北京市昌平区新学道临川学校2024-2025学年高一数学上学期期中试题含解析

PAGE12-新学道临川学校2024-2025第一学期期中考试高一数学一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依据集合的交集运算求解即可.【详解】因为集合,故.故选：C【点睛】本题主要考查了交集的运算,属于基础题.2.集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先计算再求即可.【详解】因,故,故.故选：B点睛】本题主要考查了交并补等综合运算,属于基础题.3.已知集合，,则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求解再求即可.【详解】.故.故选：C【点睛】本题主要考查了二次不等式的求解以及集合的基本运算,属于基础题.4.设,则“”是“”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】先求解再依据充分与必要条件的概念分析即可.【详解】由.又因为“”是“”的充分不必要条件.故选：A【点睛】本题主要考查了肯定值不等式的求解以及充分不必要条件的辨析.属于基础题.5.命题“，”的否定为（）.A.， B.，C.， D.，【答案】A【解析】【分析】由全称命题的否定是特称命题来解答此题【详解】由题意得原命题的否定为,,故选:【点睛】本题考查了全称命题的否定,较为简洁.6.已知关于的方程的两根分别是，且满意，则的值是（）A.1 B.2 C.3 D.【答案】B【解析】【分析】依据韦达定理求解即可.【详解】因为关于的方程的两根分别是,故.故,解得.故选：B【点睛】本题主要考查了韦达定理的应用,属于基础题.7.若,则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，，当且仅当即时取“=”，故选C.8.下列四组函数中表示同一函数的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】逐个选项分别推断函数的定义域与对应法则是否相同即可.【详解】对A,定义域为,定义域为.故A错误.对B,对应法则不同.故B错误.对C,.故C正确.对D,定义域为,定义域为.故D错误.故选：C【点睛】本题主要考查了同一函数的推断,须要留意定义域与对应法则.属于基础题.9.函数的定义域是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】试题分析：，解得或，表示为区间为：，故选C.考点：函数的定义域10.若奇函数在上是增函数，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由奇函数在上是增函数，得到函数在上为单调递增函数，利用函数的单调性，即可求解．【详解】由题意，奇函数在上是增函数，可得在上是增函数，即函数在上为单调递增函数，又由，所以．故选A．【点睛】本题主要考查了函数的单调性与奇偶性的应用，其中解答中熟记函数的单调性与奇偶性，合理应用是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的实力，属于基础题．11.在下列区间中，函数的零点所在的区间为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依据零点存在定理分析即可.【详解】因为函数在定义域上为增函数，且,,依据零点存在性定理可知函数的零点所在的区间为.故选：B【点睛】本题主要考查了依据零点存在性定理推断零点所在区间的问题,属于基础题.12.若函数f(x)＝x2＋bx＋c对一切实数都有f(2＋x)＝f(2－x)则()A.f(2)<f(1)<f(4) B.f(1)<f(2)<f(4)C.f(2)<f(4)<f(1) D.f(4)<f(2)<f(1)【答案】A【解析】函数对随意实数都有成立，函数图象关于对称，当时最小，由，得，故选A.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设全集，集合，则__________．【答案】【解析】【分析】先求解再求即可.【详解】因为,,故.故.故答案为：【点睛】本题主要考查了补集与交集的运算,属于基础题.14.函数，则.【答案】3【解析】试题分析：考点：本题考查了分段函数的求值点评：弄清函数解析式是解决此类问题的关键，正确计算即可15.某公司一年购买某种货物吨，每次购买吨，运费为万元/次，一年的总存储费用为万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则的值是__________．【答案】【解析】【详解】总费用为，当且仅当，即时等号成立．故答案为30.点睛:在利用基本不等式求最值时，要特殊留意“拆、拼、凑”等技巧，使其满意基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必需为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．16.函数的大致图像如图所示，则函数的零点个数为__________．【答案】7【解析】【分析】依据与的图像关系画出的图像再分析即可.【详解】因为,故为偶函数,且当时,.故的图像为：易得函数的零点个数为7.故答案为：7【点睛】本题主要考查了函数图像变换以及零点的个数问题,属于基础题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必需作答.第22、23题为选考题，考生依据要求作答.17.解下列不等式（组）的解集.（1）（2）;（3）.【答案】(1)；(2);(3)【解析】【分析】依据二次不等式的方法求解即可.【详解】(1),即.故解集为(2),化简得,即,解得.故解集为(3),平方差公式可得,解得.故解集为.【点睛】本题主要考查了二次不等式的求解,属于基础题.18.若x,y为正实数,且,求的最小值.【答案】18【解析】【分析】首先已知条件变形为，再化简，利用基本不等式求最小值.【详解】(当时取“=”)所以的最小值是.【点睛】本题考查基本不等式求最值，意在考查“1”的妙用，基本不等式求最值运用的三个原则“一正，二定，三相等”，缺一不行，做题时需留意19.已知集合A＝{x|1＜x＜3}，集合B＝{x|2m＜x＜1﹣m}．（1）当m＝﹣1时，求A∪B；（2）若A⊆B，求实数m的取值范围．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】试题分析：（Ⅰ）两集合的并集为两集合全部的元素构成的集合；（Ⅱ）由子集关系得到两集合边界值的大小关系，从而得到关于m的不等式，进而求解其取值范围试题解析：（Ⅰ）当时，，．…………5分（Ⅱ）由知，解得，即实数m的取值范围为.…10分考点：集合并集运算及子集关系20.已知函数f(x)＝，(1)推断函数在区间[1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论．(2)求该函数在区间[1,4]上最大值与最小值．【答案】(1)增函数,证明见解析(2)，【解析】【分析】(1)设，再利用作差法推断的大小关系即可得证；(2)利用函数在区间上为增函数即可求得函数的最值.【详解】解：(1)函数f(x)＝在区间[1，＋∞)上为增函数，证明如下：设，则，即，故函数f(x)＝在区间[1，＋∞)上增函数；(2)由(1)可得：函数f(x)＝在区间上为增函数，则，，故函数f(x)在区间上的最小值为，最大值为.【点睛】本题考查了利用定义法证明函数的单调性及利用函数单调性求函数的最值，属基础题.21.已知函数，且.（1）求的值；（2）推断函数的奇偶性；（3）画出函数的图像.【答案】(1)；(2)为奇函数；(3)见解析【解析】【分析】(1)代入计算即可.(2)求解定义域与判定即可.(3)依据对勾函数的图像干脆画出即可.【详解】(1)因为,故.(2)由(1)有,其定义域为,又.故为奇函数.(3)为对勾函数,图像为：【点睛】本题主要考查了函数解析式的求解以及奇偶性的推断与函数图像的画法等.属于基础题.22.已知函数f(x)＝为奇函数．(1)求b的值；(2)证明：函数f(x)在区间(1，＋∞)上是减函数；(3)解关于x的不等式f(1＋x2)＋f(－x2＋2x－4)＞0.【答案】(1)b＝0(2)见解析(3)(1，)【解析】试题分析:依据，求得的值；由可得，再利用函数的单调性的定义证明函数在区间上是减函数；由题意可得，再依据函数在区间上是减函数，可得，且，由此求得的范围．解析：(1)∵函数为定义在上的奇函数，(2)由(1)可得，下面证明函数在区间(1，＋∞)上减函数．证明设，则有，再依据，可得，，，即函数在区间(1