复合函数的单调性教学设计-2023-2024学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第一册

复合函数的单调性教学设计-2023-2024学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第一册授课内容授课时数授课班级授课人数授课地点授课时间教学内容本节课的教学内容为2023-2024学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第一册第三章《函数的性质》第3节“复合函数的单调性”。本节课将详细介绍复合函数单调性的概念、判定方法及其应用。具体内容包括：

1.复合函数单调性的定义与性质。

2.复合函数单调性的判定方法。

3.复合函数单调性在实际问题中的应用。

4.相关例题及练习题。核心素养目标分析本节课的核心素养目标主要包括：

1.逻辑推理：通过探究复合函数单调性的判定方法，培养学生逻辑推理能力，提高分析问题和解决问题的能力。

2.数学抽象：通过对复合函数单调性概念的理解，培养学生数学抽象思维能力，能从具体实例中提炼出一般规律。

3.数学建模：结合实际应用问题，引导学生运用复合函数单调性知识建立数学模型，提高学生数学建模能力。

4.数学运算：通过例题和练习题的训练，培养学生熟练运用数学运算解决实际问题的能力。

5.数据分析：培养学生运用复合函数单调性分析实际数据，提升数据分析和处理能力。重点难点及解决办法重点：

1.理解复合函数单调性的定义。

2.掌握复合函数单调性的判定方法。

难点：

1.复合函数单调性判定过程中的逻辑推理。

2.将复合函数单调性应用于实际问题中的建模与运算。

解决办法与突破策略：

1.对于复合函数单调性的定义，通过具体例题让学生观察并总结单调性的表现，再引导学生提炼出定义，加强直观感知与理解。

2.对于判定方法，采用“逐步引导”的教学策略，先从简单的函数入手，再逐渐过渡到复杂的复合函数，让学生在解决具体问题的过程中，逐步掌握判定技巧。

3.针对逻辑推理的难点，通过分步骤解析例题，引导学生逐步分析复合函数的内部关系，明确单调性判定的逻辑链条。

4.在应用实际问题中，通过设计具有实际背景的案例，让学生在解决实际问题的过程中，自然运用复合函数单调性知识，从而突破建模与运算的难点。教学资源1.软硬件资源：多媒体投影仪、计算机、黑板、粉笔。

2.课程平台：学校教学管理系统。

3.信息化资源：数学教学软件、在线教育平台提供的视频资料。

4.教学手段：PPT演示、板书、课堂讨论、小组合作学习。教学过程一、导入新课

1.各位同学，大家好！今天我们要学习的是复合函数的单调性。在之前的学习中，我们已经了解了函数的基本概念和性质，那么大家思考一下，什么是复合函数呢？

2.（等待学生回答）很好，复合函数是由两个或两个以上的函数复合而成的函数。那么，复合函数的单调性又是如何定义的呢？这就是我们今天要探究的内容。

二、探究复合函数单调性的定义

1.首先，我们来回顾一下函数单调性的概念。请大家用自己的话解释一下，什么是函数的单调性？

2.（等待学生回答）很好，函数的单调性是指函数在某一区间内，随着自变量的增加或减少，函数值也随之增加或减少的性质。那么，复合函数的单调性又该如何理解呢？

3.现在，请大家翻到教材第三章第3节，我们来看一个具体的例子。假设有两个函数f(x)和g(x)，其中f(x)在区间[a,b]上单调递增，g(x)在区间[c,d]上单调递减。现在我们构造一个复合函数h(x)=f(g(x))，请大家思考，h(x)在什么条件下会单调递增或递减？

4.（等待学生思考并回答）正确，当g(x)在区间[c,d]上单调递增，且f(x)在g(x)的值域范围内单调递增时，h(x)在区间[a,b]上单调递增。反之，当g(x)在区间[c,d]上单调递减，且f(x)在g(x)的值域范围内单调递减时，h(x)在区间[a,b]上单调递减。

三、讲解复合函数单调性的判定方法

1.接下来，我们来看一下复合函数单调性的判定方法。请大家看教材上的判定定理，并用自己的话解释一下这个定理。

2.（等待学生回答）很好，复合函数单调性的判定定理是：如果函数f(x)在区间[a,b]上单调递增（或递减），函数g(x)在区间[c,d]上单调递增（或递减），那么复合函数h(x)=f(g(x))在区间[a,b]上单调递增（或递减）。

3.现在，我们来通过几个例题来练习这个判定方法。请大家看例1，并尝试用自己的话解释一下题目中的复合函数是如何单调的。

四、例题讲解与练习

1.（讲解例1）这个例子中，我们有两个函数f(x)=x^2和g(x)=2x-1。首先，我们来看f(x)在区间[-∞,+∞]上的单调性。显然，f(x)在区间[0,+∞]上单调递增。接下来，我们来看g(x)在区间[-∞,+∞]上的单调性。同样地，g(x)在区间[-∞,+∞]上单调递增。根据复合函数单调性的判定定理，我们可以得出复合函数h(x)=f(g(x))在区间[-∞,+∞]上单调递增。

2.现在，请大家尝试解决例2。请大家先独立思考，然后再和旁边的同学讨论一下你们的答案。

3.（等待学生完成练习并讨论）很好，现在请大家分享一下你们的答案。正确，复合函数h(x)=f(g(x))在区间[-∞,2]上单调递增，在区间[2,+∞]上单调递减。

五、应用复合函数单调性解决实际问题

1.接下来，我们来探讨一下如何将复合函数单调性应用于实际问题中。请大家看教材上的应用题，并尝试用自己的话解释一下题目中的实际问题是如何转化为复合函数单调性问题的。

2.（等待学生回答）很好，这个应用题中，我们要求解的是一个关于温度变化的实际问题。我们可以将温度变化看作是一个复合函数，通过分析这个复合函数的单调性，我们可以得出温度变化的规律。

3.现在，请大家尝试解决这个应用题。请大家先独立思考，然后再和旁边的同学讨论一下你们的答案。

4.（等待学生完成练习并讨论）很好，现在请大家分享一下你们的答案。正确，通过分析复合函数的单调性，我们可以得出温度在某一时间段内是单调递增的。

六、课堂小结与作业布置

1.好的，今天我们学习了复合函数的单调性。请大家回顾一下，我们学习了哪些内容？复合函数单调性的定义是什么？复合函数单调性的判定方法是什么？如何将复合函数单调性应用于实际问题中？

2.（等待学生回答）很好，大家都掌握了今天的学习内容。接下来，我给大家布置一道作业题。请大家完成教材上的练习题3，并尝试解决一道关于复合函数单调性的实际问题。

七、课后反馈与辅导

1.课后，请大家将作业题提交到课程平台上。我会及时查看大家的作业，并给出反馈。

2.如果大家在课后遇到任何问题，可以随时通过课程平台向我提问，我会尽快回复大家的问题。学生学习效果学生学习效果体现在以下几个方面：

1.理解并掌握了复合函数单调性的定义：学生在本节课的学习中，能够用自己的语言准确描述复合函数单调性的定义，能够识别复合函数的单调性表现，并在实际问题中应用这一概念。

2.掌握了复合函数单调性的判定方法：学生能够熟练运用复合函数单调性的判定定理，分析并判断给定复合函数的单调性，能够通过具体的例题演示判定过程。

3.提升了逻辑推理能力：在学习复合函数单调性的过程中，学生需要通过逻辑推理来分析函数的单调性，这一过程锻炼了学生的逻辑思维能力，使其在解决数学问题时更加条理化。

4.能够将理论知识应用于实际问题：学生能够将复合函数单调性的理论知识应用于实际问题中，如温度变化、经济增长等，通过建立数学模型来分析问题，提高了学生的数学建模能力。

5.增强了数学运算能力：在解决复合函数单调性的问题时，学生需要进行一系列的数学运算，包括求导、解方程等，这些运算练习提高了学生的数学运算能力。

6.培养了数据分析能力：通过对复合函数单调性的分析，学生能够对实际数据进行处理和分析，这一过程有助于培养学生的数据分析能力，为未来的学习和工作打下基础。

7.提升了课堂参与度和合作学习能力：在课堂讨论和小组合作学习环节，学生积极参与，与同学交流思路，共同解决问题，这不仅提高了学生的课堂参与度，也增强了团队合作能力。

8.形成了良好的学习习惯：通过本节课的学习，学生养成了主动探究、积极思考的学习习惯，这对于他们未来的学习生涯具有重要意义。

9.提升了自我反馈和调整能力：学生在完成课后作业和实际问题时，能够自我检查，发现错误并及时调整，这种自我反馈和调整的能力对于学生的自主学习非常重要。

10.增强了对数学学科的兴趣：通过对复合函数单调性的学习，学生体会到了数学的实用性和趣味性，从而提高了对数学学科的学习兴趣，为后续学习打下了良好的基础。教学评价与反馈1.课堂表现：

学生在课堂上表现出较高的积极性，能够认真听讲并参与课堂讨论。在讲解复合函数单调性定义和判定方法时，学生能够积极思考并尝试用自己的语言表达理解。在例题讲解环节，学生能够跟随老师的思路，逐步分析并解决问题。此外，学生在课堂上的提问也显示出他们对知识点的深入思考和探索。

2.小组讨论成果展示：

小组讨论环节，学生能够有效分工，积极交流。每个小组都能在规定时间内完成讨论任务，并选派代表展示成果。展示内容涵盖了复合函数单调性的判定方法、实际应用案例以及小组内对疑难问题的讨论结果。学生的展示表明他们在小组合作中取得了实质性进展，能够将理论知识与实际问题相结合。

3.随堂测试：

随堂测试旨在检验学生对复合函数单调性知识的掌握程度。测试结果显示，大多数学生能够正确回答问题，说明他们在课堂上的学习效果良好。但仍有少数学生在判定复合函数单调性时出现错误，这提示我们需要在后续教学中加强对这部分学生的辅导。

4.课后作业反馈：

课后作业的完成情况显示，学生在独立解决问题时能够运用所学的复合函数单调性知识。大多数学生能够正确完成作业，但部分学生在处理复杂问题时仍存在困难。针对这一情况，教师已在课程平台上提供了详细的解答和指导，帮助学生理解难点。

5.教师评价与反馈：

针对本节课的教学，教师认为学生在理解复合函数单调性方面取得了显著进步。他们在课堂上的表现、小组讨论成果、随堂测试以及课后作业的完成情况均显示出较高的学习效果。然而，仍有部分学生在理论应用到实际问题时存在困难，需要教师在后续教学中给予更多关注和指导。

教师将针对学生的不同需求，采取以下措施进行反馈和指导：

-对于理解较好的学生，鼓励他们继续深入学习，探索复合函数单调性的更多应用场景。

-对于理解有困难的学生，提供额外的辅导材料和解题技巧，帮助他们克服学习难点。

-针对小组讨论中出现的共性问题，组织全班性的讲解和讨论，强化知识点。

-利用课程平台发布更多实际案例和练习题，供学生在课后自主学习和巩固。

-定期进行学习效果评估，及时调整教学策略，确保每位学生都能跟上教学进度。内容逻辑关系①复合函数单调性的定义

-重点知识点：复合函数、单调性、定义

-重点词：复合、单调递增、单调递减

-重点句：复合函数h(x)=f(g(x))在区间[a,b]上单调递增（或递减），当且仅当...

②复合函数单调性的判定方法

-重点知识点：判定定理、单调性分析、条件判断

-重点词：判定方法、单调性判定定理、条件

-重点句：若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增（或递减），函数g(x)在区间[c,d]上单调递增（或递减），则...

③复合函数单调性的实际应用

-重点知识点：实际应用、建模、数据分析

-重点词：实际问题、数学建模、数据分析

-重点句：通过对复合函数单调性的分析，我们可以预测...，解决...问题。教学反思与总结教学反思：

在讲授复合函数单调性的过程中，我尝试了多种教学方法来提高学生的学习效果。首先，我通过引入实际问题来激发学生的兴趣，让他们意识到复合函数单调性的重要性。然而，我也发现了一些不足之处。

在教学方法上，我意识到讲解复合函数单调性定义时，可能过于注重理论推导，而没有足够地强调直观理解。有些学生在理解复合函数单调性的概念时感到困惑，可能是因为缺乏直观的例子来辅助理解。因此，我计划在未来的教学中增加更多的直观示例，帮助学生更好地把握复合函数单调性的本质。

此外，在课堂管理方面，我发现小组讨论环节的时间分配不够合理，导致部分小组未能充分讨论。我意识到应该更加细致地规划课堂时间，确保每个环节都能够得到充分的展开。

在策略上，我尝试引导学生通过练习来巩固知识，但随堂测试结果显示，部分学生对复合函数单调性的应用仍然存在困难。我认识到，可能需要更多针对性地设计练习题，以及在教学过程中更多地关注学生的个别需求。

教学总结：

总体来看，本节课在教学效果上取得了一定的成果。学生们对复合函数单调性的定义和判定方法有了基本的理解，能够在一定程度上应用这些知识解决实际问题。他们在课堂上的参与度和对数学学科的兴趣也有所提高。

在知识方面，学生们能够描述复合函数单调性的概念，并能运用判定方法分析给定函数的单调性。在技能方面，学生们的逻辑推理能力和数学运算能力得到了锻炼。在情感态度方面，学生们对数学问题的好奇心和对挑战的勇气有所增强。

尽管如此，我也发现了一些问题和不足。对于理解有困难的学生，我需要提供更多的个别辅导，以便他们能够跟上教学进度。此外，为了提高学生的实际应用能力，我计划在未来的教学中增加更多与实际生活相关的案例，让学生能够将理论知识与实际情境相结合。

针对存在的问题和不足，我提出了以下改进措施和建议：

-在讲解复合函数单调性时，增加直观示例和图示，帮助学生形成直观印象。

-优化课堂时间分配，确保小组讨论等环节能够充分进行。

-设计更具针对性的练习题，关注学生的个别需求，提供个别辅导。

-结合实际生活案例，提高学生将理论知识应用于实际问题的能力。课后作业1.已知函数f(x)=2x+1和g(x)=x^2-3x+2，判断复合函数h(x)=f(g(x))在区间[-1,2]上的单调性，并给出证明。

答案：首先，我们需要分析f(x)和g(x)的单调性。函数f(x)=2x+1在实数域上单调递增。函数g(x)=x^2-3x+2的导数为g'(x)=2x-3，令g'(x)=0，解得x=1.5。当x<1.5时，g'(x)<0，g(x)单调递减；当x>1.5时，g'(x)>0，g(x)单调递增。因此，g(x)在区间[-1,1.5]上单调递减，在区间[1.5,2]上单调递增。

2.已知函数f(x)=x^3和g(x)=3x+1，判断复合函数h(x)=f(g(x))在区间[-2,1]上的单调性，并给出证明。

答案：首先，我们需要分析f(x)和g(x)的单调性。函数f(x)=x^3在实数域上单调递增。函数g(x)=3x+1在实数域上单调递增。因此，根据复合函数单调性的判定定理，复合函数h(x)=