安徽省芜湖市2023-2024学年高一下学期开学考试数学试题

高一数学满分：150分考试时间：120分钟注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区.2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整、笔迹清晰.3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效.4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知命题：，，则该命题的真假以及否定分别为（）A.真命题，该命题的否定：，B.假命题，该命题的否定：，C.假命题，该命题的否定：，D.真命题，该命题的否定：，【答案】D【解析】【分析】举例判断命题真假，再利用存在量词命题的否定判断即得.【详解】取，，因此原命题是真命题，排除BC；命题：，的否定为：，，排除A，D正确.故选：D2.若集合，，则满足的实数a的个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】利用，知，求出值，根据集合元素的互异性舍去不合题意的值，可得答案．【详解】因为，所以，即或者，解之可得或或，当时，，符合题意；当时，，符合题意；当时，，根据集合元素互异性可判断不成立。所以实数a的个数为2个.故选：B3.已知函数，则“函数的图象关于原点对称”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】由的图象关于原点对称，可求得，再利用充分必要条件的概念判断即可.【详解】的图象关于原点对称，∴fx为奇函数，因为为的真子集，“函数的图象关于原点对称”是“”的必要不充分条件.故选：B.4.青少年视力问题是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足关系式：，已知小明和小李视力的五分记录法的数据分别为4.3和a，记小明和小李视力的小数记录法的数据分别为，，则，则a的值可以是（）（参考数据：，）A.4.7 B.4.5 C.4.8 D.5.0【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，建立方程，结合对数运算及对数函数单调性求解即得.【详解】依题意，，则，即由，得，因此，解得，所以a的值可以是.故选：A5.已知实数m，n，p满足，且，则下列说法正确的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意,将所给等式变形,得到,推导出,然后利用作差法比较大小,结合二次函数的性质证出,从而得出正确结论.【详解】因为,移项得,所以,可得,由,得,可得,可得.综上所述,不等式成立,故选:B.6.若函数存在两个不同的零点，则实数m的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据给定的条件，探讨函数在与的性质，再利用函数零点的情况列出不等式求解即可.【详解】在上，与都单调递减，函数在上单调递减，函数值集合为；在上，与都单调递增，函数在上单调递增，函数值集合，由函数有两个零点，得，解得，所以实数m的取值范围为.故选：C7.已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知结合对数的运算性质及对数函数的单调性即可比较a,b,c的大小.【详解】因为,,又,所以.故选：C.8.（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，利用诱导公式、二倍角公式及齐次式法求值化简即得.【详解】.故选：A二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列函数中，既是偶函数，又在上单调递减的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】利用函数的奇偶性和单调性的定义和性质分别判断四个选项即可得出答案.【详解】对于A，因为的定义域为，而，所以为奇函数，故A错误；对于B，的定义域为，，所以为偶函数，由余弦函数的图象可知在0,4上单调递减，故B正确；对于C，定义域为，，所以为偶函数，又因为在0,4上单调递增，当，则在0,4上单调递增，所以在0,4上单调递增，故C错误；对于D，的定义域为，，所以为偶函数，的开口向下，对称轴为，所以在0,4上单调递减，故D正确.故选：BD.10.已知函数，则下列说法正确的是（）A.函数的定义域为B.函数的周期与函数的周期相同C.函数图象的对称中心为D.函数的单调递增区间为【答案】AD【解析】【分析】利用正切函数的性质逐一求解即可.【详解】对于A，令,则,函数的定义域为，A正确;对于B，函数的周期与的周期相同,为的周期，即函数的周期与函数的周期不相同，错误；对于C，令则,函数图象的对称中心为，C错误;对于D，令,则,函数的单调递增区间为，D正确.故选：AD.11.已知正数a，b满足，则下列说法正确的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】由已知条件结合基本不等式及相关结论检验选项A,C,D，举出反例检验选项B，即可判断.【详解】对于A，因为，故，当且仅当,即时等号成立，故A正确;对于B，当时,，显然错误;对于C，因为，当且仅当时等号成立，故C正确;对于D，由可得,即,所以当且仅当，即时等号成立，故D正确.故选：ACD.12.已知函数，则下列说法正确的是（）A.，B.，，C.若恰有2个零点，则D.若存在互不相等的实数，使得，则的最大值为25【答案】BD【解析】【分析】由时函数值域判断AB；探讨函数的性质，结合直线与函数的图象交点情况判断CD.【详解】对于A，函数的值域为R，A错误；对于B，当时，，函数在上单调递增，当时，，因此，，，B正确；对于C，函数在上单调递减，函数值集合为，在上单调递增，函数值集合为，在上单调递增，函数值集合为R，则当直线与函数的图象有两个交点时，或，C错误；对于D，由选项C知，当直线与函数的图象有3个交点时，，此时存在互不相等的实数，使得，不妨令，则，，所以的最大值为25，D正确.故选：BD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点，则=______．【答案】【解析】【分析】根据角的终边经过点的三角函数值计算正切值，再用两角和的正切公式求解即可.【详解】依题意,所以.故答案为：.14.=______．【答案】【解析】【分析】根据分数指数幂、根数及对数的运算性质计算即可.【详解】.故答案为：.15.函数在上的值域为______．【答案】【解析】【分析】运用二倍角公式，将原式化为关于的二次函数，然后利用换元法转化为求二次函数值域.【详解】令,则原式化为当时,时,;时,,所以原函数的值域为,故答案为:.16.已知函数在上单调递减，则实数ω的取值范围为______．【答案】.【解析】【分析】根据题意，利用三角函数性质，求得的递减区间为，结合题意，列出不等式组，求得，进而求得实数的取值范围.【详解】因为函数，令，可得，即函数的单调递减区间为，又因为函数在区间上单调递减，可得，解得，又由，可得，即且，所以，令，可得，即实数的取值范围为.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求正切值，然后化简式子，在进行齐次化求解即可；（2）先用二倍角公式展开，然后进行齐次化求解.【小问1详解】因为,所以,所以;【小问2详解】.18.某大学毕业生团队主动创业，计划销售轻食，每个月的店租和水电等成本为2万元，且每销售1份轻食，成本为5元.已知该团队轻食的月销售量为万份，该团队每个月保底能够销售5000份轻食，且当时，月销售收入为万元；当时，月销售收入为万元.（1）求该团队的月销售利润（万元）与月销售量为x（万份）之间的函数解析式；（2）当月销售量为何值时，该团队的月销售利润最小？最小利润为多少万元？【答案】（1）（2）当月销售量为万份时，该团队的月销售利润最小，为万元.【解析】【分析】（1）依题意，由月销售利润=月销售收入－店租和水电成本－轻食成本，直接写出解析式，化简即可；（2）由（1）中求得的解析式，分别利用函数的单调性和基本不等式，求得两个式子的最大值，然后作比较，再取较大的值即可.【小问1详解】由题意，当时，，当时，.∴；【小问2详解】当时，，当且仅当，即时取等，当时，，因此，当月销售量为万份时，该团队的月销售利润最小，为万元.19.已知全集，集合，．（1）求图中阴影部分表示的集合；（2）若集合，若，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）计算出集合，然后计算阴影部分表示的集合即可；（2）由（1）得，根据，分和两种情况讨论即可.【小问1详解】由题意，集合，集合或.且所以阴影部分表示的集合为.【小问2详解】由（1）可知，，当时，，解得，当时，或，解得，综上所述，实数的取值范围为.20.已知函数.（1）若函数在和上各有1个零点，求实数m的取值范围；（2）若，恒成立，求实数m的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用一元二次方程实根分布规律列出不等式组求解即得.（2）利用恒成立分离参数，借助基本不等式求解即得.【小问1详解】由函数在和上各有1个零点，得，即，解得，所以实数m的取值范围是.【小问2详解】，，当时，成立，则；当时，，而，当且仅当时取等号，因此，解得，所以实数m的取值范围是.21.已知函数的部分图象如下图所示，其中，．（1）求函数在上的值域；（2）将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位，得到函数的图象．若，求在上的单调递增区间．【答案】（1）；（2），.【解析】【分析】（1）根据给定的函数图象求出的解析式，再结合正弦函数性质求出值域.（2）利用函数图象变换求出，再利用三角恒等变换化简，利用正弦函数的性质求出单调递增区间.【小问1详解】由，得，而，解得或，由给定图象知，点在函数上升段的图象内，于是，函数的周期，由图象知且，解得，由，得，解得，因此，，当时，，于是，，所以函数在上的值域是.【小问2详解】由（1）知，将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得的图象，因此，，当时，，由或，解得或，所以在上的单调递增区间是，.22.已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，（1）求实数a的值以及函数的解析式；（2）若关于x的不等式在上恒成立，求实数m的取值范围．【答案】（1）；