河南省洛阳市2024-2025学年高一数学下学期期中试题含解析

PAGE21-河南省洛阳市2024-2025学年高一数学下学期期中试题（含解析）第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（）.A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】干脆利用诱导公式计算得到答案.【详解】.故选：A.【点睛】本题考查了诱导公式化简求值，属于简洁题.2.函数的最小正周期为（）.A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先化简函数得，即得函数的最小正周期.【详解】由题得.所以函数的最小正周期为.故选：C.【点睛】本题主要考查同角的平方关系和二倍角的余弦公式的应用，考查余弦函数的最小正周期，意在考查学生对这些学问的理解驾驭水平.3.若,,其中,则角与的终边（）.A.关于原点对称 B.关于轴对称C.关于轴对称 D.关于对称【答案】C【解析】【分析】依据角度的终边周期性分析即可.【详解】依据角度的性质有与的终边相同,与的终边相同,且的终边与的终边关于轴对称,故角与的终边关于轴对称.故选：C【点睛】本题主要考查了角度性质辨析.属于基础题.4.假如单位向量与的夹角为，则（）.A.1 B. C.2 D.3【答案】B【解析】【分析】利用，结合的模长和数量积进行求解.【详解】因为，又为单位向量，且的夹角为，所以，所以.故选：B.【点睛】本题考查向量数量积的概念：，向量的模一般要转化为来求，属于基础题.5.下面结论正确是（）.A.若，是单位向量，B.若四边形内一点满意，则是平行四边形C.若向量，共线，则D.若，则【答案】B【解析】【分析】依据单位向量的定义，向量的减法运算，共线向量的性质以及向量数量积的运算，分别对四个选项进行推断，从而得到答案.【详解】选项A中，，是单位向量，而单位向量也是有方向的，只有，是单位向量且方向相同时，才有，所以错误；选项B中，因为点为四边形内一点，所以，所以，又与不共线，所以可得且，所以是平行四边形，所以正确；选项C中，当向量，同向时，有，当向量，反向时，有，所以错误；选项D中，因为，所以即，不能得到，所以错误.故选：B.【点睛】本题考查单位向量的定义，向量的减法运算，共线向量的性质以及向量数量积的运算，属于简洁题.6.满意的一个可能值为（）.A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】借助三角函数的单调性，采纳中间值法，逐一推断四个选项，即可得到答案.【详解】当时，，，不满意，所以A选项错误；当时，，，不满意，所以B选项错误；当时，，，，满意，所以C选项正确；当时，，，不满意，所以D选项错误.故选：C.【点睛】本题考查了三角函数的单调性，熟记特别三角函数值是本题的解题关键，属于基础题.7.下列函数既不是奇函数，也不是偶函数的是（）.A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】干脆利用函数奇偶性的定义逐一推断四个选项，即可得到答案.【详解】对于A，，定义域为，关于原点对称，，则为偶函数；对于B，，定义域为，关于原点对称，，则为偶函数；对于C，，定义域为，关于原点对称，，则为奇函数；对于D，，定义域为，关于原点对称，，，且，则既不是奇函数，也不是偶函数.综上，D选项符合题意.故选：D.【点睛】本题考查的是函数的奇偶性，属于基础题.定义法推断函数的奇偶性，分为三步：（1）定义域关于原点对称，若不对称，则函数既不是奇函数，也不是偶函数，若对称，则进行下一步；（2）求；（3）若，则为偶函数；若，则为奇函数；若，且，则既不是奇函数，也不是偶函数.8.已知函数，则下列推断错误的是（）.A.的最小正周期为 B.的图象关于直线对称C.的值域为 D.的图象关于点对称【答案】B【解析】【分析】利用三角恒等变换进行化简，再依据正弦型函数的图象和性质，即可得出答案.【详解】，所以，的最小正周期为，A选项正确；，解得，所以，B选项错误；由，得，即的值域为，故C选项正确；，解得，所以的对称中心为，故D选项正确.故选：B【点睛】本题考查了三角恒等变换及正弦型函数的图象和性质，考查学生对这些学问的驾驭实力，属于基础题.9.在边长为1的正方形内,以为直径作半圆,若点为半圆（包括端点,）上随意点,则的取值范围是（）.A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设正方形的中心为,再依据平面对量的加法法则,将转换为的关系表达,再分析取值范围即可.【详解】设的中点分别为,正方形的中心为.依据正方形的对称性可知为中点.依据平面对量的加法有.易得当在处取最小值0；当在处均可取最大值为.故的取值范围是.故选：A【点睛】本题主要考查了平面对量的加法运用,须要依据题意结合平面对量的线性运算转换.属于中档题.10.函数的图象关于对称，将图象上全部点的横坐标伸长到原来的2倍，所得图象对应的函数为，若的最小正周期是，且，（）.A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依据三角函数的图象变换及最小正周期，求出值，再利用三角函数的对称轴及的范围，求出值，利用，求出值，进而求出.【详解】将图象上全部点的横坐标伸长到原来的2倍，所得图象对应的函数为，因为的最小正周期是，所以，解得，所以，，，解得，所以，函数关于对称，所以，且，解得，所以，，即，即，解得，所以，.故选：C.【点睛】本题考查了三角函数的图象变换、利用最小正周期求参数、利用三角函数的对称轴求参数及特别角的三角函数值，考查学生的运算求解实力，属于中档题.11.已知函数的图象过点,且在上单调,把的图象向右平移个单位与原图象重合,若时,直线与有三个不同的交点,则实数的取值范围是（）.A. B. C. D.【答案】D【解析】分析】依据过点可得,再依据在上单调,且的图象向右平移个单位与原图象重合可得.进而求得.再依据三角函数图像性质数形结合分析实数的取值范围即可.【详解】因为函数的图象过点,故,又,故.又在上单调且,故,即.又因为的图象向右平移个单位与原图象重合,故,所以.故.当时,.再分析可得：,数形结合可知当直线与有三个交点时,.故选：D【点睛】本题主要考查了三角函数的图像与性质综合运用,包括三角函数解析式的求解、数形结合求解参数范围的问题等,须要结合三角函数的单调性与周期性等分析.属于难题.12.已知点为内一点，满意，若，则（）.A. B. C. D.2【答案】A【解析】【分析】利用数乘的定义作图，作，，构造出是的重心，依据重心性质，及三角形面积比得出结论．【详解】∵点为内一点，满意，∴，如图，作，，则，∴是的重心，∴，由，，知，，，∴，∴，解得．故选：A．【点睛】本题考查向量的线性运算，解题关键是利用数乘定义构造出以为重心的，然后利用面积比得出结论．第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：13.若，则________．【答案】【解析】【分析】先由二倍角公式将化为，再依据同角三角函数基本关系即可求出结果.【详解】因为，所以.【点睛】本题主要考查二倍角公式以及同角三角函数基本关系，熟记公式即可求解，属于基础题型.14.在平面直角坐标系中，已知，将绕原点逆时针旋转到，则点的横坐标为______.【答案】.【解析】【分析】作出图形，求出，以及，，利用两角和与差的三角函数求出点的横坐标，即可得解.【详解】如图，过点作轴于点，作轴于点，作轴于点，作轴于点，由，则，，，将绕原点逆时针旋转到，所以，点的横坐标为：.故答案为：.【点睛】本题考查了坐标与图形的改变—旋转，娴熟驾驭旋转变换的性质是解题的关键，作出图形更形象直观.15.在梯形中，，为的平分线，且，若，，则______.【答案】【解析】【分析】由题意画出图形，由平面几何的学问可得，利用平面对量线性运算法则可得，再利用平面对量数量积的运算律及定义即可得解.【详解】由题意画出梯形的图形，如图：，为的平分线，且，，，，又，，取AC的中点E，连接DE，则，.故答案为：.【点睛】本题考查了平面对量的线性运算，考查了平面对量数量积的运算律及定义，关键是对于条件进行合理转化，属于基础题.16.已知函数，设函数图象的最高点从左至右依次为，，，…，与轴的交点从左至右依次为，，，…，在线段上取10个不同的点，，，…，，则______.【答案】【解析】【分析】由题意结合三角函数的性质画出函数图象，进而可得，，，利用平面对量数量积的坐标运算可得即，连接，由平面对量线性运算法则可得，再利用平面对量数量积的运算律及坐标运算即可得解.【详解】函数的最小正周期，将函数位于x轴上方的图象不变、位于x轴下方的图象翻折到x轴上方后即可得函数的图象，如图所示：可得，，，所以，，所以，由在线段上可得，连接，则，所以，，所以.故答案为：.【点睛】本题考查了三角函数图象的应用，考查了平面对量线性运算、数量积的应用与运算求解实力，属于中档题.三、解答题：解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.（1）求值：；（2）已知是其次象限角，化简.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用诱导公式化简，再利用即可得到结论；（2）依据是其次象限角，得到与的符号，再利用二次根式的性质即可得到结论.【详解】（1）原式（2）由是其次象限角，则，，所以，.【点睛】本题考查了三角函数的化简求值，同角三角函数间的基本关系，以及诱导公式的作用，娴熟驾驭公式及基本关系是解本题的关键．18.已知，，.（1）若，推断的形态，并给出证明；（2）求实数的值，使得最小；（3）若存在实数，使得，求、的值.【答案】（1）为直角三角形；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）依据已知点的坐标求出向量的坐标，然后利用向量数量积为0，即可证明；（2）依据题意可得，再利用向量的模的运算以及二次函数求得最值；（3）利用向量共线可得方程组，解得即可.【详解】（1）当时，为直角三角形.证明如下：当时，由，，，则，，此时，即，即，所以，为直角三角形.（2）由题意，，，则，所以，，当且仅当时取等号.故当时，取得最小值为.（3）由题意，，，因，所以，解得.【点睛】本题考查平面对量的坐标运算及数量积运算，考查了向量共线，训练了利用配方法求函数的最值，属于基础题.19.已知函数的图象与轴的交点中，相邻两个交点的距离为，图象上一个最低点为.（1）求的解析式；（2）当时，求的最值，以及取得最值时的值.【答案】（1）；（2）当时，取最小值；当时，取最大值.【解析】【分析】（1）由函数的最低点可求得，由函数图象与轴相邻两个交点的距离为可得，由可得，再代入点求出后即可得解；（2）由可得，由三角函数的图象与性质即可得解.【详解】（1）函数图像上的一个最低点为，，，又函数的图象与轴的交点中，相邻两个交点的距离为，函数的最小正周期即，解得，，，，即，又，令，，；（2）当时，，当即时，取最小值，；当即时，取最大值，.当时，取最小值；当时，取最大值.【点睛】本题考查了三角函数图象与性质的应用，考查了三角函数图象的确定与运算求解实力，关键是对于学问点的娴熟应用，属于中档题.20.已知，，且与夹角为.（1）求；（2）若，求实数值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题意结合平面对量模的坐标表示可得，利用平面对量数量积的定义可得，再利用化简即可得解；（2）由题意结合平面对量垂直的性质可得，由平面对量数量积的运算律化简即可得解.【详解】（1），，又，与夹角为，，；（2），，.【点睛】本题考查了平面对量数量积的求解与应用，考查了运算求解实力，关键是对于条件的合理转化，属于基础题.21.已知正方形的边长为1，，，分别为，，上的点.（1）如图，当，时，求面积的最小值；（2）如图，当周长为2时，求的大小.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）设，则，由题意结合三角函数的概念、正弦的二倍角公式可得，求得的最大值即可得解；（2）设，，，，由题意结合正切的概念及和角公式可得，再结合三角形周长即可得解.【详解】（1）由题意可得，，设，则，，，，当即时，的面积取最小值，最小值为；（2）设，，，，则，，则，周长为2，，化简得，，又，，.【点睛】本题考查了三角函数的性质及三角恒等变换的应用，考查了运算求解实力与转化化归思想，属于中档题.22.已知.（1）试用五点作图法画出函数在上的简图；（2）定义在上的减函数