01第一章 集合与常用逻辑用语（含答案解析）

第一章集合与常用逻辑用语目录TOC\o"1-2"\h\u知识梳理 1考点精讲精练 3考点一：集合的含义与表示 3考点二：集合间的基本关系 5考点三：集合的基本运算 6考点四：充分条件与必要条件 9考点五：全称量词与存在量词 11集合与常用逻辑用语实战训练 131、元素与集合（1）集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.（2）元素与集合的关系：属于或不属于，数学符号分别记为：和.（3）集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图（图）.（4）常见数集和数学符号数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号或①确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的；也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.给定集合，可知,在该集合中，,不在该集合中；②互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的；也就是说，集合中的元素是不重复出现的.集合应满足.③无序性：组成集合的元素间没有顺序之分。集合和是同一个集合.④列举法把集合的元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法.⑤描述法用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法.具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.2、集合间的基本关系（1）子集（subset）：一般地，对于两个集合、，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集，记作（或），读作“包含于”（或“包含”）.（2）真子集（propersubset）：如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集，记作（或）.读作“真包含于”或“真包含”.（3）相等：如果集合是集合的子集（，且集合是集合的子集（），此时，集合与集合中的元素是一样的，因此，集合与集合相等，记作.（4）空集的性质：我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作；是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.3、集合的基本运算（1）交集：一般地，由属于集合且属于集合的所有元素组成的集合，称为与的交集，记作，即．（2）并集：一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合，称为与的并集，记作，即．（3）补集：对于一个集合，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合相对于全集的补集，简称为集合的补集，记作，即．4、充分条件、必要条件与充要条件的概念（1）若，则是的充分条件，是的必要条件；（2）若且，则是的充分不必要条件；（3）若且，则是的必要不充分条件；（4）若，则是的充要条件；（5）若且，则是的既不充分也不必要条件.5、全称量词与存在量词（1）全称量词短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示.（2）存在量词短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示.（3）全称量词命题及其否定①全称量词命题：对中的任意一个，有成立；数学语言：.②全称量词命题的否定：.（4）存在量词命题及其否定①存在量词命题：存在中的元素，有成立；数学语言：.②存在量词命题的否定：.考点一：集合的含义与表示真题讲解例题1．（2023·河北·高三学业考试）给出下列关系：①；②；③；④．其中正确的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【详解】是有理数，是无理数，均为实数，①正确，②错误；，为自然数及有理数，③④正确.故选：C.例题2．（2023·河北·高三学业考试）下列各组对象不能构成集合的是（

）A．所有直角三角形 B．抛物线上的所有点C．某中学高一年级开设的所有课程 D．充分接近的所有实数【答案】D【详解】A，B，C中的对象具备互异性、无序性、确定性，而D中的对象不具备确定性．故选：D．例题3．（2023·河北·高三学业考试）若不等式3-2x<0的解集为M,则下列结论正确的是

()A．0∈M,2∈M B．0∉M,2∈MC．0∈M,2∉M D．0∉M,2∉M【答案】B【详解】当x=0时,3-2x=3>0,所以0不属于M,即0∉M;当x=2时,3-2x=-1<0,所以2属于M,即2∈M.选B点睛：集合与元素的关系：若a属于集合A，记作a∈A；若b不属于集合A，记作b∉A.例题4．（2023·上海·高三统考学业考试）“notebooks”中的字母构成一个集合，该集合中的元素个数是【答案】7【详解】根据集合中元素的互异性，“notebooks”中的不同字母为“n，o，t，e，b，k，s”，共7个，故该集合中的元素个数是7；故答案为：7.真题演练1．（2023·河北·高三学业考试）给出下列关系：①；②；③；④．其中正确的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【详解】是有理数，是无理数，均为实数，①正确，②错误；，为自然数及有理数，③④正确.故选：C.2．（2023·河北·高三学业考试）下列各组对象不能构成集合的是（

）A．所有直角三角形 B．抛物线上的所有点C．某中学高一年级开设的所有课程 D．充分接近的所有实数【答案】D【详解】A，B，C中的对象具备互异性、无序性、确定性，而D中的对象不具备确定性．故选：D．3．（2023·河北·高三学业考试）若不等式3-2x<0的解集为M,则下列结论正确的是

()A．0∈M,2∈M B．0∉M,2∈MC．0∈M,2∉M D．0∉M,2∉M【答案】B【详解】当x=0时,3-2x=3>0,所以0不属于M,即0∉M;当x=2时,3-2x=-1<0,所以2属于M,即2∈M.选B点睛：集合与元素的关系：若a属于集合A，记作a∈A；若b不属于集合A，记作b∉A.4．（2023·上海·高三统考学业考试）“notebooks”中的字母构成一个集合，该集合中的元素个数是【答案】7【详解】根据集合中元素的互异性，“notebooks”中的不同字母为“n，o，t，e，b，k，s”，共7个，故该集合中的元素个数是7；故答案为：7.考点二：集合间的基本关系真题讲解例题1．（2023·河北·高三学业考试）下列集合中，结果是空集的是(

)A．{x∈R|x2-1=0} B．{x|x>6或x<1}C．{(x，y)|x2+y2=0} D．{x|x>6且x<1}【答案】D【详解】A选项：，不是空集；B选项：{x|x>6或x<1}，不是空集；C选项：(0,0)∈{(x，y)|x2+y2=0}，不是空集；D选项：不存在既大于6又小于1的数，即：{x|x>6且x<1}=.故选：D例题2．（2023·河北·高三学业考试）已知集合N＝{1,3,5}，则集合N的真子集个数为()A．5 B．6C．7 D．8【答案】C【详解】集合N＝{1,3,5}，则集合N的子集个数.除去集合N本身，还有8-1=7个.故选C.例题3．（2023·上海·高三统考学业考试）已知{第一象限角}，{锐角}，{小于的角}，那么A、B、C的关系是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：第一象限角，；锐角，小于的角，，；“小于的角”里边有“第一象限角”，从而．故选：．真题演练1．（2023·全国·高一学业考试）已知集合，则集合的真子集的个数为（

）A．7 B．8 C．15 D．16【答案】A【详解】解：由题意得：，其真子集有：，，，，，，，共7个．故选：A．2．（2023·河北·高三学业考试）若集合，，则A． B． C． D．【答案】C【详解】由题知：，，所以.故选：C3．（2023秋·广东·高三统考学业考试）已知集合，，则下列式子正确的是A． B． C． D．【答案】C【详解】因为集合，所以选C.考点三：集合的基本运算真题讲解例题1．（2023·广东·高三学业考试）设集合，，则（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】由集合，，得.故选：C.例题2．（2023春·天津南开·高一学业考试）设全集，集合，，则（

）．A． B． C． D．【答案】D【详解】由，可得，再由以及补集概念可知.故选：D例题3．（2023春·福建·高二统考学业考试）已知全集为U，，则其图象为（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【详解】全集为U，，则有，选项BCD不符合题意，选项A符合题意.故选：A例题4．（2023·江苏·高三统考学业考试）对于两个非空实数集合和，我们把集合记作.若集合，则中元素的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【详解】，则，则中元素的个数为故选：C例题5．（2023·河北·高三学业考试）已知集合，集合，且，则，．【答案】1【详解】由可得；由可得∵，∴是方程的根，则，可得∵，∴，则．故答案为：，1真题演练1．（2023春·浙江·高二学业考试）已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由题意，，于是.故选：C2．（2023·广东·高三学业考试）已知集合，，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由题意，，.故选：C.3．（2023春·浙江·高二统考学业考试）已知全集，集合，，则（

）A．{2，4} B．{6，8，10} C．{6，8} D．{2，4，6，8，10}【答案】C【详解】因为全集，集合，所以，因为，所以，故选：C4．（2023春·福建福州·高二福建省福州延安中学校考学业考试）设全集，，，则集合为（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】因为全集，由知，，；由知，，，则集合，故选：C.5．（2023春·海南·高一统考学业考试）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为，所以，所以.故选：B考点四：充分条件与必要条件真题讲解例题1．（2023春·天津南开·高一学业考试）对于实数，“”是“”的（

）．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】，但，故“”是“”的充分不必要条件.故选：A例题2．（2023春·福建福州·高二福建省福州延安中学校考学业考试）设，则“”是“”的(

)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】或，则，，所以“”是“”的必要不充分条件．故选：B．例题3．（2023春·浙江温州·高二统考学业考试）已知向量，，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】∵，则，或.∴当时，命题成立，反之，当时，不一定成立.所以“”是“”的充分不必要条件.故选；A.例题4．（2023·全国·高一学业考试）已知集合，．(1)若a＝1，求；(2)给出以下两个条件：①A∪B＝B；②““是“”的充分不必要条件．在以上两个条件中任选一个，补充到横线处，求解下列问题：若_____________，求实数a的取值范围．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）【答案】(1)(2)【详解】（1）当时，集合，因为，所以；（2）若选择①，则由A∪B＝B，得．当时，即，解得，此时，符合题意；当时，即，解得，所以，解得：；所以实数的取值范围是．若选择②，则由““是“”的充分不必要条件，得A⫋B．当时，，解得，此时A⫋B，符合题意；当时，，解得，所以且等号不同时取，解得；所以实数的取值范围是．真题演练1．（2023·湖南衡阳·高二校联考学业考试）使不等式成立的一个充分不必要条件是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】不等式成立的一个充分不必要条件是，是的必要不充分条件，是的非充分非必要条件，是的充分必要条件.故选：A2．（2023春·安徽马鞍山·高二安徽省马鞍山市第二十二中学校考学业考试）“”是“”的（

）A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】由得或,则“”是“”的必要不充分条件,故选：B.3．（2023春·浙江金华·高二学业考试）若：；：，则是成立的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】由不能推出，例如，但必有，所以：是：的必要不充分条件.故选：B.考点五：全称量词与存在量词真题讲解例题1．（2023·浙江温州·高二统考学业考试）已知命题，，则命题的为（

）A．， B．，C．， D．，【答案】A【详解】已知命题，，则命的为,.故选:A.例题2．（2023春·浙江温州·高二统考学业考试）设命题，，则为（

）A．， B．，C．， D．，或【答案】D【详解】根据命题的否定得任意变存在，结论相反，故为，或，故选：D.例题3．（2023·河北·高三学业考试）命题“”的否定为.【答案】【详解】因为特称命题的否定为全称命题，所以“”的否定为“”，故答案为：.例题4．（2023·安徽·高二马鞍山二中校考学业考试）命题“，”为假命题，则的取值范围为.【答案】.【详解】因为命题“，”为假命题，所以命题“，”为真命题，即时，恒成立，令，，所以当的最小值为，所以，即的取值范围为，故答案为：.真题演练1．（2023春·天津南开·高一学业考试）已知命题：，，则命题的否定为（

）．A．， B．，C．， D．，【答案】B【详解】命题的否定为，.故选：B2．（2023·山西太原·高二太原师范学院附属中学校考学业考试）命题“，”的否定为（

）A． B．C．， D．，【答案】B【详解】命题“，”为特称量词命题，其否定为：.故选：B3．（2023·湖南衡阳·高二统考学业考试）命题“，”的否定是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【详解】由特称命题的否定知：原命题的否定为，.故选：D.4．（2023春·河北·高三统考学业考试）若命题“”是假命题，则实数a的范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】若命题“”是假命题，则命题“”是真命题，当时，，所以.故选：A.5．（2023·河北·高三学业考试）若命题“，”是假命题，则实数m的最小值为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【详解】因为命题“，”是假命题，所以命题“”是真命题，所以，解得，所以实数m的最小值为1.故选：B.集合与常用逻辑用语实战训练1．（2023·浙江温州·高二统考学业考试）已知集合，，则（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】即集合与集合的公共元素组成的集合，依题意可得.故选：B2．（2023·广东·高三学业考试）集合，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】,故选：D3．（2023春·河北·高三统考学业考试）命题“，”的否定是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【详解】命题“，”为特称量词命题，其否定为：“，”.故选：C4．（2023春·浙江温州·高二统考学业考试）若集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为，，所以.故选：C.5．（2023春·湖南·高二统考学业考试）命题“，”的否定是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【详解】由题意得“，”的否定是，，故选：B6．（2023秋·福建·高二统考学业考试）“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】A【详解】若，则，又因为，所以，即，若，因为，当时，不成立，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.7．（2023秋·重庆·高三统考学业考试）设，集合，，，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为或，，又因为，则.故选：C.8．（2023·安徽·高二马鞍山二中校考学业考试）若集合，集合，则图中阴影部分表示（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】，或.阴影部分表示.故选：A9．（2023春·河北·高二统考学业考试）设集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为集合，，所以，故选：C10．（2023·河北·高三学业考试）已知是实数集，集合，，则阴影部分表示的集合是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】已知是实数集，集合，，则，阴影部分表示的集合是.故选：B.11．（2023·河北·高三学业考试）设集合，．若，则

(

)A． B． C． D．【答案】C【详解】∵集合，，

∴是方程的解，即

∴

∴，故选C二、填空题12．（2023·上海·高三统考学业考试）已知集合，，则