02第二章 一元二次函数、方程和不等式（含答案解析）

第二章一元二次函数、方程和不等式目录知识梳理TOC\o"1-2"\h\u 1考点精讲精练 3考点一：等式性质与不等式性质 3考点二：基本不等式 6考点三：二次函数与一元二次方程、不等式 9一元二次函数、方程和不等式实战训练 121、不等式的概念在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号“”“”“”“”“”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系.含有这些不等号的式子，叫做不等式.自然语言大于小于大于或等于小于或等于至多至少不少于不多于符号语言2、实数大小的比较1、如果是正数，那么；如果等于，那么；如果是负数，那么，反过来也对.2、作差法比大小：①；②；③3、不等式的性质性质性质内容特别提醒对称性（等价于）传递性（推出）可加性（等价于可乘性注意的符号（涉及分类讨论的思想）同向可加性同向同正可乘性可乘方性，同为正数4、基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱）①如果，，，当且仅当时，等号成立．②其中叫做正数，的几何平均数；叫做正数，的算数平均数．5、两个重要的不等式①（）当且仅当时，等号成立．②（）当且仅当时，等号成立．6、利用基本不等式求最值①已知，是正数，如果积等于定值，那么当且仅当时，和有最小值；②已知，是正数，如果和等于定值，那么当且仅当时，积有最大值；7、二次函数（1）形式：形如的函数叫做二次函数.（2）特点：①函数的图象与轴交点的横坐标是方程的实根.②当且()时，恒有()；当且()时，恒有().8、一元二次不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.9.或型不等式的解集不等式解集10、一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系判别式二次函数的图象一元二次方程的根有两相异实数根，()有两相等实数根没有实数根一元二次不等式的解集一元二次不等式的解集考点一：等式性质与不等式性质真题讲解例题1．（2023春·湖南·高二统考学业考试）下列命题为真命题的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，，则 D．若，，则【答案】C【详解】对于A，取特殊值，，，满足条件，但不满足结论，故A错误；对于B，由，若，则，故B错误；对于C，由同向不等式的性质知，，可推出，故C正确；对于D，取，满足条件，但，故D错误.故选：C.例题2．（2023春·河北·高三统考学业考试）下列不等式：①；②；③；④其中恒成立的有（

）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】B【详解】对于①，∵，∴，又，，故①恒成立；对于②，，，，但符号不确定，当时，，故②不恒成立；对于③，，∴，故③恒成立；对于④，由③知，，，两边同时开方，可得，故④恒成立；故恒成立的结论是①③④故选：B．例题3．（2023春·河北·高三统考学业考试）已知，，分别求(1)(2)(3)的取值范围.【答案】(1)；(2)；(3).【详解】（1），而，所以有（2）；（3），而，所以有.例题4．（2023春·河北·高三统考学业考试）设为实数，比较与的值的大小.【答案】【详解】则真题演练1．（2023·安徽·高二马鞍山二中校考学业考试）若，则下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】对于A，，，A错误；对于B，当，时，，B错误；对于C，当时，，C错误；对于D，，，D正确.故选：D.2．（2023·河北·高三学业考试）“”是“”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】取，，成立，但不成立，则“”“”.当，则，由不等式的性质得，，即“”“”.因此，“”是“”的必要不充分条件.故选：B.3．（多选）（2023春·浙江温州·高二统考学业考试）已知非零实数，满足，则（

）A． B．C． D．【答案】AB【详解】对于A，因为，则，又，所以，故A正确；对于B，因为，，当时，；当时，；综上：，故B正确；对于C，取，满足，但，故C错误；对于D，取，满足，但，故D错误.故选：AB.4．（2023·上海·高三统考学业考试）设，，则s与t的大小关系是.【答案】【详解】,.故答案为：.考点二：基本不等式真题讲解例题1．（2023春·湖南·高二统考学业考试）已知，则的最大值为（

）A． B．1 C． D．2【答案】D【详解】因为，则，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以，所以的最大值为2.故选：D.例题2．（2023春·浙江温州·高二统考学业考试）已知正数a，b满足，则最小值为（

）A．25 B． C．26 D．19【答案】A【详解】因为正数a，b满足，所以，当且仅当，联立，即时等号成立，故选：A.例题3．（2023·浙江温州·高二统考学业考试）已知正数，满足，则的最小值为．【答案】16【详解】由得，即，则，当，且时，即时取等号.所以的最小值为16.故答案为：16.例题4．（2023·安徽·高二马鞍山二中校考学业考试）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是．【答案】【详解】因为，，且，所以，，当且仅当时，等号成立，故的最小值为.因为恒成立，所以，.故答案为：.例题5．（2023·湖南衡阳·高二校联考学业考试）已知，则的最大值是【答案】/【详解】，则，当且仅当即时取等号．故答案为：.真题演练1．（2023·广东·高三学业考试）已知且，则的最小值为（

）A． B．4 C．6 D．12【答案】D【详解】因为且，可得，当且仅当时，等号成立.故选：D.2．（2023春·浙江杭州·高二统考学业考试）若正数满足，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由可得时等号成立，所以，所以时，的最小值是，故选：B3．（2023·湖南衡阳·高二统考学业考试）函数（）的最小值是．【答案】6【详解】因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以函数（）的最小值是.故答案为：4．（2023·山西运城·高三校考学业考试）若a，，且，则的最大值为．【答案】【详解】因为，所以，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为.故答案为：5．（2023春·天津南开·高一学业考试）若，则的最小值是．【答案】0【详解】由可得，则，又，利用基本不等式可得；当且仅当时，等号成立；故答案为：0考点三：二次函数与一元二次方程、不等式真题讲解例题1．（2023·广东·高三学业考试）不等式的解集是（

）A．或 B．或C． D．【答案】D【详解】因为，所以，即不等式的解集是.故选：D.例题2．（2023秋·广东·高三统考学业考试）已知不等式的解集为空集，则a的取值范围是（

）A． B．C．或 D．或【答案】A【详解】由不等式的解集为空集，根据二次函数的性质，则满足，解得.即实数的取值范围是.故选：A.例题3．（2023·广东·高三学业考试）不等式的解集为（

）A． B．或 C． D．【答案】D【详解】，即，所以原式的解集为故选：D.例题4．（2023·湖南长沙·高二长郡中学校考学业考试）若关于x的不等式只有一个整数解，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】不等式化为，即，当时，不等式化为，得，有无数个整数解，不符合题意；当时，由关于x的不等式只有一个整数解，可知，不等式的解为，由题意，，解得；当时，不等式的解为或，有无数个整数解，不符合题意．综上，实数a的取值范围是.故选：C真题演练1．（2023春·天津河北·高二学业考试）不等式的解集为（

）A． B．C．，或 D．，或【答案】B【详解】不等式可化为，解得.故选：B.2．（2023春·浙江杭州·高二统考学业考试）不等式的解集是（

）A．或 B．或C． D．【答案】B【详解】不等式，即，所以，即，解得或，故不等式的解集为或.故选：B3．（2023春·宁夏银川·高二统考学业考试）不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】不等式所对应的方程为：，方程的根为：或，所以不等式的解集为：.故选：C.4．（多选）（2023春·浙江温州·高二统考学业考试）关于x的不等式的解集中恰有3个正整数解，则a的值可以为（

）A． B． C． D．2【答案】CD当时，不等式化为，则解集中有无数个整数.当时，不等式的解集中有无数个正整数，故A错误；所以，，，所以所以不等式的解集为：，根据0一定属于此集合，则由不等式的解集中恰有3个正整数，则这3个整数中一定为：，则，解得故可取和2，故C,D正确，AB错误；故选：CD.第二章一元二次函数、方程和不等式实战训练一、单选题1．（2023春·福建·高二统考学业考试）已知，则下列不等式正确的是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】对于A，，由不等式的性质可得，故A正确；对于B，，取，所以，故B不正确；对于C，，若，则，故C不正确；对于D，，取，故D不正确.故选：A.2．（2023春·福建·高二统考学业考试）已知，则的最小值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【详解】，当且仅当“”时取等.故的最小值为.故选：D.3．（2023春·湖南邵阳·高三统考学业考试）不等式的解集为（

）A． B．C． D．或【答案】D【详解】由不等式，可得，解得或，所以不等式的解集为或.故选：D.4．（2023春·福建福州·高二福建省福州延安中学校考学业考试）若正实数，满足．则的最小值为（

）A．12 B．25 C．27 D．36【答案】C【详解】解：因为，所以．因为，所以，当且仅当，即，时，等号成立，所以，的最小值为27．故选：C5．（2023·江西宜春·高一江西省宜丰中学校考学业考试）正数，满足，则的最小值为（

）A．6 B．8 C．9 D．10【答案】C【详解】因为为正数，且，所以有，所以，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为.故选：C.6．（2023·广东·高三学业考试）若均为正数，且，则的最小值等于（

）A． B． C． D．5【答案】B【详解】因为均为正数，且，所以，，当且仅当时等号成立，所以，的最小值等于.故选：B7．（2023春·福建福州·高二福建省福州延安中学校考学业考试）若正数，满足，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由可得，因为，，所以，所以，解得，当且仅当时，取等号，故的最小值是12，故选：C8．（2023秋·广东·高三统考学业考试）若，则下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】对于A，因为，故，即，故A错误；对于B，，无法判断，故B错误；对于C，因为，，故C正确；对于D，因为，故，即，故D错误．故选：C．9．（2023·河北·高三学业考试）若不等式的解集是，则的值为（

）A．-10 B．-14 C．10 D．14【答案】B【详解】由题意，和是方程的两个根，由韦达定理得：且，解得：，，所以.故选：B10．（2023春·河北·高二统考学业考试）已知，则函数的最小值是（

）A．8 B．6 C．4 D．2【答案】B【详解】∵，∴，当且仅当，即时等号成立．∴的最小值是6．故选：B．11．（2023·河北·高三学业考试）函数的最小值是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】因为，所以，当且仅当，即时等号成立.所以函数的最小值是.故选：D.12．（2023·山西·高二统考学业考试）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若，则下列命题正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】B【详解】A选项，若，则，A选项错误；B选项，，由于，故，，故，即，B选项正确；C选项，，由于，故，即，C选项错误；D选项，根据基本不等式，，当且，即时取得等号，此时，D选项错误.故选：B13．（2023·浙江·高二学业考试）已知当时，恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】解：恒成立，即，对任意得恒成立，令，，当时，，不符题意，故，当时，函数在上递增，则，解得或（舍去），当时，函数在上递减，则，解得或（舍去），综上所述，实数的取值范围是.故选：D.二、填空题14．（2023·广东·高三统考学业考试）已知关于x的不等式的解集中的一个元素为2，则实数a的取值范围为【答案】【详解】由题意可知:是不等式的解，所以，即，解得．故答案为：15．（2023·天津·高二学业考试）已知（a，），则的最小值为．【答案】9【详解】因为，所以，所以，当且仅当，即时，取等号.所以的最小值为9.故答案为：916．（2023·上海·高三统考学业考试）已知x＞2，则y＝的最小值是．【答案】4【详解】试题分析：因为，x＞2，所以x－2＞0，y＝，即y＝的最小值是4.17．（2023春·天津河北·高二学业考试）当时，的最小值为．【答案】【详解】，当且仅当，即时等号成立.故答案为：.三、解答题18．（2023春·天津南开·高一学业考试）设，，函数．(1)求不等式的解集；(2)若在上的最大值为，求