2024-2025学年高中数学第4讲数学归纳法证明不等式本讲达标测试新人教A版选修4-5

PAGEPAGE1第四讲数学归纳法证明不等式(本卷满分150分，考试时间120分钟)一、选择题(每小题5分，共60分)1.用数学归纳法证明“2n>n2＋1对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取A.2 B.3C.5 D.6答案C2.用数学归纳法证明不等式1＋eq\f(1,23)＋eq\f(1,33)＋…＋eq\f(1,n3)<2－eq\f(1,n)(n≥2，n∈N＋)时，第一步应验证不等式A.1＋eq\f(1,23)<2－eq\f(1,2) B.1＋eq\f(1,23)＋eq\f(1,33)<2－eq\f(1,3)C.1＋eq\f(1,23)<2－eq\f(1,3) D.1＋eq\f(1,23)＋eq\f(1,33)<2－eq\f(1,4)答案A3.用数学归纳法证明2n>n2(n∈N＋，n≥5)成立时，其次步归纳假设的正确写法是A.假设n＝k时命题成立 B.假设n＝k(k∈N＋)时命题成立C.假设n＝k(k≥5)时命题成立 D.假设n＝k(k>5)时命题成立答案C4.用数学归纳法证明“对于随意x>0和正整数n，都有xn＋xn－2＋xn－4＋…＋eq\f(1,xn－4)＋eq\f(1,xn－2)＋eq\f(1,xn)≥n＋1”时，需验证的使命题成立的最小正整数值n0应为A.n0＝1 B.n0＝2C.n0＝1，2 D.以上答案均不正确答案A5.利用数学归纳法证明eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,2n)>eq\f(13,24)(n≥2，n∈N＋)的过程中，由n＝k递推到n＝k＋1时，不等式的左边A.增加了一项eq\f(1,2（k＋1）)B.增加了两项eq\f(1,2k＋1)和eq\f(1,2（k＋1）)C.增加了一项eq\f(1,2k＋2)，并削减了eq\f(1,k＋1)D.增加了两项eq\f(1,2k＋1)和eq\f(1,2k＋2)，并削减了eq\f(1,k＋1)答案D6.用数学归纳法证明不等式1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,2n－1)>eq\f(127,64)成立时，起始值n0至少应取A.7 B.8 C.9解析1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,8)＋eq\f(1,16)＋…＋eq\f(1,64)＝eq\f(127,64)，n－1＝6，n＝7，故n0＝8.答案B7.用数学归纳法证明eq\f(1,2)＋cosα＋cos3α＋…＋cos(2n－1)α＝eq\f(sin\f(2n＋1,2)α·cos\f(2n－1,2)α,sinα)(k∈Z，α≠kπ，n∈N＋)，在验证n＝1时，左边计算所得的项是A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,2)＋cosαC.eq\f(1,2)＋cosα＋cos3αD.eq\f(1,2)＋cosα＋cos2α＋3cosα答案B8.设0＜θ＜eq\f(π,2)，已知a1＝2cosθ，an＋1＝eq\r(2＋an)，则猜想an＝A.2coseq\f(θ,2n) B.2coseq\f(θ,2n－1)C.2coseq\f(θ,2n＋1) D.2sineq\f(θ,2n)答案B9.对于不等式eq\r(n2＋n)≤n＋1(n∈N＋)，某学生的证明过程如下：(1)当n＝1时，eq\r(12＋1)≤1＋1，不等式成立.(2)假设n＝k(k∈N＋，k≥1)时不等式成立，即eq\r(k2＋k)＜k＋1，则当n＝k＋1时，eq\r(（k＋1）2＋（k＋1）)＝eq\r(k2＋3k＋2)＜eq\r(（k2＋3k＋2）＋（k＋2）)＝eq\r(（k＋2）2)＝(k＋1)＋1，∴n＝k＋1时，不等式成立.上述不等式成立A.过程全部正确 B.n＝1时验证不正确C.归纳假设不正确 D.从n＝k到n＝k＋1的推理不正确答案D10.用数学归纳法证明n(n＋1)(2n＋1)能被6整除时，由归纳假设推证n＝k＋1时命题成立，需将n＝k＋1时的原式表示成A.k(k＋1)(2k＋1)＋6(k＋1)B.6k(k＋1)(2k＋1)C.k(k＋1)(2k＋1)＋6(k＋1)2D.以上都不对答案C11.用数学归纳法证明“(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·3…(2n－1)(n∈N＋)”时，从n＝k到n＝k＋1时左边应增加的式子是A.2k＋1 B.eq\f(（2k＋1）（2k＋2）,k＋1)C.eq\f(2k＋1,k＋1) D.eq\f(2k＋2,k＋1)答案B12.下列代数式，n∈N＋，可能被13整除的是A.n3＋5n B.34n＋1＋52n＋1C.62n－1＋1 D.42n＋1＋3n＋2答案D二、填空题(每小题5分，共20分)13.已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝n2an(n∈N*).依次计算出S1，S2，S3，S4后，可猜想Sn的表达式为________.解析S1＝1，S2＝eq\f(4,3)，S3＝eq\f(3,2)＝eq\f(6,4)，S4＝eq\f(8,5)，猜想Sn＝eq\f(2n,n＋1).答案Sn＝eq\f(2n,n＋1)14.用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)·(2n＋1)时，从“n＝k到n＝k＋1”，左边需增加的代数式是________.解析当n＝k时，左边共有2k＋1个连续自然数相加，即1＋2＋…＋(2k＋1)，则当n＝k＋1时，左边共有2k＋3个连续自然数相加，即1＋2＋…＋(2k＋1)＋(2k＋2)＋(2k＋3)，所以左边需增加的代数式是(2k＋2)＋(2k＋3).答案(2k＋2)＋(2k＋3)15.若2n>2n＋1(n∈N*，且n≥n0)恒成立，则n0的最小值为________.答案316.夏天吃西瓜，把西瓜横切一刀，竖切一刀，吃完后就剩下4块皮，以此类推，假如西瓜被横切n刀，竖切n刀(横切n刀切面相互平行，竖切n刀切面相互平行)，剩下的西瓜皮数记为f(n)，则f(3)＝________，f(n)＝________(答案用n表示).解析归纳猜想，找寻递推关系，明显f(1)＝4，f(2)＝9＋1，f(3)＝20，f(4)＝25＋9，…，f(n)＝(n＋1)2＋(n－1)2＝2(n2＋1).答案202(n2＋1)三、解答题(共70分)17.(10分)对于n∈N*，用数学归纳法证明：1·n＋2·(n－1)＋3·(n－2)＋…＋(n－1)·2＋n·1＝eq\f(1,6)n(n＋1)(n＋2).证明设f(n)＝1·n＋2·(n－1)＋3·(n－2)＋…＋(n－1)·2＋n·1.(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝1，等式成立；(2)设当n＝k(k≥1)时，等式成立，即1·k＋2·(k－1)＋3·(k－2)＋…＋(k－1)·2＋k·1＝eq\f(1,6)k(k＋1)(k＋2)，则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝1·(k＋1)＋2[(k＋1)－1]＋3[(k＋1)－2]＋…＋[(k＋1)－2]·3＋[(k＋1)－1]·2＋(k＋1)·1＝f(k)＋1＋2＋3＋…＋k＋(k＋1)＝eq\f(1,6)k(k＋1)(k＋2)＋eq\f(1,2)(k＋1)(k＋1＋1)＝eq\f(1,6)(k＋1)(k＋2)(k＋3).所以由(1)(2)可知当n∈N*时，等式都成立.18.(12分)用数学归纳法证明：三个连续正整数的立方和能被9整除.证明原命题可表述为n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除.(1)当n＝1时，n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3＝36，命题明显成立.(2)假设n＝k(k≥1)时，k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，那么当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3＝(k＋1)3＋(k＋2)3＋k3＋3k2·3＋3k·9＋27＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋9(k2＋3k＋3).因为k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3与9都能被9整除，所以[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋9(k2＋3k＋3)也能被9整除.也就是说(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3也能被9整除.由(1)(2)可知当n∈N*时，原命题成立.19.(12分)用数学归纳法证明不等式：eq\f(1,n)＋eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,n2)>1(n∈N*且n>1).证明①当n＝2时，左边＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)＝eq\f(13,12)>1，∴n＝2时成立.②假设当n＝k(k≥2)时成立，即eq\f(1,k)＋eq\f(1,k＋1)＋eq\f(1,k＋2)＋…＋eq\f(1,k2)>1.那么当n＝k＋1时，左边＝eq\f(1,k＋1)＋eq\f(1,k＋2)＋eq\f(1,k＋3)＋…＋eq\f(1,（k＋1）2)＝eq\f(1,k)＋eq\f(1,k＋1)＋eq\f(1,k＋2)＋eq\f(1,k＋3)＋…＋eq\f(1,k2＋2k)＋eq\f(1,（k＋1）2)－eq\f(1,k)>1＋eq\f(1,k2＋1)＋eq\f(1,k2＋2)＋…＋eq\f(1,（k＋1）2)－eq\f(1,k)>1＋(2k＋1)·eq\f(1,（k＋1）2)－eq\f(1,k)>1＋eq\f(k2－k－1,（k2＋2k＋1）k)>1，∴n＝k＋1时也成立.依据①②可得不等式对全部的n>1都成立.20.(12分)已知△ABC的三边长为有理数.求证：(1)cosA是有理数；(2)对随意正整数n，cosnA是有理数.证明(1)由AB、BC、AC为有理数及余弦定理知cosA＝eq\f(AB2＋AC2－BC2,2AB·AC)是有理数.(2)用数学归纳法证明cosnA和sinA·sinnA都是有理数.①当n＝1时，由(1)知cosA是有理数，从而有sinA·sinA＝1－cos2A也是有理数.②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，coskA和sinA·sinkA都是有理数.当n＝k＋1时，由cos(k＋1)A＝cosA·coskA－sinA·sinkA，sinA·sin(k＋1)A＝sinA·(sinAcoskA＋cosA·sinkA)＝(sinA·sinA)·sinkA＋(sinA·sinkA)·cosA，及①和归纳假设，知cos(k＋1)A与sinA·sin(k＋1)A都是有理数.即当n＝k＋1时，结论成立.综合①②可知，对随意正整数n，cosnA是有理数.21.(12分)已知数列{bn}是等差数列，b1＝1，b1＋b2＋…＋b10＝145.(1)求数列{bn}的通项公式bn；(2)设数列{an}的通项an＝logaeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,bn)))，(其中a>0，且a≠1)，记Sn为数列{an}的前n项和，试比较Sn与eq\f(1,3)logabn＋1的大小，并证明你的结论.解析(1)设数列{bn}的公差为d，由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b1＝1，,10b1＋\f(10（10－1）,2)d＝145))⇒eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b1＝1，,d＝3.))所以bn＝3n－2.(2)由bn＝3n－2知Sn＝loga(1＋1)＋logaeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,4)))＋…＋logaeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,3n－2)))＝logaeq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(（1＋1）\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,4)))…\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,3n－2)))))，而eq\f(1,3)logabn＋1＝logaeq\r(3,3n＋1).于是，比较Sn与eq\f(1,3)logabn＋1的大小，即比较(1＋1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,4)))…eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,3n－2)))与eq\r(3,3n＋1)的大小.取n＝1，有(1＋1)＝eq\r(3,8)>eq\r(3,4)＝eq\r(3,3×1＋1).取n＝2，有(1＋1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,4)))>eq\r(3,8)>eq\r(3,7)＝eq\r(3,3×2＋1).由此猜想：(1＋1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,4)))…eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,3n－2)))>eq\r(3,3n＋1).(*)下面用数学归纳法证明：①当n＝1时，已验证(*)成立.②假设n＝k(k≥1，k∈N*)时，(*)成立，即(1＋1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,4)))…eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,3k－2)))>eq\r(3,3k＋1)，则当n＝k＋1时，(1＋1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,4)))…eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,3k－2)))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,3（k＋1）－2)))>eq\r(3,3k＋1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,3k＋1)))＝eq\f(3k＋2,3k＋1)eq\r(3,3k＋1).因为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3k＋2,3k＋1)\r(3,3k＋1)))eq\s\up12(3)－(eq\r(3,3k＋4))3＝eq\f(（3k＋2）3－（3k＋4）（3k＋1）2,（3k＋1）2)＝eq\f(9k＋4,（3k＋1）2)>0，所以eq\f(\r(3,3k＋1),3k＋1)(3k＋2)>eq\r(3,3k＋4)＝eq\r(3,3（k＋1）＋1).从而(1＋1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,4)))…eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,3k－2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,3k＋1)))>eq\r(3,3（k＋1）＋1)，即当n＝k＋1时(*)也成立.由①与②知，(*)对随意正整数n都成立.所以，当a>1时，Sn>eq\f(1,3)logabn＋1，当0<a<1时，Sn<eq\f(1,3)logabn＋1.22.(12分)已知集合X＝{1，2，3}，Yn＝{1，2，3，…，n}(n∈N*)，设Sn＝{(a，b)|a整除b或b整除a，a∈X，b∈Yn}.令f(n)表示集合Sn所含元素的个数.(1)写出f(6)的值；(2)当n≥6时，写出f(n)的表达式，并用数学归纳法证明.解析(1)f(6)＝13.(2)当n≥6时f(n)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n＋2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,2)＋\f(n,3)))，n＝6t，,n＋2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n－1,2)＋\f(n－1,3)))，n＝6t＋1，,n＋2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,2)＋\f(n－2,3)))，n＝6t＋2，,n＋2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n－1,2)＋\f(n,3)))，n＝6t＋3，,n＋2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,2)＋\f(n－1,3)))，n＝6t＋4，,n＋2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n－1,2)＋\f(n－2,3)))，n＝6t＋5，))(t∈N*)下面用数学归纳法证明：①当n＝6时，f(6)＝6＋2＋eq\f(6,2)＋eq\