2025年高考数学总复习 38 第五章 第一节 平面向量的概念与线性运算

第一节平面向量的概念与线性运算考试要求：1．理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义．2．掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义．3．了解向量线性运算的性质及其几何意义．自查自测知识点一向量的有关概念判断下列说法的正误，正确的画“√”，错误的画“×”．(1)|a|与|b|是否相等和a，b的方向无关．(√)(2)若a∥b，b∥c，则a∥c.(×)(3)若向量AB与向量CD是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．(×)(4)任意向量与零向量都共线．(√)核心回扣1．向量：既有大小又有方向，向量的大小称为向量的长度(或模)．2．零向量：长度为0的向量，记作0．3．单位向量：长度等于1个单位长度的向量．4．平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量，规定：零向量与任意向量平行．5．相等向量：长度相等且方向相同的向量．6．相反向量：长度相等且方向相反的向量．自查自测知识点二平面向量的线性运算1．判断下列说法的正误，正确的画“√”，错误的画“×”．(1)两个向量相加实际上就是两个向量的模相加．(×)(2)任意两个向量的差向量不可能与这两个向量共线．(×)(3)|a|＋|b|＞|a＋b|.(×)(4)若λa＝0，则a＝0.(×)2．(教材改编题)已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且OA＝a，OB＝b，则DC＝________，BC＝______．(用ab－a－a－b解析：如图，DC＝AB＝OB－OA3．(教材改编题)点C在线段AB上，且ACCB＝52，则AC＝52核心回扣1．线性运算法则类型法则加法减法数乘大小：|λa|＝|λ||a|；方向：λ>(<)0时，λa的方向与a的方向相同(反)2．运算律a＋b＝b＋a；(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb．自查自测知识点三平面向量共线定理已知a与b是两个不共线的向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝________．－13解析：由题意知，存在k∈R，使得a＋λb＝k[－(b－3a)]所以λ＝－核心回扣向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa.【常用结论】(1)设P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则OP＝(2)若G是△ABC的重心，D是BC边的中点，则①GA+GB+②AG＝③GD＝12(3)在四边形ABCD中，若E为AD的中点，F为BC的中点，则AB+(4)OA＝λOB+μOC(λ，μ为实数)，点A，B，C三点共线的充要条件是(5)(a＋b)2＋(a－b)2＝2(|a|2＋|b|2)．应用1设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内的任意一点，则OA+OB+OCA．OM B．2OMC．3OM D．4OMD解析：如图．在△OAC中，M为AC的中点，所以OA+在△OBD中，M为BD的中点，所以OB+所以OA+应用2在△ABC中，点D满足BD＝2DC，E为AD上一点，且BE＝mBA+nBC，m＋32解析：因为BD＝2DC因为A，E，D三点共线，所以m＋32n＝1，所以λ＝3平面向量的有关概念1．(多选题)下列说法中正确的是()A．单位向量都相等B．任一向量与它的相反向量不相等C．若|a|＝|b|，则a与b的长度相等，与方向无关D．若a与b是相反向量，则|a|＝|b|CD解析：对于A，当单位向量方向不同时并不相等，A错误；对于B，0的相反向量为0，B错误；对于C，|a|＝|b|，则a与b的长度相等，与方向无关，C正确；对于D，相反向量是长度相等，方向相反的向量，D正确．2．(2024·福州模拟)如图，在正三角形ABC中，D，E，F均为所在边的中点，则以下向量和FC相等的是()A．EF B．FBC．DF D．EDD解析：因为EF，FB，DF与FC因为ED与FC方向相同，长度相等，所以3．设a，b都是非零向量，则下列四个条件中，使aa＝bbA．a＝－b B．a∥bC．a＝2b D．a∥b且|a|＝|b|C解析：因为向量aa的方向与向量a相同，向量bb的方向与向量b相同，且aa＝bb，所以向量a与向量b方向相同，故可排除选项当a＝2b时，aa＝2b2b＝bb，故“a＝向量有关概念的注意点(1)平行向量就是共线向量，二者是等价的，它们均与起点无关；非零向量的平行具有传递性；相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量；相等向量具有传递性．(2)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负数，可以比较大小．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混为一谈．(4)非零向量a与aa的关系：aa是与a平面向量的线性运算【例1】(1)(2024·济宁模拟)如图，在梯形ABCD中，BC＝2AD，DE＝EC，设BA＝a，BC＝b，则BEA．12a+14C．23a+2D解析：(方法一)如图所示，取BC的中点F，连接AF.因为BC＝2AD，所以AD＝CF.又AD∥CF，所以四边形ADCF为平行四边形，则AF∥CD，所以CD＝FA.因为DE＝EC，所以所以BE＝BC+(方法二)如图，连接BD.因为DE＝EC，所以BE＝12BD+BC＝(2)如图所示，在△ABC中，点D是线段AC上靠近点A的三等分点，点E是线段AB的中点，则DE＝()A．－13BA－C．－56BA－B解析：DE＝平面向量的线性运算技巧(1)不含图形的：可直接运用相应运算法则求解．(2)含图形的：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量以及三角形的中位线、平行四边形的性质等，把未知向量用已知向量表示出来求解．1．如图，向量a－b等于()A．－e1＋3e2 B．－4e1－2e2C．e1－3e2 D．－2e1－4e2A解析：a－b等于向量b的终点指向向量a的终点的向量，如图所示．分解后易知a－b＝－e1＋3e2.2．(2022·新高考全国Ⅰ卷)在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记CA＝m，CD＝n，则CBA．3m－2n B．－2m＋3nC．3m＋2n D．2m＋3nB解析：如图．因为CD＝CA+所以12CB＝32CD－CA，即平面向量线性运算的综合应用考向1根据平面向量的线性运算求参数问题【例2】(2024·大连模拟)在△ABC中，AD＝2DB，AE＝2EC，P为线段DE上的动点，若AP＝λAB+μAC，A．1 B．2C．32 D．B解析：如图所示．由题意知，AE＝设DP＝所以AP＝AD+DP＝AD+xDE＝AD＋xAE－AD＝xAE＋(1－所以μ＝23x，λ＝23(1－x)，所以λ＋μ＝2利用平面向量的线性运算求参数的一般思路(1)没有图形的先准确作出图形，确定每一个点的位置．(2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式．(3)比较、观察可知所求．考向2共线向量定理【例3】(1)已知O为△ABC内一点，且2AO＝OB+OC，AD＝tAC.若B，O13解析：设线段BC的中点为M，则OB因为2AO＝OB+OC则AO＝由B，O，D三点共线，得14+14t＝1，(2)设两个非零向量a与b不共线．①若AB＝a+b，BC＝2a+8b，CD②试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．①证明：因为AB＝a+b，BC＝所以BD＝BC+CD＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5AB，又因为它们有公共点B，所以A，B，D三点共线．②解：若ka＋b和a＋kb共线，则存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，所以k＝λ，1＝[变式]若将(2)中①的条件改为“AB＝(m－1)a＋b，BD＝2na－b(m>0，n>0)”，若A，B，D三点共线，求2m+解：因为AB＝(m－1)a＋b，BD＝2na－b(m>0，n>0)，A，B，D三点共线，所以存在实数λ，使得(m－1)a＋b＝λ(2na－b)，所以m－1＝2nλ，1＝所以2m+1n＝2m+1n(m＋当且仅当4nm＝mn，即m＝12，n＝利用向量共线定理解题的策略(1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据．注意待定系数法和方程思想的运用．(2)当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A，B，C三点共线⇔AB，AC(3)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.(4)OA＝λOB+μOC(λ，μ为实数)，若A，B，C三点共线，则1．已知a，b是两个不共线的向量，MN＝a－2b，PN＝2a+kb，PQ＝3a－bA．－1 B．1C．32 D．B解析：由题意知，NQ＝PQ－PN＝a－(k因为M，N，Q三点共线，故存在实数λ，使得MN＝即a－2b＝λ[a－(k＋1)b]，整理得(1－λ)a＝[2－λ(k＋1)]b.因为向量a，b不共线，所以1－λ2．如图，在△ABC中，AN＝12AC，P是BN的中点．若AP＝m12解析：因为AN＝12因为P是BN的中点，所以点B，P，N三点共线，所以m＋12＝1，解得m＝13．设a，b是不共线的两个非零向量．(1)若OA＝2a－b，OB＝3a+b，OC(2)若8a＋kb与ka＋2b共线，求实数k的值．(1)证明：因为AB＝OB－OA＝(3a＋b)－(2a－b)＝aBC＝OC－OB＝(a－3b)－(3a＋b)＝－2a－4b＝所以AB与BC共线，且有公共点B，所以A，B，C(2)解：因为8a＋kb与ka＋2b共线，所以存在实数λ，使得8a＋kb＝λ(ka＋2b)，所以(8－λk)a＝(2λ－k)b.因为a与b不共线，所以8－λk＝0，2λ－k＝0，所以k＝2λ＝±4，即实数k的值为4或－4.课时质量评价(二十八)1．已知向量e1，e2是两个不共线的向量，a＝2e1－e2与b＝e1＋λe2共线，则λ等于()A．2 B．－2C．－12 D．C解析：因为a＝2e1－e2与b＝e1＋λe2共线，所以存在实数k(k≠0)，使得ka＝b，所以k(2e1－e2)＝e1＋λe2.因为向量e1，e2是两个不共线的向量，所以2k＝1，－k2．(多选题)(2024·济宁模拟)已知A，B，C是三个不同的点，OA＝a－b，OB＝2a－3A．AC＝2AB C．AC＝3BC D．A，BABD解析：由题可得AB＝OB－OA＝a－2b，AC＝OCAB＝BC，故BAC＝2BC，故由AC＝2AB可得AC∥AB.又A为公共点，所以A，B，C三点共线，故3．若向量OA＝3OB－2OC(O，A，B，C互不重合)，A．2 B．2C．32 D．D解析：由已知可得OA－OB＝2OB－OC因为CA＝CB+BA，所以CA＝34．已知平面内一点P及△ABC，若PA+PB+PC＝AB，则点P与A．点P在线段AB上B．点P在线段BC上C．点P在线段AC上D．点P在△ABC外部C解析：由PA+PB+PC＝AB，得PA+PB+PC5．(2024·山西大学附中诊断)如图所示，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线分别与AB，AC两边交于M，N两点，设xAB＝AM，yAC＝ANA．3 B．4C．5 D．6A解析：延长AG交BC于点H(图略)，则H为BC的中点．因为G为△ABC的重心，所以AG＝23AH＝因为M，G，N三点共线，所以13x+13y＝16．已知A，B，C三点共线，且AC＝3BC，若AB＝λCB－2解析：已知点A，B，C三点共线，且AC＝3BC，即－BA＝2BC，故AB＝－2CB7．设向量a，b不平行，向量ta＋b与a＋3b平行，则实数t的值为________．13解析：因为向量ta＋b与a＋3b平行，所以存在实数k使得ta＋b＝k(a＋3b)因为向量a，b不平行，所以t＝k，1＝3k8．若点M是△ABC所在平面内一点，且满足AM＝35AB+25AC，则2∶5解析：因为AM＝35AB+25所以点M在边BC上，且BM＝25故S△所以△ABM与△ABC的面积之比为2∶5.9．已知O，A，B是不共线的三点，且OP＝mOA+nOB((1)若m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线；(2)若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1.证明：(1)若m＋n＝1，则OP＝mOA＋(1－m)OB＝OB＋所以OP－OB＝m即BP＝mBA，所以又因为BP与BA有公共点则A，P，B三点共线．(2)若A，P，B三点共线，则存在实数λ，使得BP＝所以OP－OB＝λ所以OP＝λOA＋(1－λ)又OP＝所以由①②得λOA＋(1－λ)OB＝因为OA，OB不共线，所以λ＝m，1－10．(多选题)(2024·石家庄模拟)下列说法，正确的为()A．若a∥b，b∥c，则a∥cB．S△AOC，S△ABC分别表示△AOC，△ABC的面积，若2OA+OB+3OC＝0，则S△AOC∶S△C．两个非零向量a，b，若|a－b|＝|a|＋|b|，则a与b共线且反向D．若a∥b，则存在唯一实数λ使得a＝λbBC解析：对于A，若a∥b，b∥c，则a∥c不成立，比如b＝0，a，c可以不共线，故错误；对于B，若2OA+OB+3OC＝0，延长OA到A′，使得OA′＝2OA，延长OC到C′，使得OC′＝3OC，可得O为△BA设△AOC，△BOA，△BOC的面积分别为x，y，z，则△A′OB的面积为2y，△C′OB的面积为3z，△A′OC′的面积为6x.由三角形的重心的性质可得2y＝3z＝6x.则S△AOC∶S△ABC＝x∶(x＋y＋z)＝1∶6，正确；对于C，两个非零向量a，b，若|a－b|＝a+b，则a－b2＝(|a|＋|b|)2，|a|2＋|b|2－2|a|·|b|cos〈a，b〉＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|，整理得cos所以a与b共线且反向，正确；对于D，若a∥b，则存在唯一实数λ使得a＝λb，不正确，比如a≠0，b＝0，不存在实数λ.11．(数学与生活)图1是世界最高桥——贵州北盘江大桥，图2是根据图1作的简易侧视图(为便于计算，侧视图与实物有区别)．在侧视图中，斜拉杆PA，PB，PC，PD的一端P在垂直于水平面的塔柱上，另一端A，B，C，D与塔柱上的点O都在桥面同一侧的水平直线上．已知AB＝8m，BO＝16m，PO＝12m，PB⊥PC.根据物理学知识得12PA+PB＋12PC+PD＝2A．28m B．20mC．31m D．22mD解析：因为PB⊥PC，又PO⊥BC，所以PO2＝BO·OC.因为BO＝16m，PO＝12m，所以OC＝9m.设线段AB的中点为M，线段CD的中点为N.因为12PA+PB＋12PC+PD＝2PO，所以因为AB＝8m，所以MO＝20m，即ON＝20m，所以CD＝22m．12．(多选题)(数学与文化)瑞士数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一条直线上，而且外心和重心的距离是垂心和重心的距离的一半．这个定理就是著名的欧拉线定理．设在△ABC中，点O，H，G分别是其外心、垂心、重心，则下列结论正确的有()A．GHB．GA+GBC．设BC边的中点为D，则有AHD．OAAB解析：由题意作图，如图所示．对于A，根据欧拉线定理知，O，G，H三点共线，且GH＝2OG，所以GH＝2OG，故对于B，取BC的中点D，由题意得GB+GC＝2GD＝－GA，对于C，由题意知AG＝2GD，又GH＝2OG，∠AGH＝∠DGO，所以△AGH∽△DGO，所以AH＝2OD.因为OD⊥BC，AH⊥BC，所以AH∥OD.所以AH＝2OD，故对于D，向量OA，OB，OC的模相等，方向不同，13．(多