全等；

(2)设CF=x,则BF=3-x,根据折叠的性质得BiF=BF=3-x,再进一步根据勾股定理求得x的值；根据相似

三角形的判定可以证明AFCBi和ABiDG相似，再根据相似三角形的周长的比等于相似比进行求解.

【详解】解：(1)全等.证明如下：

,/四边形ABCD是矩形，

AZA=ZB=ZC=ZADC=90°,AB=CD,

由题意知：ZA=ZAf,ZB=ZA,DF=90°,AB=CD,

.,.ZA,=ZC=90°,AD=CD,

ZA,DE+ZEDF=90°,ZCDF+ZEDF=90°,

ZA,DE=ZCDF,

.•.△EDA^AFDC(ASA)；

(2)•.•/DGB'+/DB'G=90°,ZDB,G+ZCB,F=90°,

NDGB'=/CB'F,

又：ND=/C=90°,

.•.△FCB^AB-DG,

设FC=x,

r,1

则B'F=3-x,B'C=-DC=1,

2

在RtABCF中FC2+B,C2=FB,2,

.,.x2+l2=(3-x)2,

4

x=—,

3

AFCB^AB'DG,

.C"CBI_FC_4

GB10GB1D3

【点睛】考查的是翻折的性质、全等三角形的性质和判定、相似三角形的性质，证得AFCBIS^BIDG是解

题的关键.

27.如图，己知AB是。。的直径，P为。。外一点，且OP〃BC,ZP=ZBAC.

B

(1)求证：PA为。0的切线；

25

(2)若OB=5,OP=y,求AC的长.

【答案】(1)详见解析

(2)AC=8

【解析】

分析】

(1)要证PA为。O的切线只要证/PAO=90°,通过直径所对圆周角是直角可得NACB=90°,从而由

△ABC^APOA即可得证.

(2)同(1)△ABC-APOA,利用相似比求得BC的长即可由勾股定理求得AC的长.

【详解】解：(1)证明：：AB是。O的直径，；.NACB=90°.

：OP〃BC,.,.ZB=ZAOP.

又NP=/BAC,AAABC^APOA,AZPAO=ZACB=90°.

；.