2024秋高中数学第七章随机变量及其分布章末检测新人教A版选择性必修第三册

PAGEPAGE1第七章章末检测(时间：120分钟，满分150分)一、单项选择题：1．一枚硬币连续掷3次，至少有一次出现正面的概率是()A．eq\f(3,8) B．eq\f(1,2)C．eq\f(5,8) D．eq\f(7,8)【答案】D【解析】P(至少有一次出现正面)＝1－P(三次均为反面)＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3＝eq\f(7,8).2．已知离散型随机变量X的分布列如下：X135P0.5m0.2则其数学期望E(X)等于()A．1 B．0.6C．2＋3m D．2.4【答案】D【解析】由分布列的性质得m＝1－0.5－0.2＝0.3，所以E(X)＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4.3．设X～B(n，p)，E(X)＝12，D(X)＝4，则n，p的值分别为()A．18，eq\f(1,3) B．36，eq\f(1,3)C．36，eq\f(2,3) D．18，eq\f(2,3)【答案】D【解析】由E(X)＝np＝12，D(X)＝np(1－p)＝4，得n＝18，p＝eq\f(2,3).4．某同学通过计算机测试的概率为eq\f(1,3)，他连续测试3次，其中恰有1次通过的概率为()A．eq\f(4,9) B．eq\f(2,9)C．eq\f(4,27) D．eq\f(2,27)【答案】A【解析】连续测试3次，其中恰有1次通过的概率为p＝Ceq\o\al(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))2＝eq\f(4,9).5．将三颗骰子各掷一次，设事务A＝“三个点数都不相同”，B＝“至少出现一个6点”，则概率P(A|B)等于()A．eq\f(60,91) B．eq\f(1,2)C．eq\f(5,18) D．eq\f(91,216)【答案】A【解析】因为P(A|B)＝eq\f(PAB,PB)，且P(AB)＝eq\f(60,63)＝eq\f(60,216)，P(B)＝1－P(eq\x\to(B))＝1－eq\f(53,63)＝1－eq\f(125,216)＝eq\f(91,216)，所以P(A|B)＝eq\f(\f(60,216),\f(91,216))＝eq\f(60,91).6．将一个骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为()A．eq\f(1,9) B．eq\f(1,12)C．eq\f(1,15) D．eq\f(1,18)【答案】B【解析】总数为63＝216，满意要求的点为(1,2,3)，(2,3,4)，(3,4,5)，(4,5,6)，(1,3,5)，(2,4,6)，同时公差可以为负，故还需乘以2，还有6个常数列，故P＝eq\f(6×2＋6,216)＝eq\f(1,12).7．设X为随机变量，X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n，\f(1,3)))，若随机变量X的均值E(X)＝2，则P(X＝2)等于()A．eq\f(80,243) B．eq\f(13,243)C．eq\f(4,243) D．eq\f(13,16)【答案】A【解析】由随机变量X听从二项分布，且其均值E(X)＝np，知eq\f(n,3)＝2，得n＝6，即X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，\f(1,3)))，那么P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,6)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))6－2＝eq\f(80,243).8．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c，其中a，b，c∈(0,1)，已知他投篮一次得分的均值为2(不计其他得分状况)，则ab的最大值为()A．eq\f(1,48) B．eq\f(1,24)C．eq\f(1,12) D．eq\f(1,6)【答案】D【解析】依据题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＝1，,3a＋2b＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2c，,b＝1－3c，))∴ab＝2c(1－3c)＝－6c2＋2c.令f(x)＝－6x2＋2x，这是一个开口向下的抛物线，其顶点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)，\f(1,6)))，∴当且仅当c＝eq\f(1,6)时，ab取得最大值eq\f(1,6).二、多项选择题：9．设随机变量ξ听从标准正态分布N(0,1)，若a>0，则()A．P(|ξ|<a)＝P(－a<ξ<a)B．P(|ξ|<a)＝2P(ξ<a)－1C．P(|ξ|<a)＝1－2P(ξ<a)D．P(|ξ|<a)＝1－P(|ξ|>a)【答案】ABD【解析】A明显正确；因为P(|ξ|<a)＝P(－a<ξ<a)＝P(ξ<a)－P(ξ<－a)＝P(ξ<a)－P(ξ>a)＝P(ξ<a)－(1－P(ξ<a))＝2P(ξ<a)－1，所以B正确，C不正确；因为P(|ξ|<a)＋P(|ξ|>a)＝1，所以P(|ξ|<a)＝1－P(|ξ|>a)(a>0)，所以D正确．10．已知离散型随机变量X的分布列如表所示，若E(X)＝0，D(X)＝1，则()X－1012Pabceq\f(1,12)A．a＝eq\f(5,12) B．b＝eq\f(1,4)C．c＝eq\f(1,4) D．P(X＜1)＝eq\f(2,3)【答案】ABCD【解析】∵E(X)＝0，D(X)＝1，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＋\f(1,12)＝1，,－1×a＋0×b＋1×c＋2×\f(1,12)＝0，,－12×a＋02×b＋12×c＋22×\f(1,12)＝1，))且a，b，c∈[0,1]，解得a＝eq\f(5,12)，b＝eq\f(1,4)，c＝eq\f(1,4)，P(X＜1)＝P(X＝－1)＋P(X＝0)＝eq\f(5,12)＋eq\f(1,4)＝eq\f(2,3).11．某人参与一次测试，在备选的10道题中，他能答对其中的5道．现从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，规定至少答对2题才算合格，则下列选项正确的是()A．答对0题和答对3题的概率相同，都为eq\f(1,8)B．答对1题的概率为eq\f(3,8)C．答对2题的概率为eq\f(5,12)D．合格的概率为eq\f(1,2)【答案】CD【解析】设此人答对题目的个数为ξ，则ξ＝0,1,2,3，P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(0,5)C\o\al(3,5),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,12)，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,5)C\o\al(2,5),C\o\al(3,10))＝eq\f(5,12)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,5)C\o\al(1,5),C\o\al(3,10))＝eq\f(5,12)，P(ξ＝3)＝eq\f(C\o\al(3,5)C\o\al(0,5),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,12)，则答对0题和答对3题的概率相同，都为eq\f(1,12)，故A错误；答对1题的概率为eq\f(5,12)，故B错误；答对2题的概率为eq\f(5,12)，故C正确；合格的概率p＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝eq\f(5,12)＋eq\f(1,12)＝eq\f(1,2)，故D正确．12．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事务；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事务，则()A．P(B)＝eq\f(2,5)B．P(B|A1)＝eq\f(5,11)C．事务B与事务A1相互独立D．A1，A2，A3是两两互斥的事务【答案】BD【解析】从甲罐中取出一球放入乙罐，则A1，A2，A3中随意两个事务不行能同时发生，即A1，A2，A3两两互斥，故D正确，易知P(A1)＝eq\f(1,2)，P(A2)＝eq\f(1,5)，P(A3)＝eq\f(3,10)，则P(B|A1)＝eq\f(5,11)，P(B|A2)＝eq\f(4,11)，P(B|A3)＝eq\f(4,11)，故B正确，C错误；P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝eq\f(1,2)×eq\f(5,11)＋eq\f(1,5)×eq\f(4,11)＋eq\f(3,10)×eq\f(4,11)＝eq\f(9,22)，故A错误．三、填空题：13．袋中有4只红球3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量X，则P(X≤6)＝________.【答案】eq\f(13,35)【解析】P(X≤6)＝P(X＝4)＋P(X＝6)＝eq\f(C\o\al(4,4)＋C\o\al(3,4)C\o\al(1,3),C\o\al(4,7))＝eq\f(13,35).14．已知随机变量X的概率分布列为X123Pp1p2p3且p1，p2，p3成等差数列，则p2＝________，公差d的取值范围是________．【答案】eq\f(1,3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(1,3)))【解析】由分布列的性质及等差数列的性质得p1＋p2＋p3＝3p2＝1，p2＝eq\f(1,3)，又eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p1≥0，,p3≥0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－d≥0，,\f(1,3)＋d≥0，))得－eq\f(1,3)≤d≤eq\f(1,3).15．已知离散型随机变量X的分布列为X12345678910Peq\f(2,3)eq\f(2,32)eq\f(2,33)eq\f(2,34)eq\f(2,35)eq\f(2,36)eq\f(2,37)eq\f(2,38)eq\f(2,39)m则m的值为________．【答案】eq\f(1,39)【解析】m＝P(X＝10)＝1－[P(X＝1)＋P(X＝2)＋…＋P(X＝9)]＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)＋\f(2,32)＋…＋\f(2,39)))＝1－eq\f(\f(2,3)×\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))9)),1－\f(1,3))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))9＝eq\f(1,39).16．一次数学测验由20道选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确的，每个答案选择正确得5分，不作出选择或选错不得分，满分100分，某学生选对任一题的概率为0.6，则此学生在这一次测验中的成果的方差为________．【答案】120【解析】设该学生在这次数学测验中选对答案的题目的个数为X，所得的分数(成果)为Y，则Y＝5X.由题知X～B(20,0.6)，所以D(X)＝20×0.6×0.4＝4.8，D(Y)＝D(5X)＝52×D(X)＝25×4.8＝120，所以该学生在这次测验中的成果的方差为120.四、解答题17．某工厂有4条流水线生产同一种产品，4条流水线的产量分别占总产量的15%,20%,30%,35%，且这4条流水线的不合格品率依次为0.05、0.04、0.03、0.02，现从该厂的产品中任取一件，问抽到合格品的概率为多少？18．在1,2,3，…，9这9个自然数中，任取3个数．(1)求这3个数恰有1个偶数的概率；(2)记X为3个数中两数相邻的组数，例如取出的数为1,2,3，则有两组相邻的数1,2和2,3，此时X的值为2，求随机变量X的分布列及其数学期望E(X)．解：(1)设Y表示“任取的3个数中偶数的个数”，则Y听从N＝9，M＝4，n＝3的超几何分布，∴P(Y＝1)＝eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(2,5),C\o\al(3,9))＝eq\f(10,21).(2)X的取值为0,1,2，P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(3,7),C\o\al(3,9))＝eq\f(5,12)，P(X＝2)＝eq\f(7,C\o\al(3,9))＝eq\f(1,12)，P(X＝1)＝1－P(X＝0)－P(X＝2)＝eq\f(1,2).∴X的分布列为X012Peq\f(5,12)eq\f(1,2)eq\f(1,12)数学期望E(X)＝0×eq\f(5,12)＋1×eq\f(1,2)＋2×eq\f(1,12)＝eq\f(2,3).19．在某校实行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成果近似地听从正态分布N(70,100)．已知成果在90分以上(含90分)的学生有12人．(1)试问此次参赛学生的总数约为多少人？(2)若成果在80分以上(含80分)为优，试问此次竞赛成果为优的学生约为多少人？附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X<μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ<X<μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ<X<μ＋3σ)≈0.9973.解：(1)设参赛学生的成果为X，因为X～N(70,100)，所以μ＝70，σ＝10.则P(X≥90)＝P(X≤50)＝eq\f(1,2)[1－P(50＜X＜90)]＝eq\f(1,2)[1－P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)]≈eq\f(1,2)×(1－0.9545)≈0.0228,12÷0.0228≈526(人)．因此，此次参赛学生的总数约为526人．(2)由P(X≥80)＝P(X≤60)＝eq\f(1,2)[1－P(60＜X＜80)]＝eq\f(1,2)[1－P(μ－σ＜X＜μ＋σ)]≈eq\f(1,2)×(1－0.6827)≈0.1587，得526×0.1587≈83.因此，此次竞赛成果为优的学生约为83人．20．一个暗箱里放着6个黑球、4个白球．(1)依次取出3个球，不放回，若第1次取出的是白球，求第3次取到黑球的概率；(2)有放回地依次取出3个球，若第1次取出的是白球，求第3次取到黑球的概率；(3)有放回地依次取出3个球，求取到白球个数ξ的分布列和期望．解：设事务A为“第1次取出的是白球，第3次取到黑球”，B为“第2次取到白球”，C为“第3次取到白球”，(1)P(A)＝eq\f(3×6＋6×5,9×8)＝eq\f(2,3).(2)因为每次取出之前暗箱的状况没有改变，所以每次取球互不影响，所以P(eq\o(C,\s\up6(－)))＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).(3)设事务D为“取一次球，取到白球”，则P(D)＝eq\f(2,5)，P(eq\o(D,\s\up6(－)))＝eq\f(3,5)，这3次取出球互不影响，则ξ～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(2,5)))，所以P(ξ＝k)＝Ceq\o\al(k,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))3－k(k＝0,1,2,3)，所以ξ的分布列为ξ0123Peq\f(27,125)eq\f(54,125)eq\f(36,125)eq\f(8,125)E(ξ)＝3×eq\f(2,5)＝eq\f(6,5).21．从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，eq\f(1,4).(1)设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．解：(1)随机变量X的全部可能取值为0,1,2,3，P(X＝0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))＝eq\f(1,4)，P(X＝1)＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))＋eq\b\l