2025年高考数学总复习 53 课时质量评价(五十三)

课时质量评价(五十三)1．若直线y＝kx＋2与椭圆x27+y2m＝1A．m>1 B．m>0C．0<m<4且m≠1 D．m≥4且m≠7D解析：直线y＝kx＋2恒过定点(0，2)，若直线y＝kx＋2与椭圆x27+y2m＝1总有公共点，则点(0，2)在椭圆x27+y2m＝1内部或在椭圆上，所以4m≤1，m≥4.由方程x27+y2m2．(2024·长春模拟)直线l过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，且与C交于A，B两点．若使|AB|＝2的直线l有且仅有1条，则p等于()A．14 B．C．1 D．2C解析：由抛物线的对称性知，要使|AB|＝2的直线l有且仅有1条，则AB必须垂直于x轴，故A，B两点的坐标分别为p2，1，p23．(2023·新高考全国Ⅱ卷)已知椭圆C：x23＋y2＝1的左焦点和右焦点分别为F1和F2，直线y＝x＋m与C交于A，B两点．若△F1AB面积是△F2AB面积的两倍，则m＝(A．23 B．C．－23 D．－C解析：记直线y＝x＋m与x轴交于M(－m，0)，因为椭圆C：x23＋y2＝1的左、右焦点分别为F1－2且由△F1AB面积是△F2AB面积的两倍，可得|F1M|＝2|F2M|，所以－2－xM＝22－xM，解得xM＝2所以－m＝23或－m＝32，所以m＝－23或m＝联立x23+y2＝1，y＝x+m，可得因为直线y＝x＋m与C相交，所以Δ>0，解得m2<4，所以m＝－32不符合题意，故m＝－234．(2024·巴中模拟)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1且斜率为34的直线与C的右支交于点P.若线段PFA．12 B．C．2 D．3C解析：如图，设PF1交y轴于点A，A为PF1的中点．又因为O为F1F2的中点，所以AO为△PF1F2的中位线，则AO∥PF2.而AO⊥F1F2，所以PF2⊥F1F2.因为直线PF1的斜率为34，故在Rt△PF2F1中，tan∠PF1F2＝3设|PF2|＝3t，则|F1F2|＝4t，|PF1|＝5t，结合双曲线的定义以及点P在双曲线右支上，得4t＝2c，|PF1|－|PF2|＝2a＝2t，则2a＝c，所以e＝ca＝5．(多选题)过双曲线x2－y22＝1的右焦点F作直线l交双曲线于A，B两点，若|AB|＝4，则下列满足条件的直线l有(A．x＝3 B．x＋2y－1＝0C．x－2y－3＝0 D．x＋ACD解析：由题意知F3，当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝3，由x＝3，x2－所以|AB|＝|y1－y2|＝4满足题意．当直线l的斜率存在时，设其方程为y＝kx－由y得(2－k2)x2＋23k2x－3k2－2＝0.当2－k2＝0时，不符合题意，当2－k2≠0时，Δ＝23k22＋4(2－k2)(3k2＋2)＞0，x1＋x2|AB|＝1+k2·x1+解得k＝±22所以直线l的方程为y＝±22即x±2y－6．过点(0，3)的直线l与抛物线y2＝4x只有一个公共点，则直线l的方程为________.y＝13x＋3或y＝3或x＝0解析：当直线l的斜率k存在且k≠0时，直线l的方程为y＝kx＋3(k≠0)，与抛物线方程联立得k2x2＋(6k－4)x＋9＝0，由题可知Δ＝(6k－4)2－4×k2×9＝0，解得k＝13，所以直线l的方程为y＝13x＋3；当k＝0时，直线l的方程为y＝3，此时直线l平行于抛物线的对称轴，且与抛物线只有一个公共点94，3；当k不存在时，若直线l与抛物线只有一个公共点，则直线l的方程为x＝0.综上，过点(0，3)且与抛物线y2＝4x只有一个公共点的直线l的方程为y＝13x＋3或7．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过点F作斜率为5的直线l与C交于M，N两点．若线段MN中点的纵坐标为10，则点F到C的准线的距离为________.52解析：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y12＝2px两式相减得y12－y22＝2px1－2px2，即(y1－y2)(y1＋y2)＝2p(x因为M，N两点在斜率为5的直线l上，所以y1得5(y1＋y2)＝2p.因为线段MN中点的纵坐标为10，所以y1＋y2＝210，则5×所以F到C的准线的距离为52.8．已知焦点在x轴上的椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a>b>0)，短轴长为2(1)求椭圆C的标准方程；(2)设椭圆的右顶点为B，过点F1的直线l与椭圆C交于点M，N，且S△BMN＝1827，求直线解：(1)由2b＝所以椭圆C的标准方程为x24(2)由题意知，直线l的斜率存在且不为0，F1(－1，0)，B(2，0)，设直线l的方程为x＝my－1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，由x24+y23＝1，x＝my－1，得Δ＝36m2＋4×9×(3m2＋4)＞0，则y1＋y2＝6m又S△BMN＝12BF1y1解得m＝±1，所以直线l的方程为x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0.9．(思维创新)(2024·淮北模拟)已知A(－2，0)，B(2，0)，过P(0，－1)且斜率为k的直线上存在不同的两个点M，N满足|MA|－|MB|＝|NA|－|NB|＝23，则k的取值范围是()A．－B．－C．3D．－C解析：因为|MA|－|MB|＝|NA|－|NB|＝23＜|AB所以M，N是以A(－2，0)，B(2，0)为焦点的双曲线的右支上的两点，且c＝2，a＝3，所以b＝c2－a所以双曲线的方程为x23－y2＝1则过P(0，－1)且斜率为k的直线方程为y＝kx－1.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由x消去y，整理得(1－3k2)x2＋6kx－6＝0，所以1解得33＜k＜63，即k的取值范围为10．(多选题)已知直线l：x＝ty＋4与抛物线C：y2＝4x交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，O为坐标原点，直线OA，OB的斜率分别记为k1，k2，则()A．y1y2为定值 B．k1k2为定值C．y1＋y2为定值 D．k1＋k2＋t为定值ABD解析：由x＝ty+4，y2＝4x，Δ＝16t2＋64＞0，则y对于A，y1y2＝－16为定值，故A正确；对于B，k1k2＝y1y2x1x对于C，y1＋y2＝4t，不为定值，故C错误；对于D，k1＋k2＋t＝y1x1+y2x2+t＝x11．已知点A(0，1)，抛物线C：y2＝ax(a＞0)的焦点为F，连接FA，与抛物线C相交于点M，延长FA与抛物线C的准线相交于点N.若|FM|∶|MN|＝1∶2，则实数a的值为________.433解析：依题意得抛物线的焦点F的坐标为a4，0，过点M作抛物线的准线的垂线，垂足为由抛物线的定义知|MF|＝|MK|.因为|FM|∶|MN|＝1∶2，所以|KN|∶|KM|＝3:又kFA＝0－1a4－0＝所以－4a＝－3，解得12．椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，斜率为12的直线l过左焦点F1且交C于A，B两点，且△ABF45解析：如图所示，由椭圆定义可得|AF1|+|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，则△ABF2的周长为4a设A(x1，y1)，B(x2，y2)，△ABF2内切圆的半径为r，又△ABF2内切圆的周长是2π，故2π＝2πr，则r＝1.由题意得12得|y1－y2|＝2ac所以|AB|＝1+1k213．已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的两个焦点分别为F1(－2，0)，F2(2(1)求双曲线C的方程；(2)记O为坐标原点，过点Q(0，2)的直线l与双曲线C交于不同的两点A，B，若△OAB的面积为22，求直线l的方程．解：(1)依题意，c＝2，所以a2＋b2＝4，则双曲线C的方程为x2a2－y2将点P5，23代入上式，得25a解得a2＝2或a2＝50(舍去)，故双曲线C的方程为x22(2)依题意，可设直线l的方程为y＝kx＋2，代入双曲线C的方程并整理，得(1－k2)x2－4kx－6＝0.因为直线l与双曲线C交于不同的两点A，B，所以1解得k≠设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4k所以|AB|＝1+k2又原点O到直线l的距离d＝21所以S△OAB＝12d·又S△OAB＝22，即3－k2所以k4－k2－2＝0，解得k＝±2，满足(*)．故满足条件的直线l有两条，其方程分别为y＝2x＋2和y＝－2x＋2.14．已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知直线l过定点E14，0，若椭圆C上存在两点A，B关于直线l对称，求直线l解：(1)因为椭圆的离心率为e＝ca＝12，长轴长为2所以a＝2，c＝1，则b2＝3，所以椭圆C的标准方程为x24(2)易知直线的斜率k存在，设直线l的方程为y＝"k"("x-""1"/"4")，A(x1，y1)，B(当k＝0时，易得在椭圆C上有无数对A，B关于直线