苏科版九年级数学上册压轴题攻略专题01一元二次方程压轴题三种模型全攻略特训(原卷版+解析)-【压轴必考】2022-2023学年九年级数学上册压轴题攻略(苏科版)

专题01一元二次方程压轴题三种模型全攻略〓知识点一一元二次方程定义问题（1）一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．（2）概念解析：一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2．判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．例题：（2022·全国·九年级单元测试）下列方程：①x2-1=0；②2x2+3x=（1-2x）（2+x）；③x+=2；④2x2-=0，⑤ax2+bx+c=0．其中是一元二次方程的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式训练1】（2022·黑龙江·哈尔滨市第十七中学校八年级期中）下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（

）A． B． C． D．【变式训练2】（2021·北京密云·八年级期末）已知（m+1）x2+5x﹣3＝0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是_____．【变式训练3】（2022·全国·九年级单元测试）已知（m－1）＋3x－5＝0是一元二次方程，则m＝________．〓知识点二一元二次方程的一般形式（1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a=0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．例题：（2022·全国·九年级单元测试）将方程（3x－1）（2x＋4）＝2化为一般形式为____________，其中二次项系数为________，一次项系数为________．【变式训练1】（2022·河北承德·九年级期末）一元二次方程的常数项是（

）A．－1 B．1 C．－6 D．6【变式训练2】（2022·山东济宁·九年级期末）一元二次方程的二次项系数是（

）A．1 B．3 C． D．4【变式训练3】（2022·广西钦州·九年级期末）方程的一次项系数是______．〓知识点三已知一元二次方程的根求参数问题（1）一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．ax12+bx1+c=0（a≠0），ax22+bx2+c=0（a≠0）．例题：（2022·四川成都·九年级期末）已知x＝2是关于x的一元二次方程x2+kx﹣2＝0的一个根，则实数k的值为_____．【变式训练1】（2022·湖北恩施·二模）已知x=2是一元二次方程x2+bx－c=0的解，则－4b+2c=（

）A．8 B．－8 C．4 D．－4【变式训练2】（2022·湖南娄底·二模）若a是的一个根，则的值是（

）A．2020 B．2021 C．2022 D．2023【变式训练3】（2022·广东·佛山市华英学校九年级期中）设a为一元二次方程的一个实数根，___________．【课后训练】一、选择题1．（2022·浙江绍兴·八年级期中）下列方程中是一元二次方程的是（）A． B． C． D．2．（2022·天津滨海新·九年级期末）一元二次方程化成一般形式后，它的二次项系数和一次项系数分别是（

）A．B．C．D．3．（2022·云南文山·九年级期末）如果3是关于x的方程的一个根，那么c的值为（

）A． B． C．9 D．4．（2022·山东淄博·八年级期中）若一元二次方程有一个解为，则k为（

）A． B．1 C． D．05．（2022·山东·聊城市茌平区教育和体育局教研室一模）已知a是方程的一个根，则代数式的值为（

）A．1 B． C．或1 D．2二、填空题6．（2022·江西上饶·九年级期末）把一元二次方程化为一般形式为______．7．（2022·云南昭通·九年级期末）一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项的和是_______．8．（2022·天津北辰·九年级期末）已知关于x的一元二次方程的一个根是，则__________．9．（2022·全国·九年级单元测试）若关于x的方程(m－3)xm²－7－x＋3＝0是一元二次方程，则m的值是________．10．（2022·河北邯郸·七年级期中）若m是方程2x2﹣3x﹣2＝0的一个根，则﹣6m2+9m﹣9的值为_______．三、解答题11．（2022·广东省深圳市沙湾实验学校九年级期末）把下列方程化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数以及常数项．(1)（2x﹣1）（3x＋2）＝x2＋2；(2)．12．（2021·北京·人大附中九年级阶段练习）若关于x的一元二次方程x2﹣4mx+2m2＝0的一个根是x＝2，求代数式2（m﹣2）2﹣5的值．13．（2021·北京·宣武外国语实验学校七年级期中）已知关于x的方程的一个解是，求代数式的值．14．（2021·北京·九年级专题练习）已知是方程的一个根，求代数式的值．15．（2021·全国·九年级专题练习）已知关于x的方程(2k＋1)x2＋4kx＋k－1＝0，问：（1）k为何值时，此方程是一元一次方程？（2）k为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项．专题01一元二次方程压轴题三种模型全攻略〓知识点一一元二次方程定义问题（1）一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．（2）概念解析：一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2．判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．例题：（2022·全国·九年级单元测试）下列方程：①x2-1=0；②2x2+3x=（1-2x）（2+x）；③x+=2；④2x2-=0，⑤ax2+bx+c=0．其中是一元二次方程的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【解析】【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．【详解】解：①x2-1=0是一元二次方程；②2x2+3x=（1-2x）（2+x）是一元二次方程；③x+=2是分式方程，不是一元二次方程；④2x2-=0，不是一元二次方程；⑤ax2+bx+c=0，当a=0时，不是一元二次方程．所以其中一元二次方程的个数是2个．故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键．【变式训练1】（2022·黑龙江·哈尔滨市第十七中学校八年级期中）下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】只含有1个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程就是一元二次方程，依据定义即可判断．【详解】解：根据一元二次方程定义可知：A.，是关于x的一元一次方程，不符合题意；B.，为二元二次方程，不符合题意；C.，是分式方程，不符合题意；D.，只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，二次项系数不为0，是一元二次方程，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，为整式方程；特别注意二次项系数不为0．【变式训练2】（2021·北京密云·八年级期末）已知（m+1）x2+5x﹣3＝0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是_____．【答案】m≠﹣1【解析】【分析】根据一元二次方程的一般形式，由二次项的系数a≠0即可解答．【详解】解：∵（m+1）x2+5x﹣3＝0是关于x的一元二次方程，∴m+1≠0，解得：m≠﹣1，故答案为：m≠﹣1．【点睛】本题考查一元二次方程的有关概念，熟知一元二次方程成立的条件是解答的关键．【变式训练3】（2022·全国·九年级单元测试）已知（m－1）＋3x－5＝0是一元二次方程，则m＝________．【答案】－1【解析】【分析】根据一元二次方程的定义m-1≠0，且，解答即可．【详解】∵（m－1）＋3x－5＝0是一元二次方程，∴m-1≠0，且，∴m-1≠0，且，∴，故答案为：-1．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义即含有一个未知数且含未知数项的次数最高是2的整式方程，熟练掌握定义是解题的关键．〓知识点二一元二次方程的一般形式（1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a=0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．例题：（2022·全国·九年级单元测试）将方程（3x－1）（2x＋4）＝2化为一般形式为____________，其中二次项系数为________，一次项系数为________．【答案】

3x2＋5x－3＝0

3

5【解析】【分析】将方程展开，化简后即可求解．【详解】将，开展为一般形式为：；则可知一次项系数为5，二次项系数为3，故答案为：，3，5．【点睛】本题主要考查了将一元二次方程化为最简式以及判断方程各项系数的知识，熟记相关考点概念是解答本题的关键．【变式训练1】（2022·河北承德·九年级期末）一元二次方程的常数项是（

）A．－1 B．1 C．－6 D．6【答案】A【解析】【分析】化成一元二次方程的一般形式，就可以解决本题．【详解】解：原方程可化为：．是二次项，系数为2；-6x是一次项，-6是一次项系数；-1是常数项．故选：A．【点睛】考查了一元二次方程的一般形式：++=0．是二次项，a是二次项系数；是一次项，b是一次项系数；c是常数项．把握一元二次函数的一般形式和各项系数的符号是解决本题的关键．【变式训练2】（2022·山东济宁·九年级期末）一元二次方程的二次项系数是（

）A．1 B．3 C． D．4【答案】A【解析】【分析】先化成一元二次方程的一般形式，再得出答案即可．【详解】解∶∵，∴，∴一元二次方程的二次项系数是1．故选∶A．【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，能熟记一元二次方程的一般形式的特点是解此题的关键，注意：项的系数带着前面的符号．【变式训练3】（2022·广西钦州·九年级期末）方程的一次项系数是______．【答案】-8【解析】【分析】根据一元二次方程的一般形式解答．【详解】解：方程的一次项是，其系数是．故答案是：．【点睛】本题考查一元二次方程的一般式，解题的关键是掌握一次项系数的定义．〓知识点三已知一元二次方程的根求参数问题（1）一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．ax12+bx1+c=0（a≠0），ax22+bx2+c=0（a≠0）．例题：（2022·四川成都·九年级期末）已知x＝2是关于x的一元二次方程x2+kx﹣2＝0的一个根，则实数k的值为_____．【答案】【解析】【分析】将x=2代入方程得关于k的方程，解之可得．【详解】解：将x=2代入方程得：22+2k-2=0，解得：k=-1，故答案为：-1．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解的定义和解方程的能力，掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题的关键．【变式训练1】（2022·湖北恩施·二模）已知x=2是一元二次方程x2+bx－c=0的解，则－4b+2c=（

）A．8 B．－8 C．4 D．－4【答案】A【解析】【分析】由x=2是一元二次方程x2+bx－c=0的一个解，将x=2代入原方程，即可求得2b-c的值，从而得解．【详解】解：∵x=2是一元二次方程x2+bx－c=0的一个根，∴4+2b-c=0，∴2b-c=-4．∴－4b+2c=-2(2b-c)=-2×(-4)=8．故选：A．【点睛】本题主要考查了一元二次方程解的定义．解题的关键是将x=2代入原方程，利用整体思想求解．【变式训练2】（2022·湖南娄底·二模）若a是的一个根，则的值是（

）A．2020 B．2021 C．2022 D．2023【答案】D【解析】【分析】由是方程的一个根，得，由此可求得的值．【详解】解：是方程的一个根，，即，．故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，熟知一元二次方程的解与一元二次方程的关系是解题的关键．【变式训练3】（2022·广东·佛山市华英学校九年级期中）设a为一元二次方程的一个实数根，___________．【答案】4046【解析】【分析】根据一元二次方程的解得到等式，再进行等价变形后代入所求代数式即可．【详解】解：∵a为一元二次方程的一个实数根，∴．∴．∴．故答案为：4046．【点睛】本题考查一元二次方程的解，代数式求值，熟练掌握这些知识点是解题关键．【课后训练】一、选择题1．（2022·浙江绍兴·八年级期中）下列方程中是一元二次方程的是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根据一元二次方程的定义（含有一个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程）进行判断即可．【详解】解：A、是一元二次方程，该选项符合题意；B、是一元一次方程，该选项不符合题意；C、是分式方程，该选项不符合题意；D、是二元一次方程，该选项不符合题意.故答案为：A．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解题时，要注意：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是2．2．（2022·天津滨海新·九年级期末）一元二次方程化成一般形式后，它的二次项系数和一次项系数分别是（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】先将原方程化为一般形式，进而作答即可．【详解】一元二次方程化成一般形式为：它的二次项系数和一次项系数分别是5，-4故选：A．【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，即一元二次方程的一般形式是：(a，b，c是常数且a

≠

0)特别要注意a≠

0的条件，这是在做题过程中容易忽视的知识点，在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项，其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．3．（2022·云南文山·九年级期末）如果3是关于x的方程的一个根，那么c的值为（

）A． B． C．9 D．【答案】C【解析】【分析】把x=3代入原方程即可求得c的值．【详解】∵x=3是关于x的方程x2-c=0的一个根，∴32-c=0，解得c=9．故选：C．【点睛】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．4．（2022·山东淄博·八年级期中）若一元二次方程有一个解为，则k为（

）A． B．1 C． D．0【答案】C【解析】【分析】把x=0代入方程（k-1）x2+3x+k2-1=0得方程k2-1=0，解关于k的方程，然后利用一元二次方程的定义确定k的值．【详解】把x=0代入方程（k-1）x2+3x+k2-1=0得方程：k2-1=0，解得k1=1，k2=-1，而k-1≠0，所以k=-1．故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．5．（2022·山东·聊城市茌平区教育和体育局教研室一模）已知a是方程的一个根，则代数式的值为（

）A．1 B． C．或1 D．2【答案】A【解析】【分析】由题意，得，再整体代入求值即可．【详解】解：由题意，得∴故选：A．【点睛】本题考查一元二次方程的解，熟练掌握相关知识，利用整体思想进行求值是解题的关键．二、填空题6．（2022·江西上饶·九年级期末）把一元二次方程化为一般形式为______．【答案】【解析】【分析】先展开完全平方式、再移项，变成一般形式即可．【详解】解：，即即故答案为：【点睛】考查了一元二次方程的一般形式．一元二次方程的一般形式为：ax2+bx+c=0（a≠0）7．（2022·云南昭通·九年级期末）一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项的和是_______．【答案】5【解析】【分析】ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项进行填空即可求得．【详解】解：由题意得：3x2-5x+7=0，∴二次项系数为3，一次项系数为-5，常数项为7，∴二次项系数、一次项系数、常数项的和是：3-5+7=5，故答案为：5．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．8．（2022·天津北辰·九年级期末）已知关于x的一元二次方程的一个根是，则__________．【答案】-2【解析】【分析】将一元二次方程的根代入该一元二次方程，再求解即可．【详解】解：将代入，得：，解得：．故答案为：-2．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解．掌握方程的解就是使其成立的未知数的值是解题关键．9．（2022·全国·九年级单元测试）若关于x的方程(m－3)xm²－7－x＋3＝0是一元二次方程，则m的值是________．【答案】-3【解析】【分析】根据一元二次方程的定义可知，二次项系数为2，则可以得到m2−7＝2；再根据一元二次方程中二次项系数不等于零，即可确定m的值．【详解】解：∵该方程为一元二次方程，∴m2−7＝2，解得m＝±3；当m＝3时，m-3＝0，则方程的二次项系数是0，不符合题意；∴m＝-3，故答案为：-3．【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式是：ax2＋bx＋c＝0（a，b，c是常数且a≠0），解题的关键是特别要注意a≠0的条件，这是在做题过程中容易忽视的知识点．10．（2022·河北邯郸·七年级期中）若m是方程2x2﹣3x﹣2＝0的一个根，则﹣6m2+9m﹣9的值为_______．【答案】-15【解析】【分析】由已知可得2m2﹣3m﹣2＝0，再化简所求代数式为﹣6m2+9m﹣9＝﹣3（2m2﹣3m）﹣9，即可求解．【详解】解：∵m是方程2x2﹣3x﹣2＝0的一个根，∴2m2﹣3m﹣2＝0，∴2m2﹣3m＝2，∴﹣6m2+9m﹣9＝﹣3（2m2﹣3m）﹣9＝﹣3×2﹣9＝﹣15，故答案为：﹣15．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解与一元二次方程的关系，灵活变形所求代数式是解题的关键．三、解答题11．（2022·广东省深圳市沙湾实验学校九年级期末）把下列方程化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数以及常数项．(1)（2x﹣1）（3x＋2）＝x2＋2；(2)．【答案】(1)5x2+x﹣4＝0，二次项系数为5；一次项系数为1；常数项为﹣4(2)2x2+6x+1＝0，二次项系数为2；一次项系数为6；常数项为1【解析】【分析】根据多项式的乘法化简，再化为一元二次方程的一般形式，进而求得二次项系数、一次项系数以及常数项．(1)化简后为5x2+x﹣4＝0，因此二次项系数为5；一次项系数为1；常数项为﹣4；(2)化简后为2x2+6x+1＝0，二次项系数为2；一次项系数为6；常数项为1．【点睛】本题考查了多项式的乘法，一元二次方程的一般形式，理解一元二次方程的一般形式是解题的关键．一元二次方程的一般形式是：（是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．12．（2021·北京·人大附中九年级阶段练习）若关于x的一元二次方程x2﹣4mx+2m2＝0的一个根是x＝2，求代数式2（m﹣2）2﹣5的值．【答案】【解析】【分析】把代入方程，整理后可得，然后将其代入所求代