1.2.2等差数列与一次函数（2知识点5题型强化训练）

1.2.2等差数列与一次函数课程标准学习目标（1）体会等差数列与一元一次函数的关系。（1）理解等差数列与一次函数的关系;（2）掌握等差数列性质的运用。（难点)知识点01等差数列与一次函数的关系（1）对于一般地等差数列{an}，其通项公式为an=a1当d≠0时，是一次函数(其中一次项系数为等差数列的公差d)当d=0时，y这说明，当用直角坐标系中的点来变式等差数列是，所有的一定在一条直线上，且等差数列的图象由该直线上横坐标为正整数n的孤立点组成。（2）当d>0时，直线y=dx当d<0时，直线y=dx当d=0时，y=【即学即练1】数列an=解析数列an=4知识点02等差数列的性质若数列{an}是首项为a1，公差为它具有以下性质：1证明由等差数列通项公式可得an=a两式相减可得an-a意义求等差数列任一项ak或通项公式an，不一定要求a1，可利用任一项（非例若等差数列{an}中，a3=4，解a62d=证明由性质an=a意义利用等差数列任意两项可求公差.例若等差数列{an}中，a3=4，a解d=a(3)若m+n=s+t,则am证明由等差数列通项公式可得amas∵m+n=s+t,∴2a即am意义下标和相等，其对应项的和相等.例a2+a8=【即学即练2】在等差数列an中，a4+a8=20，A．4 B．5 C．6 D．8【答案】D【分析】利用等差数列下标和的性质直接计算可得结果.【详解】根据等差数列下标和的性质可得a4又a7=12，所以故选：D．【题型一：等差数列通项公式与一次函数的关系】例1．已知等差数列的通项公式为an(1)求首项a1和公差d；(2)画出数列a【答案】(1)a1=5，(2)图象见解析；(3)单调递减.【分析】（1）利用给定的通项公式计算即得.（2）在直角坐标系内作出数列的图象.（3）利用数列单调性定义判断单调性即得.【详解】（1）等差数列的通项公式为an=-2n+7，所以首项公差d=a（2）数列an变式11．下列数列中等差数列的是（

）A．an=3n+1 B．an=3n【答案】A【分析】利用等差数列的定义判断.【详解】对于A，an+1对于B，an+1对于C，an+1对于D，an+1故选：A变式12．若数列an的通项公式an=3-2nA．是公差为2的等差数列 B．是公差为2的等差数列C．是公差为3的等差数列 D．是首项为3的等差数列【答案】A【分析】根据等差数列的定义即可求解.【详解】解：∵aa∴an是公差为-2，首项为故选：A.【方法技巧与总结】1等差数列的通项公式为an=2判断等差数列，可证明其通项公式为an=kn【题型二：等差数列的单调性】例2．已知2,-1，4,-7是等差数列an(1)求数列an(2)画出数列an的图象(3)判断数列的单调性．【答案】(1)a(2)答案见解析(3)为递减数列．【分析】（1）根据已知的两点，列出关于数列基本量的方程组，解出首项a1、公差d（2）函数图像是在解析式对应直线方程上的离散的点，再坐标系中描出这些点；（3）直接根据公差的正负判断数列的单调性.【详解】（1）设等差数列an的首项为a1，公差为因为2,-1，4,-7是等差数列an所以a2=-1，a4=-7，即因此，an（2）等差数列an的图象是均匀分布在直线y=-3x+5

（3）因为公差d=-3<0，所以等差数列an变式21．已知等差数列an的公差为d，则“d>0”是“数列an为单调递增数列”的（A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】利用等差数列的定义和数列单调性的定义判断可得出结论.【详解】若d>0，则an+1-an=d>0即“d>0”⇒“数列an为单调递增数列”若等差数列an为单调递增数列，则d=即“d>0”⇐“数列an为单调递增数列因此，“d>0”是“数列an为单调递增数列”的充分必要条件故选：C.变式22．已知点1,5，2,3是等差数列an图象上的两点，则数列an为（A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．无法确定【答案】B【分析】利用等差数列的图象所在直线的斜率判断.【详解】等差数列an的图象所在直线的斜率k=则直线呈下降趋势，故数列an单调递减故选：B.变式23．设an=2n-9，则当数列{an}的前n项和取得最小值时，n的值为（A．4 B．5C．4或5 D．5或6【答案】A【分析】结合等差数列的性质得到an≤0【详解】由an≤0an+1≥0，即2n-9≤02n+1-9≥0故选：A.变式24．写出同时满足下面两个条件的数列an的一个通项公式an①an是递增的等差数列；②a【答案】n-1（答案不唯一）【分析】设等差数列an的公差为d，列举满足d>0，a3=2即可得到【详解】设等差数列an的公差为d，由①可知d>0，取d=1由a1-a3+2所以数列an的一个通项公式a故答案为：n-1（答案不唯一）变式25．数列{an}是等差数列，a5=6a12>0，数列{bn}满足bn=an+1A．9 B．10 C．11 D．12【答案】D【解析】由a5=6a12>0，得到首项和公差的关系以及公差的范围，然后求得通项公式，判断【详解】设数列{an}因为a5所以a1+4d=6a因为a5所以d<0，所以an当1≤n≤13时，an>0，当n≥14时，所以b1又因为b11所以S12>S10，故Sn故选：D【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式以及数列前n项和的最值问题，还考查逻辑推理的能力，属于中档题.【方法技巧与总结】在等差数列中，当公差d>0时数列递增，当公差d<0时数列递减.【题型三：等差数列性质an例3．在等差数列an中，a6=3，则aA．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】根据等差数列的性质即可求解.【详解】因为a6=3，令an则a5故选：D．变式31．已知在等差数列an中，a2=7,a6A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】根据等差数列的定义，代入计算求解即可.【详解】设等差数列an的公差为d因为a2=7,a6=23所以a1故选：A.变式32．等差数列an中，2a3+5aA．5 B．10 C．14 D．35【答案】B【分析】利用等差数列的通项公式求解.【详解】解：2a3+5a10故选：B变式33．已知数列an为等差数列，a4+a5A．16 B．19 C．25 D．29【答案】A【分析】根据等差数列的通项公式及性质，进行计算即可.【详解】因为a4所以a7所以a10故选：A.【方法技巧与总结】等差数列性质an=am+(n-m)d告诉我们【题型四：等差数列性质d=a例4．已知数列an为等差数列，a4=5,a8A．2 B．6 C．1 D．14【答案】B【分析】利用等差数列的通项公式的变形即可得解.【详解】根据题意，因为等差数列an中，a所以公差d=a故选：B．变式41．在等差数列an中，若a5=5,a7A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】利用等差数列的通项公式和性质可得答案.【详解】d=a故选：B.变式42．已知数列{1an}是等差数列，d为其公差，a3=1【答案】-1【详解】∵a3=14，a∵1an∴1a2变式43．在等差数列an中，已知a2，a5(1)求a2，a(2)求an【答案】(1)a2=5，a5=14(2)an=3n-1【分析】（1）求出方程的根即可.（2）由（1）可解出等差数列的公差即可.【详解】（1）因为x2-19x+70=0，所以x=5或所以a2=5，a5=14；或（2）设公差为d，若a2=5，a5所以通项公式为an若a2=14，a5所以通项公式为an故an的通项公式：an=3n-1【方法技巧与总结】等差数列性质d=an【题型五：等差数列性质的综合运用】例5．已知等差数列an为递增数列，且满足a3+a7A．an=6n-10 BC．an=2n+7 D【答案】B【分析】根据给定条件，利用等差数列性质求出a4，a6【详解】由数列an为递增等差数列，则a3+又因为a4·a6=280所以数列an的公差d=a6所以数列an的通项公式为an=a故选：B.变式51．在等差数列an中，若a3+a4A．16 B．17 C．18 D．19【答案】C【分析】根据等差数列的性质可知，项数之和相等的两项之和相等，化简已知的等式即可求出的值，然后把所求的式子也利用等差数列的性质化简后，将a5【详解】由题意a3+a所以a2+a8故选：C.变式52．已知等差数列an满足a1=8，a8=6A．17 B．27 C．0 D【答案】C【分析】根据条件先求解出等差数列的通项公式，然后根据下标和性质化简N，最后结合绝对值的取值特点求解出N的最小值.【详解】设等差数列的公差为d，所以d=a所以an又因为an所以an所以N=7当n=26时，显然此时N有最小值为0，故选：C.变式53．已知数列an满足：a1:a2:a3=4:3:2，且A．-24 B．-6 C．-92 D【答案】C【分析】根据比值关系用a1表示出a2,a3，根据递推关系列方程组可得【详解】因为a1:a由题知，pa2-qa1=2pa所以an-an-1因为a3=a因为a4=12，所以12所以a1=1-4所以a6故选：C.变式54．已知公差不为0的等差数列an满足am+apA．9 B．32 C．54 D【答案】B【分析】先通过等差数列的性质得到m+p=6，再利用基本不等式中1的妙用来求解最值即可.【详解】根据等差数列性质可得m+p=6，则16∴4当且仅当4p2=m2，即p=2,m=4时，取故选：B.变式55．已知正项等差数列an，若a22+a92A．1 B．2C．n D．2n-1【答案】C【分析】结合已知条件，利用等差数列的性质求出a2和a9，进而求出公差d【详解】在等差数列an中，依题意，a故a2解得，a2故a2和a9是x2-11x+18=0的两根，解得，因为an为正项等差数列，故公差d≥0从而a2=2，a9=9，则所以an故选：C.【方法技巧与总结】1在等差数列中，若m+n=s+t,则am2在等差数列的基本量计算中，可采取列方程组或利用等差数列的性质进行求解；若要利用性质，则需要多观察下标之间的关系.一、单选题1．对于数列an，“an=kn+b”是“数列an为等差数列A．充分非必要条件； B．必要非充分条件；C．充要条件； D．既非充分又非必要条件.【答案】C【分析】由等差数列的定义、通项公式以及充要条件的定义即可求解.【详解】解：若数列an的通项公式为an=kn+b，则an+1-an若数列an为等差数列，设首项为a1，公差为d，则通项公式为令d=k,a1-d=b，则数列an的通项公式可写为an所以对于数列an，“an=kn+b”是“数列an故选：C.2.数列an的通项公式为an＝5－3n，则此数列（

A．是公差为－3的等差数列 B．是公差为5的等差数列C．是首项为5的等差数列 D．是公差为n的等差数列【答案】A【分析】通过计算an+1【详解】解：因为an+1所以数列{an}是以-3为公差的等差数列故选：A.3.首项为﹣21的等差数列从第8项起开始为正数，则公差d的取值范围是（

）A．d>3 B．d<72 C．3≤d<72 D【答案】D【分析】根据从第8项起开始为正数，可得a7≤0，a8＞0，利用“a1,d”【详解】an＝﹣21+（n﹣1）d．∵从第8项起开始为正数，∴a7＝﹣21+6d≤0，a8＝﹣21+7d＞0，解得3＜d≤7故选：D．【点睛】本题主要考查等差数列的单调性及通项公式，还考查了分析求解问题的能力，属于基础题.4.已知数列an为等差数列，且a1+a5A．3 B．-33 C．-3【答案】C【分析】由题知a5=4π【详解】解：因为数列an为等差数列，且所以a1+a所以tan(a故选：C5.在等差数列an中，若a1+a2+aA．30 B．35 C．40 D．45【答案】C【解析】利用等差数列性质，若m+n＝p【详解】因为a1+a同理a11+a∴3a2∴故选：C．【点睛】本题考查等差数列性质与等差中项公式.（1）如果an为等差数列，若m+n＝p（2）an为等差数列，则有a6.已知等差数列an的前n项积为Tn，若a1+a9=A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】由等差中项的性质和公差的定义求出d=17，再求出通项，然后求出当an≥1【详解】设等差数列an的公差为d由a1+a则d=a所以an当an≥1时，解得因此当1≤n≤7时，an因此T7=a1a故选：C．7.已知等差数列an满足a1a3+A．52 B．5 C．5或－5 D．52【答案】C【分析】根据式子a1a【详解】由题a1a3+a故选：C.8.设an是公差不为0的无穷等差数列，则“an为递增数列”是“存在正整数N0，当n>N0时，A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】设等差数列an的公差为d，则d≠0，利用等差数列的通项公式结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论【详解】设等差数列an的公差为d，则d≠0，记x为不超过x的最大整数若an为单调递增数列，则d>0若a1≥0，则当n≥2时，an>a由an=a1+n-1d>0可得n>1-所以，“an是递增数列”⇒“存在正整数N0，当n>N0若存在正整数N0，当n>N0时，an>0，取k∈假设d<0，令an=ak+当n>k-ak则d>0，即数列an是递增数列所以，“an是递增数列”⇐“存在正整数N0，当n>N所以，“an是递增数列”是“存在正整数N0，当n>N0时，故选：C.二、多选题9．已知数列an的通项公式为an=a+bn（a，bA．若a2>B．若a2>C．若a3>D．若a2>【答案】ABC【分析】根据等差数列的通项性质可判断an是等差数列，根据等差数列的单调性即可逐一判断【详解】由an=a+bn,知an+1=a+bn+1由等差数列的单调性可得，若a2>a1，则公差d>0，所以数列an若a3>a1，则a3-a1=2d>0，所以数列an是递增数列，所以故选：ABC．10.若数列an是等差数列，公差d>0，则下列对数列bn的判断正确的是（A．若bn=-aB．若bn=aC．若bn=an+D．若bn=an+n【答案】AD【分析】写出an的通项公式，结合各项写出bn【详解】由an=aA：由bn=-aB：由bn=an2=[dn+(C：由bn=an+D：由bn=an+n=(d+1)n+(a故选：AD11.已知等差数列an为递减数列，且a3=1，aA．数列an的公差为-12C．数列a1an是公差为-1的等差数列【答案】ABC【分析】A选项，根据等差数列的性质得到a2+a4=2a3利用等差数列求通项公式求出B正确；由a1an=2an，得到当n≥2时，在C选项的基础上，求出a1a7=5-7=-2【详解】由题意知，a2+a故a2,a∵数列an∴a4=∴公差d=a4-又a1∴an=2+由上可知a1an=2a当n=1时，a1∴数列a1an是首项为4，公差为-1由C选项知：a1an∵a4∴a1a故选：ABC三、填空题12．写出一个同时具有下列性质①②的数列an的通项公式：an①am-n=am【答案】kn(k>0)（符合此种形式即可）【分析】先猜想数列是一个等差数列，进而根据性质①得到首项与公差的关系，然后根据性质②得到答案.【详解】假设数列为等差数列，设其公差为d，首项为a1，由性质①可得：a即an再根据②可知，公差d>0，显然an=kn（k>0故答案为：kn(k>0)（符合此种形式即可）13.已知a1，a2，a3，a4成等差数列，且a1，a4【答案】52/【分析】利用韦达定理求出a1+【详解】因为a1，a4为方程所以a1又a1，a2，a3所以a2故答案为：514.已知等差数列an的前n项积为Tn，a1+a9=43，【答案】7【分析】根据题意得到a5=23，计算可得a1>0,d>0，进而得出an的公差d的范围，得到an【详解】设等差数列an的公差为d，由a1+则a1=23-4d>0则an是递增数列，且a7=因此当1≤n≤7时，0<an<1，当n≥8因此T7最小，故Tn取得最小值时，故答案为：7四、解答题15．已知数列an的通项公式为a【答案】是，公差为3【分析】根据等差数列的定义，即可判断.【详解】因为an+1所以数列an是等差数列，且公差为16.已知4,19，7,10为等差数列an(1)求数列an(2)画出数列an(3)判断数列an【答案】(1)a(2)图象见解析(3)数列an【分析】（1）设an=a1+(n-1)d，根据已知的两个点列出关于a1,（2）描出n为正整数时的点，即可得到an（3）根据公差的正负判断数列的单调性.【详解】（1）设an因为(4,19)，(7,10)在等差数列an的图像上，所以a4=19即a解得a故数列an的通项公式为a（2）数列an的图象是直线y=-3x+31

（3）因为an+1-an17.已知在递增的等差数列an中，a3a(1)求a3和a(2)求an【答案】(1)a3=5(2)a【分析】（1）根据等差数列下标和性质可得a4+a5=（2）设出数列an的公差为d，所以a1+2d=5a1【详解】（1）因为a4+a5=a3+a（2）设数列an的公差为d，所以a1+2d=5a1∴an18.已知等差数列an:5,8,11⋯和等差数列bn:3,7,11…各有100项，问它们有多少个相同的项？记这些共同的项从小到大依次构成数列【答案】25个相同的项，是以12为公差的等差数列【分析】由题意首先得数列an:5,8,11⋯，bn:3,7,11的通项公式，令3n+2=4k-1【详解】易得an假设数列an的第n项与数列bn的第k项相同，即有3n+2=4k-1，所以而n∈N*,k∈N*设k=3tt∈N*由题设知，两数列各有100项，则1≤3t≤1001≤4t-1≤100，解得1又t∈N*，故两数列共有将n=4t-1代入an=3n+2(或将k=3t代入b得a4t-1=3