湖北省武汉六中2024-2025学年高一数学下学期期中试题含解析

PAGE15-湖北省武汉六中2024-2025学年高一数学下学期期中试题（含解析）一、选择题1.已知向量（2，6），（﹣1，λ），若，则λ＝（）A.3 B.﹣3 C. D.【答案】B【解析】【分析】依据题意，由向量平行的坐标表示方法可得2λ＝﹣6求解.【详解】依据题意，向量（2，6），（﹣1，λ），因为，所以2λ＝﹣6，解得：λ＝﹣3；故选：B．【点睛】本题主要考查平面对量的共线定理，还考查了运算求解的实力，属于基础题.2.已知向量,则的充要条件是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为向量,则，故其充要条件是选D3.已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋2n(n∈N*)，则a100的值是()A.9900 B.9902C.9904 D.11000【答案】B【解析】∵a1=2,an+1=an+2n，∴an+1−an=2n，∴an=(an−an−1)+(an−1−an−2)+…+(a2−a1)+a1=2(n−1)+2(n−2)+…+2×1+2=2×+2=n2−n+2.∴a100=1002−100+2=9902.故选B.4.已知数列{an}中，a1＝1，an+1，则这个数列的第n项an为（）A.2n﹣1 B.2n+1 C. D.【答案】C【解析】【分析】取倒数，推出数列{}是等差数列，然后求解数列的通项公式即可．【详解】数列{an}中，a1＝1，an+1，因为，所以数列{}是等差数列，首项为1，公差为2，所以，所以an，故选：C．【点睛】本题主要考查等差数列的定义及通项公式，还考查了运算求解的实力，属于中档题.5.已知，，且，则向量在方向上的正射影的数量为A.1 B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由与、可得出，向量在方向上的正射影的数量=【详解】向量在方向上的正射影的数量=【点睛】本题考查两向量垂直，其数量积等于0.向量在方向上的正射影的数量=.6.数列的前n项和为()A. B. C. D.【答案】D【解析】分析】先由等比数列的求和公式求得,由此利用分组求和法能求出数列的前n项和.【详解】设数列的前n项的和,

,

，故选D.【点睛】本题考查等比数列的前n项和的求法,是中档题,解题时要仔细审题,留意分组求和法的合理运用.7.若，满意，，则的前10项和为()A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，则，所以，故选B.8.若在△ABC中，2cosBsinA＝sinC，则△ABC的形态肯定是（）A.等腰直角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等边三角形【答案】C【解析】【分析】依据2cosBsinA＝sinC，由两角和与差的三角函数化简求解.【详解】∵在△ABC中，2cosBsinA＝sinC，∴2cosBsinA＝sinC＝sin（A+B），∴2cosBsinA＝sinAcosB+cosAsinB，∴sinAcosB﹣cosAsinB＝0，∴sin（A﹣B）＝0，，∴A﹣B＝0，即A＝B，∴△ABC为等腰三角形，故选：C．【点睛】本题主要考查两角和与差的三角函数，还考查了运算求解的实力，属于中档题.9.三角形ABC中，角A、B、C的对边分别是a，b，c，且a＞b＞c，a2＜b2+c2，则角A的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】因为a2＜b2+c2,所以,又因为a＞b＞c,所以A为锐角且为最大角，所以角A的取值范围是10.在△ABC中，若acos2ccos2b，那么a，b，c的关系是（）A.a+b＝c B.a+c＝2b C.b+c＝2a D.a＝b＝c【答案】B【解析】【分析】依据acos2ccos2b，利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用正弦定理化简，整理后把sin（A+C）＝sinB代入，利用正弦定理化简即可得到结果．【详解】因为acos2ccos2b，所以a（1+cosC）+c（1+cosA）＝3b，由正弦定理得：sinA（1+cosC）+sinC（1+cosA）＝3sinB，整理得：sinA+sinAcosC+sinC+cosAsinC＝3sinB，即sinA+sinC+sin（A+C）＝3sinB，∵sin（A+C）＝sinB，∴sinA+sinC+sinB＝3sinB，即sinA+sinC＝2sinB，则由正弦定理化简得，a+c＝2b．故选：B．【点睛】本题主要考查二倍角公式，正弦定理的应用，还考查了运算求解的实力，属于中档题.11.△ABC中，A：B＝1：2，C的平分线CD把三角形面积分成3：2两部分，则cosA＝（）A. B. C. D.0【答案】C【解析】【分析】依据A：B＝1：2，得到B＝2A，且B大于A，可得出AC大于BC，利用角平分线定理，依据角平分线CD将三角形分成的面积之比为3：2，得到BC与AC之比，再利用正弦定理得出sinA与sinB之比，将B＝2A代入并利用二倍角的正弦函数公式化简，即可求出cosA的值．【详解】如图所示：∵A：B＝1：2，所以B＝2A，∴B＞A，∴AC＞BC，∵角平分线CD把三角形面积分成3：2两部分，∴由角平分线定理得：BC：AC＝BD：AD＝2：3，∴由正弦定理得：，整理得：，则cosA．故选：C．【点睛】本题主要考查正弦定理的平面几何中的应用，还考查了运算求解的实力，属于中档题.12.在钝角三角形ABC中，a＝1，b＝2，则边c的取值范围是（）A.c＜3 B.C.1c或c3 D.或c<3【答案】C【解析】【分析】依据△ABC是钝角三角形，没有指明哪个角是最大角，从而无法确定边之间的关系，结合a＝1，b＝2，从而可以分两种状况进行分析，从而确定第三边c的改变范围．【详解】①∵当∠C是钝角时，有∠C＞90°，由余弦定理得：，∴c，又a+b＞c，可得c＜1+2＝3，∴可得边c的取值范围是（，3）；②当∠B是钝角时，有∠B＞90°，由余弦定理得：，∴b2＞a2+c2，可得4＞1+c2，解得c，又c＞b﹣a＝1，∴1＜c，综上，边c的取值范围是1＜c或c＜3．故选：C．【点睛】本题主要考查余弦定理的平面几何中的应用，还考查了运算求解的实力，属于中档题.二、填空题：本小题共4个小题，每小题5分，共20分．13.已知向量与夹角为60°，||=2，||=1，则|+2|=______.【答案】【解析】【详解】∵平面对量与的夹角为，∴.∴故答案为.点睛：(1)求向量的夹角主要是应用向量的数量积公式．(2)常用来求向量的模．14.已知为单位向量，且=0，若，则___________.【答案】.【解析】【分析】依据结合向量夹角公式求出，进一步求出结果.【详解】因，，所以，，所以，所以．【点睛】本题主要考查平面对量的数量积、向量的夹角．渗透了数学运算、直观想象素养．运用转化思想得出答案．15.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，b=2，A=60°，则sinB=___________，c=___________．【答案】(1).(2).3【解析】分析:依据正弦定理得sinB,依据余弦定理解出c.详解：由正弦定理得,所以由余弦定理得（负值舍去）.点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就须要依据正、余弦定理结合已知条件敏捷转化为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.16.设数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，则a1＝________，S5＝________．【答案】(1).1(2).121【解析】试题分析：，再由，又，所以【考点】等比数列的定义，等比数列的前项和．【易错点睛】由转化为的过程中，肯定要检验当时是否满意，否则很简单出现错误.三、解答题：第17题10分，第18～22题各题12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知，，与夹角是．（1）求的值及的值；（2）当为何值时，？【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用数量积定义及其向量的运算性质，即可求解；（2）由于，可得，利用向量的数量积的运算公式，即可求解．【详解】（1）由向量的数量积的运算公式，可得，.（2）因为，所以，整理得，解得．即当值时，．【点睛】本题主要考查了数量积定义及其运算性质、向量垂直与数量积的关系，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式，以及向量垂直的坐标运算是解答的关键，着重考查了推理实力与计算实力，属于中档题．18.在中，，，分别是角，，的对边，，.（1）求的面积；（2）若，求角.【答案】(1)14;(2).【解析】试题分析：（1）先求出的值，再由同角三角函数基本关系式求出，从而求出三角形的面积即可；（2）依据余弦定理即正弦定理计算即可．试题解析：（1）∵，，∴，∵，∴，∴（2），，∴由余弦定理得，∴，由正弦定理：，∴∵且为锐角，∴肯定是锐角，∴19.若数列{an}的前n项和为Sn，且满意an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝.(1)求证：成等差数列；(2)求数列{an}的通项公式．【答案】（1）详见解析（2）【解析】分析】(1)由已知条件可得:，又，由等差数列定义即可证明；（2）由等差数列的通项公式的求法及的关系即可得解.【详解】(1)证明：当时，由，可得，所以，又，故是首项为2，公差为2的等差数列．(2)由(1)可得，所以，当时，，当时，不适合上式，故.【点睛】本题考查了等差数列及等差数列通项公式的求法，属基础题.20.已知（cosx，2cosx），（2cosx，sinx），f（x）•．（1）把f（x）的图象向右平移个单位得g（x）的图象，求g（x）的单调递增区间；（2）当与共线时，求f（x）的值．【答案】（1）增区间；（2）．【解析】【分析】（1）利用数量积运算性质、倍角公式、和差公式可得：．把f（x）的图象向右平移个单位得g（x）的图象：g（x）1．再利用正弦函数的单调性即可得出g（x）的增区间．（2）当与共线时，可得tanx＝4．于是f（x），即可得出．【详解】（1）f（x）＝2cos2x+2sinxcosx＝cos2x+1+sin2x1．∴．把f（x）的图象向右平移个单位得g（x）的图象：g（x）11．∴．由2kπ，解得x≤kπ，k∈Z．∴g（x）的增区间．（2）∵当与共线时，∴4cos2x﹣sinxcosx＝0，∴tanx＝4．∴f（x）＝2cos2x+2sinxcosx．【点睛】本题主要考查三角函数的图象变换，三角函数的性质，三角恒等变换以及同角三角函数基本关系式，还考查了运算求解的实力，属于中档题.21.在中，AC=6，（1）求AB的长；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）利用同角三角函数的基本关系求再利用正弦定理求AB的长；（2）利用诱导公式及两角和与差正余弦公式分别求，然后求试题解析：解（1）因为，，所以由正弦定理知，所以（2）在中，，所以，于是又故因为，所以因此【考点】同角三角函数的基本关系、正余弦定理、两角和与差的正余弦公式【名师点睛】三角函数是以角为自变量的函数，因此解三角函数题，首先应从角进行分析，擅长用已知角表示所求角，即留意角的变换.角的变换涉及诱导公式、同角三角函数的基本关系、两角和与差的三角公式、二倍角公式、配角公式等，选用恰当的公式是解决三角问题的关键，同时应明确角的范围、开方时正负的取舍等.22.（1）数列{an}的前n项和为Sn＝10n﹣n2，求数列{|an|}的前n项和．（2）已知等差数列{an}满意a2＝0，a6+a8＝﹣10．求数列{}的前n项和．【答案】（1）Tn；（2）Hn．【解析】【分析】（1）依据Sn＝10n﹣n2，利用通项与前n项和的关系，n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1，（n＝1时也成立）求得an．令an≥0，解得n≤5．可得n≤5时，{|an|}的前n项和Tn＝a1+a2+……+an＝Sn．n≥6时，{|an|}的前n项和Tn＝a1+a2+……a5﹣a6+……﹣an＝2S5﹣Sn．即可得出Tn．（2）设等差数列{an}的公差为d，由a2＝0，a6+a8＝﹣10．可得a1+d＝0，2a1+12d＝﹣10，联立解得：a1，d，可得an．于是．利用错位相减法即可得出．【详解】（1）∵Sn＝10n﹣n2，∴n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝10n﹣n2﹣[10（n﹣1）﹣（n﹣1）2]＝11﹣2n，当n＝1时，满意上式，故an＝11﹣2n.令an≥0，解得n≤5．∴n≤5时，{|an|}的前n项和Tn