期中压轴题专练：解答题压轴题训练（二）（解析版）-人教八下期中考试

八下期中考试解答题压轴题训练（二）（时间：60分钟总分：100）班级姓名得分一、解答题1．如图1，在中，，．点D在边AB上，，且，CE交边AB于点F，连接BE．（1）若，，求线段AD的长；（2）如图2，若，求的度数；（3）若，写出线段AC，CD，BE长度之间的等量关系，并说明理由．【答案】（1）；（2）∠ABE=45°；（3），证明见解析．【分析】（1）作CM⊥AB，根据勾股定理和等腰三角形三线合一可得AM和DM，再根据线段的和差即可求得；（2）过点C作CM⊥AB于点M，EN⊥AB于点N，证明△CDM≌△DEN，根据全等三角形对应边相等和等量代换只需证明BN=EN即可得出∠ABE=45°；（3）利用勾股定理和等式之间的关系即可得出结论．【详解】解：（1）如下图，过点C作CM⊥AB，∵，，∴，∵CM⊥AB，∴，∵,∴，∴；（2）如下图，过点C作CM⊥AB于点M，EN⊥AB于点N，∴∠CMD=∠DNE=90°，∴∠MCD+∠MDC=90°，又∵，∴∠MDC+∠NDE=90°，∴∠MCD=∠NDE，在△CDM和△DEN中，，∴△CDM≌△DEN（AAS），∴，∴，∴△BNE为等腰直角三角形，∴∠ABE=45°，（3）由（2）可知，，∴，又∵，∴，在Rt△ACM中，，∴，在Rt△CDM中，，∴，∴，故线段AC，CD，BE长度之间等量关系为：．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定．正确作出辅助线构造直角三角形或者全等三角形是解题关键．2．如图1，在矩形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，连接CE．（1）若BE＝4，CE＝，求AD的长；（2）如图2，点F是BC上一点，且EF＝EC，过点C作CG⊥EF于点G，交BE于点H，求证：BH＝DE；（3）如图3，在（2）的条件下，连接DG，当BE＝BC时，请直接写出的值．【答案】（1）5；（2）见解析；（3）【分析】（1）根据题意可先证得△ABE为等腰直角三角形，从而求出AB，AE，然后在△CED中运用勾股定理求出ED的长度，最终得到AD的长度；（2）作HR⊥BC于点R，ET⊥BC于点T，首先证明CE=CH，再证明△CRH≌△ETC，推出HR=CT=DE，从而得出结论；（3）在（2）的基础之上，作GM⊥AD于M点，GN⊥CD于N点，设AB=AE=m，则BE=BC=m，推出DE=AD-AE=m-m，BH=DE=2m-m，再求出DG即可得出结论．【详解】（1）∵在矩形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，∴∠ABE=45°，△ABE为等腰直角三角形，则，即：，由矩形性质可得：，在Rt△CED中，，∴AD=AE+ED=4+1=5；（2）如图所示，作HR⊥BC于点R，ET⊥BC于点T，由题意可得四边形ABTE为正方形，∴∠EBT=∠BET=45°，∵EF=EC，ET⊥FC，∴FT=TC，∠FET=∠CET，∠EFC=∠ECF，∵CG⊥EF，∴∠CGF=∠ETC=90°，∴∠CFG+∠FCG=90°，∠CET+∠ECT=90°，∴∠GCF=∠CET，∵∠CEH=∠CET+∠BET=45°+∠CET，∠CHB=∠CBH+∠HCB=45°+∠HCB，∴∠CEH=∠CHE，∴CE=CH，∵HR⊥BC，∴∠CRH=∠ETC=90°，在△CRH和△ETC中，∴△CRH≌△ETC（AAS），∴HR=CT，由题意可知，△BRH为等腰直角三角形，四边形ETCD为矩形，∴HR=CT=DE，∴；（3）如图所示，在（2）的条件下，作GM⊥AD于M点，GN⊥CD于N点，设AB=AE=m，则BE=BC=m，∴DE=AD-AE=m-m，∴BH=DE=2m-m，当BE=BC时，∠CEH=∠BCE=（180°-∠EBC）÷2=67.5°，由（2）可知，∠CEH=∠CHE=∠BCE=45°+∠BCH=67.5°，∴∠BCH=22.5°，∠ECH=45°，∵CG⊥EG，∴GC=GE，∵∠MGN=∠EGC=90°，∴∠MGE=∠NGC，在△GME和△GNC中，∴△GME≌△GNC（AAS），∴GM=GN，∵GM⊥AD，GN⊥CD，∴GD平分∠ADC，∴∠CDG=45°，结合（1）可得∠DCH=67.5°，∴∠CGD=180°-45°-67.5°=67.5°，∴DG=DC=m，∴．【点睛】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质等知识点，正确构造辅助线证明三角形全等是解题关键．3．(1)观察下列各式的特点：，，，，…根据以上规律可知：_____(填“＞”“＜”或“＝”)．(2)观察下列式子的化简过程：，，，…根据观察，请写出式子(n≥2)的化简过程．(3)根据上面(1)(2)得出的规律计算下面的算式：.【答案】(1)＞；(2)；(3)．【分析】（1）根据题目所给的例题大小关系可直接得到答案；（2）把分子分母同时乘以，然后化简即可得答案；（3）根据（2）中的规律可得，，…，分别把绝对值里面的式子化简计算即可.【详解】(1)根据题意可得＞，故答案为＞．(2)；(3)原式＝|(﹣1)﹣(﹣)|+|(﹣)﹣(﹣)|+|(﹣)﹣(﹣)|+…+|(﹣)﹣(﹣)|＝(﹣1)﹣(﹣)+(﹣)﹣(﹣)+(﹣)﹣(﹣)+…+(﹣)﹣(﹣)＝(﹣1)﹣(﹣)＝﹣1﹣+10＝﹣+9．【点睛】本题主要考查了分母有理化，关键是认真观察题目所给的例题，找出其中的规律，然后应用规律进行计算.4．如图1，在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点D是线段AC上一点，连接BD过点C作CE⊥BD于点E，点F是AB垂直平分线上一点，连接BF、EF，BF与EC交于点G．（1）当F在AC边上时，①求证：△ADB≌△BGC．②若AD＝2，AB＝6，求BE的长．（2）如图2，若∠BDC＝75°，当∠AFB＝30°时，求（）2的值．【答案】（1）①见解析；②；（2）．【分析】（1）①由“SAS”可证△ABD≌△CBE；②由全等三角形的性质可求AD＝BG＝2，BD＝CG，由勾股定理可求EG，BE的长；（2）延长BD交AF于N，作EH⊥BF于H，连接NG，设BE＝a，则BN＝2a，CE＝，EH＝＝HG，NG＝BG＝，利用参数a表示出EF2，CE2，即可求解．【详解】证明：（1）①∵CE⊥BD，∴∠ABC＝∠BEC＝90°，∴∠ABD+∠DBC＝90°，∠DBC+∠BCE＝90°，∴∠ABD＝∠BCE，∵∠ABC＝90°，AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA＝45°，∵点F是AB垂直平分线上一点，∴AF＝BF，∴∠ABF＝∠BAF＝∠FBC＝45°，在△ABD和△CBE中，，∴△ABD≌△CBE（SAS）；（2）∵△ABD≌△CBE，∴AD＝BG＝2，BD＝CG，∵BC＝AB＝，∠ABC＝90°，CE⊥BD，∴AF＝BF＝CF＝6，∴DF＝AF﹣AD＝4，∴BD＝＝＝，∴CG＝BD＝，∵BE2+CE2＝BC2，BE2+EG2＝BG2，∴72﹣（+EG）2＝4﹣EG2，∴EG＝，∴BE＝＝；（3）如图2，延长BD交AF于N，作EH⊥BF于H，连接NG，∵∠AFB＝30°，点F是AB垂直平分线上一点，∴∠BAF＝∠ABF＝75°，∵∠BDC＝75°＝∠ADN，∠DAN＝∠BAF﹣∠BAC＝30°，∴∠ANB＝75°＝∠BAF，∴AB＝NB，∠ABN＝180°﹣2×75°＝30°，∴∠NBF＝∠ANB﹣∠AFB＝45°，∠NBC＝60°，又∵CE⊥BE，∴BE＝BC＝BN＝EN，∴GE垂直平分BN，∴BG＝GN，∴∠BNG＝∠NBG＝45°，∴NG⊥BF，设BE＝a，则BN＝2a，CE＝，EH＝＝HG，NG＝BG＝a，∵∠NFG＝30°，∴GF＝GN＝，∴HF＝+，∴EF2＝EH2+HF2＝（）2+（+）2＝（7+）a2，∴＝．【点睛】本题考查三角形的综合题，涉及到全等三角形的判定和性质、勾股定理的应用、等腰直角三角形的性质等知识点，综合性较强，难度较大，利用参数表示出线段的长度是解本题的关键．5．等腰Rt△ABC，CA＝CB，D在AB上，CD＝CE，CD⊥CE．（1）如图1，连接BE，探究线段AD与线段BE的关系并证明；（2）如图2，连接AE，CF⊥AE交AB于F，T为垂足，①求证：FD＝FB；②如图3，若AE交BC于N，O为AB中点，连接OC，交AN于M，连FM、FN，当S△FMN＝5，则OF2+BF2的最小值为．【答案】（1）AD⊥BE，AD＝BE，证明见解析；（2）①证明见解析，②20【分析】（1）利用SAS证明△ACD≌△BCE，从而利用全等三角形的性质即可得出结论；（2）①过点D作DH⊥CF于H，过点B作BG⊥CF，交CF的延长线于G，首先证明△ACT≌△BCG及△DCH≌△ECT，得到CT＝BG，CT＝DH，通过等量代换得出DH＝BG，再证明△DHF≌△BGF，则可证明结论；②首先利用等腰三角形的性质和ASA证明△AOM≌△COF，则有OM＝OF，然后利用等腰直角三角形的性质得出FK＝BF，然后利用三角形的面积得出OF×BF＝10，最后利用平方的非负性和完全平方公式求解即可．【详解】证明：（1）AD⊥BE，AD＝BE，理由如下：∵CD⊥CE，∴∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠A＝∠CBE＝45°，AD＝BE，∴∠CBE+∠ABC＝90°＝∠ABE，∴AD⊥BE；（2）①如图2，过点D作DH⊥CF于H，过点B作BG⊥CF，交CF的延长线于G，∵CF⊥AE，∴∠ACT+∠CAT＝90°，又∵∠ACT+∠BCG＝90°，∴∠CAT＝∠BCG，在△ACT和△BCG中，，∴△ACT≌△BCG（ASA），∴CT＝BG，同理可证△DCH≌△ECT，∴CT＝DH，∴DH＝BG，在△DHF和△BGF中，，∴△DHF≌△BGF（AAS），∴DF＝BF；②如图3，过点F作FK⊥BC于K，∵等腰Rt△ABC，CA＝CB，点O是AB的中点，∴AO＝CO＝BO，CO⊥AB，∠ABC＝45°，∴∠OCF+∠OFC＝90°，∵AT⊥CF，∴∠OFC+∠FAT＝90°，∴∠FAT＝∠OCF，在△AOM和△COF中，，∴△AOM≌△COF（ASA），∴OM＝OF，又∵CO⊥AO，∴MF＝OF，∠OFM＝∠OMF＝45°，∴∠OFM＝∠ABC，∴MFBC，∵∠ABC＝45°，FK⊥BC，∴∠ABC＝∠BFK＝45°，∴FK＝BK，∴FK＝BF，∵S△FMN＝5，∴×MF×FK＝5，∴OF×BF＝10，∴OF×BF＝10，∵（BF﹣OF）2≥0，∴BF2+OF2﹣2BF×OF≥0，∴BF2+OF2≥2×10＝20，∴BF2+OF2的最小值为20，故答案为：20．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定及性质，掌握等腰三角形的性质和全等三角形的判定方法及性质是解题的关键．6．先阅读，再解答:由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：，请完成下列问题：(1)的有理化因式是_______；(2)化去式子分母中的根号：_____．（直接写结果）(3)（填或）(4)利用你发现的规律计算下列式子的值：【答案】（1）+1；（2）；（3）<；（4）2017.【分析】（1）根据有理化因式的定义求解；

（2）利用分母有理化计算；

（3）通过比较它们的倒数大小进行判断，利用分母有理化得到；，然后进行大小比较；

（4）先根据规律化简第一个括号中的式子，再利用平方差公式计算即可．【详解】解：（1）-1的有理化因式是+1；（2）；（3），，∵∴>∴<；（4）原式===2018-1=2017．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．7．已知，△ABC和△DCE都是等边三角形，点B，C，E三点不在一条直线上（如图1）．（1）求证：BD＝AE；（2）若∠ADC＝30°，AD＝4，CD＝5，求BD的长；（3）若点B，C，E三点在一条直线上（如图2），且△ABC和△DCE的边长分别为3和5，求AD的长．【答案】（1）见详解；（2）；（3）．【分析】（1）只要证明△BCD≌△ACE，即可得到结论成立；（2）由题意，先证明∠ADE=90°，利用勾股定理求出AE的长度，即可得到答案；（3）过A作AF⊥CD于F，先根据平角的定义得∠ACD=60°，然后求出AF和CF的长度，再利用勾股定理，即可求出答案．【详解】解：（1）∵△ABC和△DCE都是等边三角形，∴BC=AC，CD=CE，∠BCA=∠DCE=60°，∴∠BCD=∠ACE∴△BCD≌△ACE（SAS），∴BD＝AE；（2）∵∠ADC＝30°，∠CDE=60°，∴∠ADE=30°+60°=90°，∵AD＝4，DE=CD＝5，在直角△ADE中，由勾股定理得，∴；（3）过A作AF⊥CD于F，如图：∵∠ACB=60°，∠DCE=60°，∴∠ACD=60°，∵∠AFC=∠AFD=90°，∴∠CAF=30°，∵AC=3，CD=5，∴，∴，∴，由勾股定理，则．【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，含30度直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的求出所需边的长度．8．在四边形中，，．（1）P为边上一点，如图，将沿直线翻折至的位置（点B落在点E处）①当点E落在边上时，利用尺规作图，作出满足条件的图形，并直接写出此时_________；②若点P为边的中点，连接，则与有何位置关系？请说明理由；（2）点Q为射线上的一个动点，将沿翻折，点D恰好落在直线上的点处，求的长．【答案】（1）①6，画图见详解；②EC∥PA，理由见详解；（2）BQ=10【分析】（1）①如图1中，以A为圆心AB为半径画弧交CD于E，作∠EAB的平分线交BC于点P，根据勾股定理可得DE；②如图2中，结论：EC∥PA．只要证明PA⊥BE，EC⊥BE即可解决问题；（2）分两种情形：①如图3−1中，当点Q在线段CD上时，②如图3−2中，当点Q在线段DC的延长线上时，分别求解即可解决问题．【详解】解：（1）①如图1中，以A为圆心AB为半径画弧交CD于E，作∠EAB的平分线交BC于点P．在Rt△ADE中，∵∠D＝90°，AE＝AB＝10，AD＝8，∴DE＝=＝6，故答案为6．②如图2中，结论：EC∥PA．理由：由翻折不变性可知：AE＝AB，PE＝PB，∴