2025年高考数学总复习 48 课时质量评价(四十八)

课时质量评价(四十八)1．(2024·宁德模拟)已知点M(3，1)在圆C：x2＋y2－2x＋4y＋2k＋4＝0外，则k的取值范围为()A．－6<k<12 B．k<－6或k>C．k>－6 D．k<1A解析：因为圆C：x2＋y2－2x＋4y＋2k＋4＝0，所以圆C的标准方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝1－2k，所以圆心坐标为(1，－2)，半径r＝1－若点M(3，1)在圆C：x2＋y2－2x＋4y＋2k＋4＝0外，则满足3－12且1－2k>0，即13>1－2k且k<12，所以－6<k<12．若一圆的圆心坐标为(2，－3)，一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则此圆的方程是()A．(x－2)2＋(y＋3)2＝13B．(x＋2)2＋(y－3)2＝13C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52A解析：如图，由圆的几何性质及直角三角形中线的性质，可知圆的半径r＝22+－32＝13.故此圆的方程为(x－2)2＋3．已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则“E＝F＝0且D<0”是“圆C与y轴相切于原点”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A解析：若圆C与y轴相切于原点，则圆C的圆心在x轴上，设圆心的坐标为(a，0)，则半径r＝|a|.当E＝F＝0且D<0时，圆心为－D2，0，半径为D2，圆C与y轴相切于原点；圆(x＋1)2＋y2＝1与y轴相切于原点，但D＝2>0.故“E＝F＝0且D＜0”是“圆C与4．已知圆C的半径为2，圆心在x轴正半轴上，直线3x＋4y＋4＝0与圆C相切，则圆C的方程为()A．x2＋y2－2x－3＝0B．x2＋y2＋4x＝0C．x2＋y2＋2x－3＝0D．x2＋y2－4x＝0D解析：设圆心为(a，0)(a>0)，由题意知圆心到直线3x＋4y＋4＝0的距离d＝3a+432+42＝3a+45＝r＝2，解得a＝2，所以圆心坐标为(2，0)，则圆C的方程为(x－2)2＋y5．自圆C：(x－3)2＋(y＋4)2＝4外一点P引该圆的一条切线，切点为Q，PQ的长度等于点P到原点O的距离，则点P的轨迹方程为()A．8x－6y－21＝0 B．8x＋6y－21＝0C．6x＋8y－21＝0 D．6x－8y－21＝0D解析：由题意得，圆心C的坐标为(3，－4)，半径r＝2，如图所示．设P(x0，y0)，由题意可知|PQ|＝|PO|，且PQ⊥CQ，所以|PO|2＋r2＝|PC|2，所以x02+y02＋4＝(x0－3)2＋(y0＋4)2，即6x0－8y0－6．(多选题)若P是圆C：(x＋3)2＋(y－3)2＝1上任意一点，则点P到直线y＝kx－1的距离的值可以为()A．4 B．6C．32＋1 D．8ABC解析：如图，圆C：(x＋3)2＋(y－3)2＝1的圆心坐标为(－3，3)，半径为1，直线y＝kx－1过定点(0，－1)．由图可知，圆心C到直线y＝kx－1距离的最大值为－3－02+3+12＝5，则点P到直线y＝kx－1距离的最大值为57．已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标为________，半径为________.(－2，－4)5解析：由圆的一般方程的形式知，a＋2＝a2，解得a＝2或a＝－1.当a＝2时，该方程可化为x2＋y2＋x＋2y＋52＝0因为D2＋E2－4F＝12＋22－4×52＜0，所以a＝2当a＝－1时，方程可化为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，即(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，所以圆心坐标为(－2，－4)，半径为5.8．(新背景)如图所示，两根杆(杆足够长)分别绕着定点A和B(AB＝2a)在平面内转动，并且转动时两杆保持互相垂直，则杆的交点P的轨迹方程是______________.x2＋y2＝a2解析：如图，以AB所在直线为x轴，以线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(－a，0)，B(a，0)．设P(x，y)，因为PA⊥PB，所以yx+a·yx－a＝－1(x≠±a)．化简得x2＋y2＝a2(x≠±a)．当x＝±a时，点P与A或B重合，此时y＝0，满足上式．故杆的交点P的轨迹方程是x9．已知圆心为C的圆经过点A(1，1)和点B(2，－2)，且圆心C在直线l：x－y＋1＝0上．若线段PQ的端点P的坐标是(5，0)，端点Q在圆C上运动，求线段PQ的中点M的轨迹方程．解：设点D为线段AB的中点，直线m为线段AB的垂直平分线，则D32又kAB＝－3，所以km＝13，所以直线m的方程为x－3y－3＝由x－3y－3＝0，x－y则半径r＝|CA|＝－3－1所以圆C的方程为(x＋3)2＋(y＋2)2＝25.设点M(x，y)，Q(x0，y0)，因为点P的坐标为(5，0)，M为PQ的中点，所以x＝x又点Q(x0，y0)在圆C：(x＋3)2＋(y＋2)2＝25上运动，所以(x0＋3)2＋(y0＋2)2＝25，即(2x－5＋3)2＋(2y＋2)2＝25，整理得(x－1)2＋(y＋1)2＝254即所求线段PQ的中点M的轨迹方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝25410．曲线x2＋(y－1)2＝1(x≤0)上的点到直线x－y－1＝0的距离的最大值为a，最小值为b，则a－b的值是()A．2 B．2C．22＋1 D．2－C解析：因为圆心(0，1)到直线x－y－1＝0的距离为22＝2>1，所以半圆x2＋(y－1)2＝1(x≤0)上的点到直线x－y－1＝0的距离的最大值为2＋1，最小值为点(0，0)到直线x－y－1＝0的距离，为12＝22，所以11．圆x2＋y2＋4x－12y＋1＝0关于直线ax－by＋6＝0(a＞0，b＞0)对称，则2a+6bA．23 B．20C．323 D．C解析：由圆x2＋y2＋4x－12y＋1＝0知，其标准方程为(x＋2)2＋(y－6)2＝39.因为圆x2＋y2＋4x－12y＋1＝0关于直线ax－by＋6＝0(a＞0，b＞0)对称，所以该直线经过圆心(－2，6)，即－2a－6b＋6＝0，所以a＋3b＝3(a＞0，b＞0)，所以2a+6b＝23(当且仅当3ba＝3ab，即a＝b＝12．(2024·平顶山模拟)已知A，B为圆O：x2＋y2＝4上的两动点，|AB|＝23，点P是圆C：(x＋3)2＋(y－4)2＝1上的一点，则PA+PB的最小值是(A．2 B．4C．6 D．8C解析：设M是AB的中点，因为|AB|＝23，所以OM＝4－即点M在以O为圆心，1为半径的圆上，PA+PB＝PM+MA+又|PO|min＝|OC|－1＝－32+42－1＝4，所以PMmin＝|PO|min－1＝所以PA+PBmin＝2×3＝6.故选13．写出一个过点O(0，0)，且与直线x＋y－4＝0相切的圆的标准方程：__________________.(x－1)2＋(y－1)2＝2(答案不唯一)解析：设点O(0，0)为圆的直径的端点，点O(0，0)到直线x＋y－4＝0的距离，d＝0+故满足条件的一个圆的半径为r＝2.由于圆心所在的直线与x＋y－4＝0垂直，且该直线经过原点，所以圆心所在的直线方程为y＝x.由y＝x所以圆心的坐标为(1，1)．所以圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.14．已知点P(2，2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．(1)求点M的轨迹方程；(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积．解：(1)圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16，所以圆心为C(0，4)，半径为4.设M(x，y)，则CM＝(x，y－4)，MP＝(2－x，2－y)．由题设知CM·MP＝0，故x(2－x)＋(y－4)·(2－y)＝0，即(x－1)2＋(y－3)2所以点M的轨迹方程为(x－1)2＋(y－3)2＝2.(2)由(1)可知点M的轨迹是以点N(1，3)为圆心，2为半径的圆．由于|OP|＝|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，又P(2，2)在圆N上，从而ON⊥PM.因为ON的斜率为3，所以直线l的斜率为－13故直线l的方程为x＋3y－8＝0.又|ON|＝10，NP＝|NM|＝2，OM＝|OP|O到直线l的距离为0+所以|PM|＝2222－41052故△POM的面积为16515．在平面直角坐标系中，曲线Γ：y＝x2－mx＋2m(m∈R)与x轴交于不同的两点A，B，曲线Γ与y轴交于点C.(1)是否存在以AB为直径且过点C的圆？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．(2)求证：过A，B，C三点的圆过定点．解：令y＝0，得x2－mx＋2m＝0.设A(x1，0)，B(x2，0)，由题意知Δ＝m2－8m>0，得m<0或m>8，x1＋x2＝m，x1x2＝2m.令x＝0，得y＝2m，故C(0，2m)．(1)若存在以AB为直径且过点C的圆，则AC·BC＝0，又AC＝(－x1，2m)，BC＝(－x2，2m)，所以x1x2＋4m2＝即2m＋4m2＝0，解得m＝0或m＝－12因为