2024年新教材高考数学一轮复习课时过关检测三十五平面向量基本定理及坐标表示含解析

PAGEPAGE3课时过关检测(三十五)平面对量基本定理及坐标表示A级——基础达标1．若e1，e2是平面α内的一组基底，则下列四组向量能作为平面α的一组基底的是()A．e1－e2，e2－e1 B．e1＋e2，e1－e2C．2e2－3e1，－6e1＋4e2 D．2e1＋e2，e1＋eq\f(1,2)e2解析：B由e1，e2是平面α内的一组基底，则e1，e2为非零不共线向量，对A，e1－e2＝－(e2－e1)，故e1－e2，e2－e1共线，不符题意；对B，e1＋e2，e1－e2不能相互线性表示，故不共线，满意题意；对C,2e2－3e1＝eq\f(1,2)(－6e1＋4e2)，故2e2－3e1，－6e1＋4e2共线，不满意题意；对D，2e1＋e2＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(e1＋\f(1,2)e2))，故2e1＋e2，e1＋eq\f(1,2)e2共线，不满意题意．故选B．2．在△ABC中，D为BC的中点，E为AC边上的点，且eq\o(AE,\s\up7(→))＝2eq\o(EC,\s\up7(→))，则eq\o(DE,\s\up7(→))＝()A．eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\f(1,6)eq\o(AC,\s\up7(→)) B．－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AC,\s\up7(→))C．eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up7(→)) D．－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up7(→))解析：B如图，可知eq\o(DE,\s\up7(→))＝eq\o(DC,\s\up7(→))＋eq\o(CE,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up7(→))－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→))))－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\f(1,6)eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))．故选B．3．(2024·本溪模拟)已知p：x＝－1，q：向量a＝(1，x)与b＝(x＋2，x)共线，则p是q的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：A若向量a＝(1，x)与b＝(x＋2，x)共线，则x＝x(x＋2)，解得x＝0或x＝－1，所以p：x＝－1是q的充分不必要条件．故选A．4．(2024·汕头调研)如图，平行四边形ABCD中，E是AD的中点，F在线段BE上，且BF＝3FE，记a＝eq\o(BA,\s\up7(→))，b＝eq\o(BC,\s\up7(→))，则eq\o(CF,\s\up7(→))＝()A．eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b B．eq\f(2,3)a－eq\f(1,3)bC．－eq\f(1,4)a＋eq\f(3,8)b D．eq\f(3,4)a－eq\f(5,8)b解析：D取a＝eq\o(BA,\s\up7(→))，b＝eq\o(BC,\s\up7(→))作为基底，则eq\o(BE,\s\up7(→))＝a＋eq\f(1,2)b．因为BF＝3FE，所以eq\o(BF,\s\up7(→))＝eq\f(3,4)eq\o(BE,\s\up7(→))＝eq\f(3,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)b))＝eq\f(3,4)a＋eq\f(3,8)b，所以eq\o(CF,\s\up7(→))＝eq\o(BF,\s\up7(→))－eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\f(3,4)a＋eq\f(3,8)b－b＝eq\f(3,4)a－eq\f(5,8)b，故选D．5．△ABC的三个内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)．若p∥q，则角C的大小为()A．eq\f(π,6) B．eq\f(π,3)C．eq\f(π,2) D．eq\f(2π,3)解析：B因为向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)且p∥q，所以(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0，即c2－a2－b2＋ab＝0，所以cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(1,2)，因为0<C<π，所以C＝eq\f(π,3)．故选B．6．(多选)(2024·珠海模拟)已知向量eq\o(OA,\s\up7(→))＝(1，－3)，eq\o(OB,\s\up7(→))＝(2，－1)，eq\o(OC,\s\up7(→))＝(m＋1，m－2)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m可以是()A．－2 B．eq\f(1,2)C．1 D．－1解析：ABD各选项代入验证，若A，B，C三点不共线即可构成三角形．因为eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(OB,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→))＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\o(OC,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→))＝(m＋1，m－2)－(1，－3)＝(m，m＋1)．假设A，B，C三点共线，则1×(m＋1)－2m＝0，即m＝1．所以只要m≠1，A，B，C三点就可构成三角形，故选A、B、D．7．(多选)给出以下说法，其中不正确的是()A．若b＝λa(λ∈R)，则a∥bB．若a∥b，则存在实数λ，使b＝λaC．若a，b是非零向量，λ，μ∈R，那么λa＋μb＝0⇔λ＝μ＝0D．平面内随意两个非零向量都可以作为表示平面内随意一个向量的一组基底解析：BCDA项，由向量的数乘运算的几何意义，正确；B项，若a＝0，b≠0，有a∥b，但不存在实数λ，使b＝λa，错误；C项，若a，b为相反向量，则a＋b＝0，此时λ＝μ＝1，错误；D项，由平面对量的基本定理，作为基底的两向量是不共线的非零向量，错误．故选B、C、D．8．(2024·菏泽模拟)已知a＝(－2，m)，b＝(1,2)，a∥(2a＋b)，则实数m解析：∵向量a＝(－2，m)，b＝(1,2)，∴2a＋b＝(－3，2＋2m)．∵a∥(2a＋b)，∴－2(2＋2m)＝－答案：－49．(2024·泰安质检)设向量a＝(－3,4)，向量b与向量a方向相反，且|b|＝10，则向量b的坐标为________．解析：不妨设向量b的坐标为b＝(－3m,4m)(m<0)，则|b|＝eq\r(－3m2＋4m2)＝10，解得m＝－2(m＝2舍去)，故b＝(6，－8)．答案：(6，－8)10．已知向量a＝(1,3)，b＝(sinα，cosα)，若a∥b，则taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝________．解析：由a∥b可得，3sinα＝cosα，得tanα＝eq\f(1,3)，所以taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(tanα＋1,1－tanα)＝eq\f(\f(1,3)＋1,1－\f(1,3))＝2．答案：2B级——综合应用11．如图，四边形ABCD为正方形，延长CD至E，使得DE＝CD，点P在线段CD上运动．设eq\o(AP,\s\up7(→))＝xeq\o(AB,\s\up7(→))＋yeq\o(AE,\s\up7(→))，则x＋y的取值范围是()A．[1,2] B．[1,3]C．[2,3] D．[2,4]解析：C以A为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，不妨设正方形ABCD的边长为1，则B(1,0)，E(－1,1)，设P(t,1)(0≤t≤1)，则(t,1)＝x(1,0)＋y(－1,1)，所以t＝x－y，且y＝1，故x＋y＝t＋2∈[2,3]．故选C．12．(2024·福州模拟)若{α，β}是一个基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基底{α，β}下的坐标，现已知向量a在基底{p＝(1，－1)，q＝(2,1)}下的坐标为(－2,2)，则a在基底{m＝(－1,1)，n＝(1,2)}下的坐标为________．解析：因为a在基底{p，q}下的坐标为(－2,2)，所以a＝－2p＋2q＝(2,4)，令a＝xm＋yn＝(－x＋y，x＋2y)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋y＝2，,x＋2y＝4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝2，))所以a在基底{m，n}下的坐标为(0,2)．答案：(0,2)13．已知平面对量a，b，c满意|a|＝|b|