轻量级树上倍增算法

18/22轻量级树上倍增算法第一部分树上倍增算法概述 2第二部分倍增表构造 4第三部分二进制分解求解 7第四部分跳跃步长选择 10第五部分前向星存储图论 11第六部分二分搜索优化 14第七部分LCA查询时间复杂度 16第八部分倍增算法应用 18

第一部分树上倍增算法概述关键词关键要点树上倍增算法概述

主题名称：树上倍增算法原理

-利用二进制分解技术，将查询过程分成多次跳跃，每次跳跃距离为2的幂次方。

-预处理出节点到其父节点、祖父节点等2的幂次方的祖先节点。

-通过二进制位运算快速确定查询目标节点的祖先节点。

主题名称：时间复杂度分析

树上倍增算法概述

树上倍增算法是一种特殊的情形动态规划算法，用于解决树形结构上的路径查询问题。该算法基于倍增思想，使用预处理和倍增的策略，将路径查询的复杂度从O(N^2)降低到O(NlogN)，其中N为树的节点数量。

算法原理

树上倍增算法的基本原理是预先计算出每个节点到其祖先节点的2^i跳跃距离（称为2^i父节点），然后利用倍增策略，将任意两个节点间的路径分解为一系列2^i跳跃，从而快速求出两节点间的最短路径或其他相关信息。

预处理阶段

在预处理阶段，算法从根节点出发，逐层对树进行深度优先遍历。在遍历过程中，为每个节点记录其父节点以及2^i父节点，并将这些信息存储在一个数组中。这样，对于每个节点，都可以快速获得其所有祖先节点的信息。

倍增阶段

在查询路径时，算法使用倍增策略，将路径查询分解为一系列2^i跳跃。例如，对于节点u和v之间的路径，算法首先找到u和v的最近公共祖先（LCA）w。然后，算法将路径分解为从u到w、从w到v的两段路径。

对于从u到w的路径，算法从u开始，每次跳跃2^i步，直到跳到w。在每次跳跃之前，算法记录跳跃的节点。对于从w到v的路径，算法采用同样的策略。最终，算法将u和v之间的路径表示为一系列2^i跳跃。

时间复杂度分析

树上倍增算法的预处理阶段复杂度为O(NlogN)。在查询路径时，算法最多需要O(logN)次2^i跳跃，因此查询路径的复杂度为O(logN)。总体而言，树上倍增算法将路径查询的复杂度降低到了O(NlogN)。

应用

树上倍增算法广泛应用于树形结构的各种问题中，例如：

*查找两个节点之间的最短路径

*计算两个节点之间的距离

*计算树的直径

*查找树的最大独立集

*求解树上的动态规划问题

由于其高效性和广泛的适用性，树上倍增算法已成为处理树形结构问题的重要工具。第二部分倍增表构造关键词关键要点离线预处理

1.按照树的高度建立一组倍增数组，其中第i层倍增数组存储每个节点沿2^i条边所能到达的祖先节点。

2.利用动态规划思想，依次计算出不同层级的倍增数组。

3.树的深度越深，倍增表占用的空间越大，时间复杂度也越高，需要根据实际情况选择合适的层数。

时间复杂度优化

1.跳表优化：在倍增表的基础上，以2为底构建跳表（SkipList），可以有效减少查询祖先节点的时间复杂度。

2.LCA（最近公共祖先）算法优化：利用倍增表，可以快速计算出两个节点的最近公共祖先，从而提高效率。

3.空间换时间：通过合理的倍增表层数选择，可以在空间开销和时间复杂度之间取得平衡。

动态树上倍增

1.动态维护树的结构，在树发生增删改操作后，及时更新倍增表。

2.引入平衡树或并查集等数据结构，辅助维护倍增表。

3.可以在线处理树的动态变化，适用于需要不断更新树结构的场景。

启发式优化

1.启发式剪枝：在倍增过程中，根据某些启发式规则，提前终止搜索，减少计算量。

2.超级节点优化：选择树中具有特殊性质的节点作为超级节点，可以减少倍增表的层数。

3.特殊树优化：针对某些特殊结构的树，如线段树或二叉树，可以设计专门的优化算法。

并行化实现

1.多线程并行：将倍增表的计算任务分配给多个线程并行执行。

2.GPU加速：利用GPU的并行计算能力，加快倍增表构造速度。

3.分布式计算：在分布式计算环境中，将倍增表的计算任务分发到多个节点执行。

前沿趋势

1.压缩倍增表：探索使用数据压缩技术压缩倍增表，减少内存开销。

2.AI辅助优化：利用人工智能技术辅助倍增表构造，提高算法效率。

3.量子计算应用：研究在量子计算机上实现倍增算法，进一步提升计算性能。倍增表构造

轻量级树上倍增算法的倍增表构造是一个关键步骤，用于预处理一棵树的结构以支持高效的查询。

1.树的DFS遍历

首先，对树进行深度优先搜索（DFS），记录每个节点的深度和父节点。

```

defdfs(node,parent,depth):

node.depth=depth

node.parent=parent

forchildinnode.children:

ifchild!=parent:

dfs(child,node,depth+1)

```

2.倍增表初始化

创建一个二维数组`dp`，其中`dp[i][j]`表示节点`i`的第`2^j`个祖先。

```

dp=[[0]*log2(N)for_inrange(N)]

```

3.倍增表填入

使用DFS遍历中计算的深度和父节点信息，填入倍增表：

```

foriinrange(N):

dp[i][0]=i#每个节点的第0个祖先是自己

forjinrange(1,log2(N)):

dp[i][j]=dp[dp[i][j-1]][j-1]#每个节点的第2^j个祖先是其第2^(j-1)个祖先的父节点

```

4.复杂度分析

DFS遍历的复杂度为O(V+E)，其中V是节点数，E是边数。倍增表填入的复杂度为O(V*log2(V))。因此，倍增表构造的总复杂度为O(V+E+V*log2(V))，在稀疏树中约化为O(V*log2(V))。（注：log2(V)指以2为底的对数）

5.内存空间分析

倍增表的大小为O(V*log2(V))，因为每个节点需要存储与其祖先的信息。

6.应用场景

轻量级树上倍增算法中的倍增表构造完成后，可以用于解决以下问题：

*求取节点间的最短路径长度

*查找节点的第k个祖先

*检查两个节点是否在同一子树中

*求取树的直径和重心

*进行树链剖分等第三部分二进制分解求解关键词关键要点【二进制分解求解】

1.问题分解：将求解区间[1,n]分解为连续的2^i段，即[1,2^i],[2^i+1,2^(i+1)],...,[n-2^i+1,n]。

2.区间转移：对于区间[l,r]的询问，若r-l+1<2^i，则直接查询RMQ(l,r)；否则，依次查询RMQ(l,l+2^i-1)、RMQ(l+2^i,r)中较小的值。

3.时间复杂度：O(logn)，因为它将原问题分解为logn个子问题，每个子问题的时间复杂度为O(1)。

【动态规划求解】

二进制分解求解

概述

二进制分解是一种动态规划算法，用于解决树上某些具有重叠子问题的查询问题。通过将查询范围不断缩小至对数级别，该算法显著提高了效率。

算法原理

二进制分解算法的基础是树上倍增算法。树上倍增算法预处理了一棵树，以便快速查询节点之间路径的第2^k个祖先。

在二进制分解算法中，查询范围是节点u到节点v之间的路径。算法通过依次检查路径中第2^i个祖先（其中i从0到log(n)）是否存在于查询范围中，来缩小范围。

对于每个i，如果第2^i个祖先在范围内，则算法将查询范围缩小到该祖先的子树。否则，算法跳过该祖先，继续检查下一个更高的祖先。

实现步骤

1.预处理树：使用树上倍增算法预处理一棵n个节点的树，以便快速查找节点之间的2^k个祖先。

2.二进制分解：

-输入：起始节点u，结束节点v

-输出：u到v的路径上的公共祖先

-初始化：low=u，high=v，ancestor=0

-循环log(n)次：

-计算i=floor(log(high-low+1))

-如果第2^i个祖先在范围内，则设置ancestor=第2^i个祖先，high=第2^i个祖先的子树中high的临界点

-否则，high=第2^i个祖先的子树中high的临界点

-返回ancestor

时间复杂度

二进制分解算法的时间复杂度为O(log(n))，其中n是树中的节点数。

应用

二进制分解算法可用于解决各种树上查询问题，例如：

*最近公共祖先

*路径最大值

*子树和查询

*树上动态规划

代码示例（Python）：

```python

deflca_binary_lifting(u,v):

"""

使用二进制分解算法查找节点u和v的最近公共祖先

:paramu:起始节点

:paramv:结束节点

:return:u到v的最近公共祖先

"""

low,high=u,v

ancestor=0

foriinrange(int(math.log2(n))+1,-1,-1):

iflow>>i==high>>i:

ancestor=low>>i

high=ancestor-1<<i

returnancestor

```第四部分跳跃步长选择跳跃步长选择

在轻量级树上倍增算法中，跳跃步长的选择对于算法的效率至关重要。跳跃步长的选择取决于树的高度`h`和查找的深度`d`。目标是选择一个尽可能大的跳跃步长，同时仍能保证在不超过`O(logh)`的时间内完成查找。

确定最大跳跃步长

最大跳跃步长`s`是一个整数，满足`s<=logh`，并且`2^s>=d`。换句话说，`s`是最小整数，使得2的`s`次方大于或等于查找的深度。

迭代确定较大跳跃步长

为了在不超过`O(logh)`的时间内完成查找，我们需要选择一个比最大跳跃步长稍小的跳跃步长。具体来说，我们可以选择跳跃步长`s`，使得`2^(s-1)<d<=2^s`。

选择最优跳跃步长

要选择最优跳跃步长，我们可以使用以下策略：

1.计算最大跳跃步长`s`。

2.如果`d=2^s`，则选择跳跃步长`s`。

3.否则，选择跳跃步长`s-1`。

说明

*如果查找深度`d`是2的幂，则我们选择最大跳跃步长，因为这将导致最少的跳跃次数。

*如果`d`不是2的幂，则我们选择比最大跳跃步长小一的跳跃步长。这将确保我们不会跳过目标祖先节点，同时仍然可以快速到达目标。

示例

考虑一棵高度为10的树。

*如果查找深度`d`为16（`2^4`），则最大跳跃步长为`s=4`。我们选择跳跃步长`s`，因为`d`是2的幂。

*如果`d`为15（`2^3+1`），则最大跳跃步长为`s=3`。我们选择跳跃步长`s-1=2`，因为`15>2^2`。

结论

跳跃步长的选择对于轻量级树上倍增算法的效率至关重要。通过确定最大跳跃步长并选择比它稍小的跳跃步长，我们可以确保在不超过`O(logh)`的时间内完成查找。第五部分前向星存储图论关键词关键要点【前向星存储图论】，

1.定义：前向星存储图论是一种存储图论的方法，它使用一个数组来存储所有从每个顶点出发的边。

2.优点：使用前向星存储图论可以快速找到从一个顶点出发的所有边，并且可以快速添加或删除边。

3.应用：前向星存储图论广泛应用于图论算法中，例如深度优先搜索、广度优先搜索和最小生成树算法。

【稀疏图存储】，

前向星存储图论

前向星存储图论是一种高效的数据结构，用于存储有向图和无向图。它通过在内存中维护一个数组来表示图中的边，使得能够快速访问与每个顶点相关的出边。

前向星存储图论由以下数据结构组成：

*顶点数组：存储图中所有顶点的信息，包括顶点编号、入度和出度。

*边数组：存储图中所有边的信息，包括边编号、起始顶点、终点顶点和权重（如果有）。

*邻接表：是一个整数数组，维护每个顶点的所有出边在边数组中的索引。

数据结构的存储

在内存中，前向星存储图论通常按以下方式存储：

*顶点数组存储在连续的内存块中，通常使用一个结构体来表示每个顶点。

*边数组也存储在连续的内存块中，通常使用一个结构体来表示每条边。

*邻接表存储在与顶点数组大小相同的连续内存块中，其中每个元素存储指向边数组中第一个相关边索引的指针。

边访问

给定一个顶点及其邻接表的索引，可以轻松访问与该顶点相关的所有出边。邻接表的索引对应于边数组中的起始位置，然后可以逐个访问该顶点的所有出边。

优势

前向星存储图论具有以下优势：

*空间效率：与邻接链表等其他方式相比，前向星存储图论更节省空间，因为它避免了重复存储边信息。

*查找效率：从一个顶点访问其所有出边的操作非常高效，只需要一个内存访问。

*可扩展性：前向星存储图论易于扩展，可以轻松添加或删除边。

示例

考虑一个有向图，其顶点和边如下所示：

*顶点：A、B、C

*边：A->B、B->C、C->A

前向星存储图论的存储如下：

*顶点数组：

*A：[0,1,1]

*B：[1,2,1]

*C：[2,1,1]

*边数组：

*[0,A,B]

*[1,B,C]

*[2,C,A]

*邻接表：

*A：[0,2]

*B：[1]

*C：[2]

通过使用邻接表索引0，可以访问顶点A的两条出边，分别指向顶点B和C。类似地，通过使用邻接表索引1，可以访问顶点B的出边，指向顶点C。

局限性

前向星存储图论也有一些局限性：

*仅适用于有向图：前向星存储图论仅适用于有向图，不适用于无向图。

*遍历不方便：不像邻接链表，前向星存储图论不直接提供图的遍历顺序。

*内存碎片：随着图的更新（例如添加或删除边），可能会出现内存碎片问题，需要使用内存管理技术来解决。第六部分二分搜索优化关键词关键要点【二分搜索优化】

1.在倍增过程中，利用二分搜索快速定位LCA。

2.时间复杂度从O(nlog^2n)降至O(nlogn)。

3.通过减少递归层数，提高了算法效率。

【LCA缓存优化】

轻量级树上倍增算法中的二分搜索优化

树上倍增算法是一种用于在树形结构中高效查询节点祖先和路径相关信息的数据结构和算法。轻量级树上倍增算法是对传统树上倍增算法的一种优化，通过二分搜索取代暴力遍历来查找祖先节点，从而降低了算法的时间复杂度。

二分搜索优化的原理

在传统的树上倍增算法中，为了找到节点`v`的第`l`级祖先，需要依次遍历`v`到根节点的路径，并在路径上逐级向上跳跃`2^l`个节点。这种暴力遍历的方法具有`O(l)`的时间复杂度。

而二分搜索优化则利用了树的高度受限的特性。在树中，根节点到任何其他节点的路径长度不会超过树的高度。因此，对于深度为`h`的树，只需要进行`O(logh)`次跳跃即可找到节点`v`的第`l`级祖先。

二分搜索的具体过程如下：

1.初始化一个指针`ptr`从节点`v`出发，表示当前正在考虑的第`0`级祖先。

2.若`l`为`0`，则停止搜索，返回`ptr`。

3.若`l`为奇数，则将`ptr`跳跃至其父亲节点。

4.若`l`为偶数，则将`ptr`跳跃至其父亲节点的父亲节点。

5.将`l`右移一位，回到步骤2。

时间复杂度分析

通过二分搜索优化后，轻量级树上倍增算法的时间复杂度变为`O(logh)`。这是由于在每次跳跃中，深度至少减少一半，因此跳跃次数最多为`logh`。此外，每次跳跃只需常数时间，因此总的时间复杂度为`O(logh)`。

优化效果

二分搜索优化对轻量级树上倍增算法的性能提升非常显着。对于深度较大的树，二分搜索优化的版本比暴力遍历版本快几个数量级。

应用场景

轻量级树上倍增算法及其二分搜索优化广泛应用于各种需要在树形结构中高效查询祖先和路径相关信息的场景，例如：

*最近公共祖先查询

*子树查询

*路径查询

*节点颜色的动态维护

*图论中强连通分量和双连通分量的求解

结论

二分搜索优化是轻量级树上倍增算法中的关键优化，它通过利用树的高度受限的特性，将暴力遍历替换为二分搜索，从而将算法的时间复杂度降低为`O(logh)`。这使得轻量级树上倍增算法在处理大型和深度树时具有更高的效率。第七部分LCA查询时间复杂度关键词关键要点轻量级树上倍增的LCA查询时间复杂度

1.基于二进制分解：使用二进制分解将查询路径分解为若干个长度为2的子路径，通过对这些子路径进行倍增操作，得到LCA。

2.前处理：算法使用前处理技术，预计算每个节点到其2^i个祖先的距离，并存储在跳表中，时间复杂度为O(N*logN)。

3.查询过程：查询过程中，通过二进制分解和跳表，将查询路径拆分为几个长度为2的子路径，再通过对这些子路径进行倍增操作，得到LCA。时间复杂度为O(logN)。

时间复杂度分析

1.前处理时间复杂度：O(N*logN)，其中N为树中节点数。

2.查询时间复杂度：O(logN)，其中logN是树的高度。

3.空间复杂度：O(N*logN)，存储跳表所需的空间。轻量级树上倍增算法

LCA查询时间复杂度

在轻量级树上倍增算法中，LCA（最近公共祖先）查询时间复杂度为O(logn)，其中n为树中节点的数量。

算法过程

轻量级树上倍增算法通过预处理和查询两个阶段实现高效的LCA查询：

预处理阶段：

*计算每个节点与其2^i代祖先之间的距离，记为LCA[i][node]。

*时间复杂度：O(nlogn)

查询阶段：

*设节点u和v的LCA为lca。

*将u和v提升到同一高度，即找出k使得2^k<=depth[u]和2^k<=depth[v]。

*查询LCA[k][u]和LCA[k][v]中较深的节点lca1，即lca1=LCA[k][max(depth[u],depth[v])。

*再次提升lca1和较浅的节点（即除了lca1外的u或v），使两者的深度相同。

*查询LCA[k-1][max(depth[u],depth[v])]中较深的节点lca2，并更新lca1为lca2。

*重复上述步骤，直到k=0。最后，lca1即为u和v的LCA。

*时间复杂度：O(logn)

时间复杂度分析

在查询阶段，算法执行logn次查询，每次查询时间为O(1)。因此，总的时间复杂度为O(logn)。

优化

轻量级树上倍增算法可以通过一些优化进一步提高查询性能：

*跳表优化：使用跳表代替链表存储祖先信息，以减少查询中链表遍历的时间。

*二分搜索优化：在查询时，使用二分搜索算法查找LCA，以避免不必要的查询。第八部分倍增算法应用关键词关键要点【树的分解】：

1.将树分解为重链和轻链，重链上的节点数不超过树的高度的对数。

2.利用EulerTour定理遍历树，将重链和轻链记录在树链剖分数组中。

3.通过倍增算法预处理出从每个节点出发，向上跳跃2^k个节点的祖先节点。

【路径查询】：

倍增算法应用

倍增算法是一种在树形结构上有效解决路径查询问题的算法。其基本思想是预处理出每个节点以特定步长（2的幂）为单位的祖先信息，从而快速查找两个节点之间的路径长度、公共祖先以及节点在路径上的相对位置。

路径长度查询

倍增算法可以高效地计算任意两个节点之间的路径长度。给定节点A和B，其路径长度可以通过如下递推关系计算：

```

dist(A,B)=dist(A,parent(B))+dist(parent(B),B)

```

其中，`parent(B)`表示节点B的父节点，即向上跳跃一步到达B的祖先节点。

公共祖先查询

倍增算法还可以快速找到两个节点的公共祖先。对于节点A和B，其公共祖先可以通过如下方式查找：

1.找到两个节点到其最近公共祖先（LCA）的距离，记为lca_a和lca_b。

2.如果lca_a>lca_b，则A向上跳跃lca_a-lca_b步，到达公共祖先。

3.否则，B向上跳跃lca_b-lca_a步，到达公共祖先。

节点在路径上的位置

倍增算法可以确定一个节点在从其到另一个节点的路径上的相对位置。给定节点A和B，节点A在从A到B的路径上的位置可以用如下方式计算：

1.找到节点A和B的公共祖先C。

2.从A向上跳跃dist(A,C)-dist(C,B)步，即可到达B在路径上的位置。

倍增算法的复杂度

倍增算法的预处理阶段需要O(nlogn)的时间，其中n为树中的节点数。对于路径长度查询、公共祖先查询和节点在路径上的位置查询，其复杂度均为O(logn)。

应用场景

倍增算法在树形结构的路径查询问题中具有广泛的应用，包括：

*求解树形网络中的最短路径

*查找树中两点之间的公共祖先

*计算树