专题09 三角函数及其图象与性质的应用-【好题汇编】五年（2020-2024）高考数学真题分类汇编（含答案解析）

专题09三角函数及其图象与性质的应用考点五年考情（2020-2024）命题趋势考点01三角函数概念2024甲卷2023北京卷2021甲卷北京卷2020ⅠⅡⅢ卷终边角问题以及同角三角函数关系是高考的一个方向考点02三角函数恒等变形2024ⅠⅡ卷2023ⅠⅡ卷2022Ⅱ卷2021Ⅰ卷三角函数恒等变换是高考数学高频考点，常考是二倍角公式的应用考点03三角函数图像及性质2024北京天津ⅠⅡ甲卷2023甲乙卷2022北京甲Ⅰ卷2021北京甲Ⅰ卷2020ⅠⅢ卷三角函数图象伸缩变换及图象定区间最值极值问题是高考的重难点考点04三角函数综合应用2023ⅠⅡ卷2022甲卷2020北京卷三角函数中ω的范围问题三角函数综合性质应用的重难点考点01三角函数概念1．(2020年高考课标Ⅱ卷理科·第2题)若α为第四象限角，则 ()A．cos2α>0 B．cos2α<0 C．sin2α>0 D．sin2α<0【答案】D【解析】方法一：由α为第四象限角，可得，所以此时的终边落在第三、四象限及轴的非正半轴上，所以故选：D．方法二：当时，，选项B错误；当时，，选项A错误；由在第四象限可得：，则，选项C错误，选项D正确；故选：D．2．(2020年高考课标Ⅰ卷)已知，且，则 ()A． B． C． D．【答案】A【解析】，得，即，解得或(舍去)，又．故选：A．3．(2021年高考全国甲卷)若，则 ()A． B． C． D．【答案】A【解析】，，，，解得，，故选：A．4．(2020年高考课标Ⅲ)已知2tanθ–tan(θ+)=7，则tanθ= ()A．–2 B．–1 C．1 D．2【答案】D【解析】，，令，则，整理得，解得，即．故选：D．5．（2024·全国·高考甲卷）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先将弦化切求得，再根据两角和的正切公式即可求解.【详解】因为，所以，所以，故选：B.二填空6．(2021高考北京·)若点关于轴对称点为，写出的一个取值为___．【答案】(满足即可)【解析】与关于轴对称，即关于轴对称，，则，当时，可取的一个值为．故答案为：(满足即可)．7．(2023年北京卷)已知命题若为第一象限角，且，则．能说明p为假命题的一组的值为__________，_________．【答案】①．②．【解析】因为在上单调递增，若，则，取，则，即，令，则，因为，则，即，则．不妨取，即满足题意．故答案为：．考点02三角函数恒等变形1（2024·全国·高考Ⅰ卷）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据两角和的余弦可求的关系，结合的值可求前者，故可求的值.【详解】因为，所以，而，所以，故即，从而，故，故选：A.2．(2023年新课标全国Ⅰ卷·第8题)已知，则 ()．A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，而，因此，则，所以．故选：B2．(2023年新课标全国Ⅱ卷·)已知锐角，，则 ()．A． B． C． D．【答案】D解析:因为，而为锐角，解得：．故选：D．2．(2021年新高考Ⅰ卷·)若，则 ()AB．C．D．【答案】C解析:将式子进行齐次化处理得：,故选C．5．(2022新高考全国II卷·)若，则 ()A． B．CD．【答案】C【解析】由已知得：,即：，即：所以,故选：C二填空6．（2024·全国·高考Ⅱ卷）已知为第一象限角，为第三象限角，，，则.【答案】【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得，再缩小的范围，最后结合同角的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案.【详解】法一：由题意得，因为，，则，，又因为，则，，则，则，联立，解得.法二：因为为第一象限角，为第三象限角，则,，，则故答案为：.考点03三角函数图像及性质1（2024·全国·高考Ⅰ卷）当时，曲线与的交点个数为（

）A．3 B．4 C．6 D．8【答案】C【分析】画出两函数在上的图象，根据图象即可求解【详解】因为函数的的最小正周期为，函数的最小正周期为，所以在上函数有三个周期的图象，在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：由图可知，两函数图象有6个交点.故选：C2．（2024·北京·高考真题）设函数.已知，，且的最小值为，则（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【详解】由题意可知：为的最小值点，为的最大值点，则，即，且，所以.故选：B.3．（2024·天津·高考真题）已知函数的最小正周期为．则在的最小值是（

）A． B． C．0 D．【答案】A【详解】，由得，即，当时，，画出图象，如下图，由图可知，在上递减，所以，当时，故选：A二、多选题4．（2024·全国·高考Ⅱ卷）对于函数和，下列说法中正确的有（

）A．与有相同的零点 B．与有相同的最大值C．与有相同的最小正周期 D．与的图象有相同的对称轴【答案】BC【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可.【详解】A选项，令，解得，即为零点，令，解得，即为零点，显然零点不同，A选项错误；B选项，显然，B选项正确；C选项，根据周期公式，的周期均为，C选项正确；D选项，根据正弦函数的性质的对称轴满足，的对称轴满足，显然图像的对称轴不同，D选项错误.故选：BC5．(2023年全国乙卷)已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则 ()A． B． C． D．【答案】D【解析】因为在区间单调递增，所以，且，则，，当时，取得最小值，则，，则，，不妨取，则，则，故选：D．6．(2023年全国甲卷)函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为 ()A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】因为向左平移个单位所得函数为，所以，而显然过与两点，作出与的部分大致图像如下，考虑，即处与的大小关系，当时，，；当时，，；当时，，；所以由图可知，与的交点个数为．故选：C．7．(2021年新高考Ⅰ卷·)下列区间中，函数单调递增的区间是 ()A． B． C． D．【答案】A解析:因为函数的单调递增区间为，对于函数，由，解得，取，可得函数的一个单调递增区间为，则，，A选项满足条件，B不满足条件；取，可得函数的一个单调递增区间为，且，，CD选项均不满足条件,故选A．8．(2020年高考课标Ⅰ卷)设函数在的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为 ()A． B． C． D．【答案】C【解析】由图可得：函数图象过点，将它代入函数可得：又是函数图象与轴负半轴的第一个交点，所以，解得：所以函数的最小正周期为故选：C9．(2022高考北京卷·)已知函数，则 ()A．在上单调递减 B．在上单调递增C．在上单调递减 D．在上单调递增【答案】C解析:因为．对于A选项，当时，，则在上单调递增，A错；对于B选项，当时，，则在上不单调，B错；对于C选项，当时，，则在上单调递减，C对；对于D选项，当时，，则在上不单调，D错．故选,C．10．(2022年高考全国甲卷)已知，则 ()A． B． C． D．【答案】A【解析】因为,因为当所以,即,所以；设，，所以在单调递增，则,所以，所以,所以，故选：A11．(2022新高考全国I卷·)记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则 ()A．1 B． C． D．3【答案】A解析:由函数的最小正周期T满足，得，解得，又因为函数图象关于点对称，所以，且，所以，所以，，所以．故选：A12．(2021高考北京·)函数是 ()A．奇函数，且最大值为2 B．偶函数，且最大值为2C．奇函数，且最大值为 D．偶函数，且最大值为【答案】D【解析】由题意，，所以该函数为偶函数，又，所以当时，取最大值．故选：D．二填空13．（2024·全国·高考甲卷）函数在上的最大值是．【答案】2【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可.【详解】，当时，，当时，即时，.故答案为：214．（2024·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于原点对称.若，则的最大值为．【答案】/【分析】首先得出，结合三角函数单调性即可求解最值.【详解】由题意，从而，因为，所以的取值范围是，的取值范围是，当且仅当，即时，取得最大值，且最大值为.故答案为：.15．(2021年高考全国甲卷)已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数x为________．【答案】2【解析】由图可知，即，所以；由五点法可得，即；所以．因为，；所以由可得或；因为，所以，方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足，即，解得，令，可得，可得的最小正整数为2．方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足，又，符合题意，可得的最小正整数为2．故答案为：2．16．(2020年高考课标Ⅲ卷)关于函数f(x)=有如下四个命题：①f(x)的图像关于y轴对称．②f(x)的图像关于原点对称．③f(x)的图像关于直线x=对称．④f(x)的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________．【答案】②③【解析】对于命题①，，，则，所以，函数的图象不关于轴对称，命题①错误；对于命题②，函数的定义域为，定义域关于原点对称，，所以，函数的图象关于原点对称，命题②正确；对于命题③，，，则，所以，函数的图象关于直线对称，命题③正确；对于命题④，当时，，则，命题④错误．故答案为：②③．考点04三角函数综合应用1．(2022年高考全国甲卷数学)设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是 ()A． B． C． D．【答案】C【解析】依题意可得，因为，所以，要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点，又，图象如下所示：则，解得，即．故选：C．2．(2020北京高考·第10题)2020年3月14日是全球首个国际圆周率日(Day)．历史上，求圆周率的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数充分大时，计算单位圆的内接正边形的周长和外切正边形(各边均与圆相切的正边形)的周长，将它们的算术平均数作为的近似值．按照阿尔·卡西的方法，的近似值的表达式是 ()．A． B．C． D．【答案】A【解析】单位圆内接正边形的每条边所对应的圆周角为，每条边长为，所以，单位圆的内接正边形的周长为，单位圆的外切正边形的每条边长为，其周长为，，则．故选：A．二填空3．(2023年新课标全国Ⅰ卷)已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是________．【答案】【解析】因为，所以，令，则有3个根，令，则有3个根，其中，结合余弦函数的图像性质可得，故，故答案为：．4．(2023年新课标全国Ⅱ卷)已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则______．【答案】【解析】设，由可得，由可知，或，，由图可知，，即，．因为，所以，即，．所以，所以或，又因为，所以，．故答案为：．三解答题5(2023年北京卷)设函数．(1)若，求的值．(2)已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值．条件①：；条件②：；条件③：区间上单调递减．注：如果选