初中数学《勾股定理与面积问题、方程思想》压轴题及答案

目录几何图形中的方程思想-折叠问题(利用等边建立方程】几何图形中的方程思想-公边问题(利用公边建立方程】1(2023春·新疆阿克苏·八年级校联考阶段练习)若一个直角三角形的两条直角边长分别是5cm和12cm，则斜边上的高为多少()80136013A.B.13C.61(2023春·内蒙古鄂尔多斯·八年级统考期末)2×21AB、CAC边上的高为()3235532A.5B.2C.2(2023春·辽宁朝阳·八年级校考期中)如果一个等腰三角形的腰长为1324的高为()1A.12B.24C.653(2022·全国·八年级课时练习)1．点ABC都在格点上，若BD是△ABCBD的长为．4(2023春·安徽合肥·八年级校考期末)1的网格中，△ABC△ABC中AB边上的高．5Rt△ABC中，∠C=90°AC=8△ABE中，DE是AB边上的高，DE=12S=60．(1)求BC的长．(2)求斜边AB边上的高．6(2023秋·全国·八年级专题练习)在△ABC中，∠C=90°AC=3CB=4CD是斜边AB上高．(1)求△ABC的面积；(2)求斜边AB；(3)求高CD．1已知在Rt△ABC中，∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为abca+b=10cm,c=8cmRt△ABC的面积为()A.9cm2B.18cm2C.24cm236cm21在△ABC中，AD是BC边上的高，AD=4,AB=410,AC=5△ABC的面积为(A.18B.24C.18或2418或30)2直角△ABC三边长分别是xx+1和5△ABC的面积为．21(2023春·河南许昌·八年级校考期中)ABCD∠B=90°∠ACB=30°AB=6，AD=13CD=5．(1)求证：△ACD是直角三角形；(2)求四边形ABCD的面积．1(2023春·内蒙古呼伦贝尔·八年级校考期中)AD=4米，CD=3米，AB=13米，BC=12米，∠ADC=90°2(2023春·安徽马鞍山·八年级校考期末)已知abc是△ABCa=23b=36c=66．(1)试判断△ABC(2)求△ABC的面积．3(2023春·山东菏泽·八年级校考阶段练习)四边形草地ABCDAB=3mBC=4mCD=12mDA=13m∠ABC为直角．(1)求这个四边形草地的面积；(2)204(2022春·重庆綦江·八年级校考阶段练习)1．(1)求线段CD与BC的长；3(2)求四边形ABCD的面积；(3)求证：∠BCD=90°．1(2023秋·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考期末)ABCD的面积分别是61046E的面积是()A.201(2023·广西柳州·校考一模)如图，∠BDE=90°BEGC和正方形AFED的面积分别是289和225BD为直径的半圆的面积是(B.26C.3052)A.16πB.8πC.4π2π2(2023春·全国·八年级专题练习)Rt△ABCS,S,S且123S=4,S=8S=Rt△ABCS,S,SS,S,S三123123123者之间的关系为．3(2023春·八年级课时练习)Rt△ABC中，∠C=90°∠A∠B∠C所对的边分别记作ab、c．如图1△ABCSSS123有S+S=S，1234(1)如图2△ABCSSSS+S与12312S3(2)3S1S2Sa(2)S+S与S有怎样的数量关系；123(3)若Rt△ABC中，AC=6BC=84中阴影部分的面积．4(2023春·江西南昌·八年级南昌市第三中学校考期中)勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，(如图1)(1)①如图234SSS3个图形中面积关系满足S+S=S的有个．123123②如图5(图中阴影部分)的面积分别为SSSS+S=SSSS的数量关123123123系．(2)一过程就可以得到如图67M的边长为定值mABCD的边长分别为abcda+b+c+d=．几何图形中的方程思想-折叠问题(利用等边建立方程】51(2023春·河南许昌·八年级统考期中)已知直角三角形纸片ABC的两直角边长分别为68将△ABCA与点BCE的长是()5474154254A.B.C.1(2023春·湖北咸宁·八年级校考阶段练习)∠C=90°AC=4BC=3ABB落在直角边AC的延长线上的点EADBD的长为()3453A.B.1.5C.32(2023春·山东菏泽·八年级统考期中)如图，Rt△ABC中，∠B=90°AB=4BC=6△ABC折C与AB的中点DAC于点MBC于点NCN的长为．3(2023·辽宁葫芦岛·统考二模)Rt△ABC中，∠C=90°,∠A=30°,BC=2D是AC的中E是斜边ABDE所在直线把△ADE翻折到△ADE的位置，DAB交F于点．若△BAFAE的长为．4(2022秋·河北张家口·八年级统考期中)在△ABC中，∠C=90°DE分别在ACAB边上(不与端点重合)．将△ADE沿DEA落在的位置．6(1)与点B重合且BC=3,AB=5．①直接写出AC的长；②求△BCD的面积．(2)当∠A=37°．①与点在直线EACAC△DE∠EB-∠DC的大小；②与点在直线E的一边与BC∠ADE的度数．几何图形中的方程思想-公边问题(利用公边建立方程】1△ABC中，AB=10BC=9AC=17BC边上的高为．1△ABC中，∠C=90°AD是△ABC的角平分线，CD=3BD=5AC=．2Rt△ABC和Rt△ADE中，∠B=∠D=90°AC=AEBC=DEBCDE交于点M．(1)A在∠M的平分线上；7(2)若AC∥DMAB=12BM=18BC的长．】1(2022·全国·八年级)索OA悬挂于OA(AC=1尺)．将它往前推进两步(EB⊥OC于点EEB=10尺)B(BD=CE=5尺)秋千绳索(OA或OB)长尺．1(2022·全国·八年级课时练习)如图12(图2为图1的平面示意图)CD的距离为2寸C和点D距离门槛AB都为1尺(1尺=10寸)AB的长是()A.50.5寸B.52寸C.101寸104寸2(2022·河南·金明中小学八年级期中42的23(2022·重庆市求精中学校八年级期中)在一条东西走向的河的一侧有一村庄C点ABAB=ACC到A个取水点H(AHB在一条直线上)CHCB=1.5千米，CH=1.2千米，HB=0.9千米．8(1)问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明．(2)求原来的路线AC的长．4(2022·浙江·浦江县实验中学八年级期中)图1是一张可以折叠的小床展开后支撑起来放在地面的示ABC∠ACD=90°2是小床支撑脚CD中，△ACD变形为四边形ABC'D'．某家装厂设计的折叠床是BC=8cm，AB=4cm，(1)此时CD为ꢀcm；(2)AB⊥BC′ABC′D′的面积为cm2．9目录几何图形中的方程思想-折叠问题(利用等边建立方程】几何图形中的方程思想-公边问题(利用公边建立方程】1(2023春·新疆阿克苏·八年级校联考阶段练习)若一个直角三角形的两条直角边长分别是5cm和12cm，则斜边上的高为多少()80136013A.B.13C.6D设斜边上的高为hcmh∵直角三角形的两条直角边分别为5cm12cm，∴斜边长为12+52=13cm，1212∴直角三角形的面积为×12×5=×13·h，6013解得：h=故选：D．cm，面积的两种不同的表示方法得到等量关系是解题关键．1(2023春·内蒙古鄂尔多斯·八年级统考期末)2×21AB、CAC边上的高为()13235532A.5B.2C.C△ABCAC边上的高．12121232△ABC的面积：2×2-×1×2-×1×1-×1×2=，AC=2+12=5，设AC边上的高为x1232×5⋅x=，355x=，故选：C．答．2(2023春·辽宁朝阳·八年级校考期中)如果一个等腰三角形的腰长为1324的高为(A.12)B.24C.65DBD根据题意得，AB=AC=13BC=24AD⊥BC．1∴BD=BC=12，2在Rt△ADBAD+BD=AB2，∴AD=AB-BD2=13-122=5，5，故选：D．3(2022·全国·八年级课时练习)1．点ABC都在格点上，若BD是△ABCBD的长为．245545】##5】根据勾股定理计算ACABCAC=2+42=25，121212∵S△ABC=3×4-×1×2-×3×2-×2×4=4，1212∴∴AC•BD=4，×25BD=4，455∴BD=，455故答案为：．4(2023春·安徽合肥·八年级校考期末)1的网格中，△ABC△ABC中AB边上的高．95△ABC中AB边上的高为A作AD⊥BC的延长于点DC作CE⊥AB于点EAD,BC,BD的长，1212在Rt△ABDABS=BC·AD=AB·CEA作AD⊥BC的延长于点DC作CE⊥AB于点E，3∵△ABC1，∴AD=3BC=3BD=4，∴在Rt△ABD中，AB=AD+BD2=3+42=5，121∵S∴CE==BC·AD=AB·CE，23×35BC·ADAB9595==，．∴△ABC中AB边上的高为5Rt△ABC中，∠C=90°AC=8△ABE中，DE是AB边上的高，DE=12S=60．(1)求BC的长．(2)求斜边AB边上的高．(1)BC=6(2)斜边AB边上的高是4.8(1)根据在△ABE中，DE是AB边上的高，DE=12S=60AB股定理即可得到AB的长；(2)AB边上的高．(1)解：(1)∵在△ABE中，DE是AB边上的高，DE=12S=60，AB⋅DEAB×12∴=60=60AB=10，22∵在Rt△ABC中，∠C=90°AC=8，∴BC=AB-AC2=10-82=6；(2)解CF⊥AB于点F，AC∙CBAB∙CF∵AB=10,AC=8,BC=6，=，228×6210×CF∴=，2解得CF=4.8AB边上的高是4.8．6(2023秋·全国·八年级专题练习)在△ABC中，∠C=90°AC=3CB=4CD是斜边AB上高．(1)求△ABC的面积；(2)求斜边AB；4(3)求高CD．(1)△ABC的面积为6(2)斜边AB为5125(3)高CD的长为(1)根据三角面积公式底乘高除以2求出即可．(2)根据勾股定理求出AB．(3)根据等面积法求出高CD．1212(1)△ABC的面积=×AC×BC=×3×4=6．故△ABC的面积是6；(2)在Rt△ABC中，∠C=90°AC=3CB=4，∴AB=3+42=5；1212(3)∵×AC×BC=×CD×AB，1212∴×3×4=×5×CD，125解得CD=．125故高CD的长为．1已知在Rt△ABC中，∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为abca+b=10cm,c=8cmRt△ABC的面积为()A.9cm2B.18cm2C.24cm236cm2A】根据题意可知，Rt△ABC的面积为ab】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为abc，∴a+b=c2∵a+b=10cm,c=8cm∴2ab=a+b-a+b2=a+b-c=100-64=3612∴S=ab=9cm2故选：A．1在△ABC中，AD是BC边上的高，AD=4,AB=410,AC=5△ABC的面积为()A.18B.24C.18或2418或30D5】由勾股定理分别求出BD和CDAD在三角形的内部和AD式计算即可．解Rt△ABD中，由勾股定理得：BD=AB-AD2=12在Rt△ACD中，，由勾股定理得：CD=AC-AD2=5-42=3，分两种情况：①如图1AD在△ABC的内部时，BC=12+3=15，1212则△ABC的面积=BC×AD=×15×4=30；②如图2AD在△ABC的外部时，BC=12-3=9，1212则△ABC的面积=BC×AD=×9×4=18；综上所述，△ABC的面积为30或18，故选：D．题的关键．2直角△ABC三边长分别是xx+1和5△ABC的面积为6或30．】根据ΔABCΔABC解：ΔABCΔABCx+1与5(1)若x+1<5x+x+1=52，解得x=3，12S=×3×4=6；6(2)若x+1>5x+1-x=52，解得x=1212S=×5×12=30．ΔABC的面积为6或30．故答案为：6或30．x+1与5的大小是解题的关键．1(2023春·河南许昌·八年级校考期中)ABCD∠B=90°∠ACB=30°AB=6，AD=13CD=5．(1)求证：△ACD是直角三角形；(2)求四边形ABCD的面积．(1)见解析(2)183+30(1)根据30°角的直角三角形的性质得到AC=2AB=12(2)根据勾股定理得到BC=63(1)证明：∵∠B=90°∠ACB=30°AB=6，∴AC=2AB=12，在△ACD中，AC=12AD=13CD=5，∵5+12=132AC+CD=AD2，∴△ACD是直角三角形；(2)解：∵在△ABC中，∠B=90°AB=6AC=12，∴BC=AC-AB2=12-62=63，1212∴S=BC⋅AB=×63×6=183，1212又∵S=AC⋅CD=×5×12=30，∴S=SABC+S=183+30．∴四边形ABCD为183+30．30°股定理的逆定理是解题的关键．1(2023春·内蒙古呼伦贝尔·八年级校考期中)AD=4米，CD=3米，AB=13米，BC=12米，∠ADC=90°724平方米连接ACAC=AD+CD2=5直角三角形的面积公式求出结果即可．，AC+BC=AB2∠ACB=90°AC∵∠ADC=90°AD=4米，CD=3米，∴AC=AD+CD2=5米，∵AB=13米，BC=12米，∴AC+BC=AB2，∴∠ACB=90°，∴这块地的面积为：12112SABC-S=AC⋅BC-AD⋅CD1=×5×12-×3×422=24(平方米)．abca+b=c．如果一个三角形的三条边、、满足a+b=c2abc么这个三角形为直角三角形．2(2023春·安徽马鞍山·八年级校考期末)已知abc是△ABCa=23b=36c=66．(1)试判断△ABC(2)求△ABC的面积．(1)△ABC(2)92(1)根据勾股定理的逆定理进行计算即可求解；(2)根据三角形的面积公式进行计算即可求解．(1)解：△ABC是直角三角形．理由：∵a=23=12b=36=54c=66=66，∴a+b=c2，∴△ABC∠C是直角；12(2)解：△ABC的面积=×23×36=92．3(2023春·山东菏泽·八年级校考阶段练习)四边形草地ABCDAB=3mBC=4mCD=812mDA=13m∠ABC为直角．(1)求这个四边形草地的面积；(2)20(1)36m2(2)清理完这块草地杂草需要720元钱(1)连接ACAC∠ACD=90°S=SABC+S即可求解；(2)根据每平方米需要人工费20(1)AC，∵AB=3mBC=4m∠ABC为直角，∴AC=AB+BC2=3+42=5m，∵CD=12mDA=13m，∴AC+CD=5+12=169=AD2，∴∠ACD=90°，12121212∴S=SABC+S=AB⋅BC+AC⋅CD=×3×4+×5×12=36m2．(2)解：20×36=720(元)，720元钱．4(2022春·重庆綦江·八年级校考阶段练习)1．(1)求线段CD与BC的长；(2)求四边形ABCD的面积；(3)求证：∠BCD=90°．9(1)BC=25CD=5292(2)(3)见解析(1)根据勾股定理解答即可；(2)运用分割法解答即可；(3)连接BD(1)∵每个小正方形的边长都为1，∴BC=2+42=25CD=2+12=512121212(2)S=5×5-×1×5-×1×4-1×1-×1×2-×2×452=25--2-1-1-4292=(3)连接BD，∴BD=3+42=5，∵BC+CD=25+∴BC+CD=BD2，5=25BD=5=25，∴△BCDBD为斜边，∴∠BCD=90°．1(2023秋·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考期末)ABCD的面积分别是61046E的面积是()A.20B.26C.3052BABCD的面积和即为最大正方形的面积即可．10S=S+SGEF=S+S+S+SDABC=6+10+4+6=26故选B．1(2023·广西柳州·校考一模)如图，∠BDE=90°BEGC和正方形AFED的面积分别是289和225BD为直径的半圆的面积是()A.16πB.8πC.4π2πB利用勾股定理求出BD∵正方形BEGC和正方形AFED的面积分别是289和225，∴BE=289,DE=225，∵∠BDE=90°，∴BD=BE-DE2=289-225=8，1282∴以BD为直径的半圆的面积为：××π=8π；故选B．2(2023春·全国·八年级专题练习)Rt△ABCS,S,S且123S=4,S=8S=Rt△ABCS,S,SS,S,S三123123123者之间的关系为．】12；s+s=s312首先根据正方形面积公式得到三个正方形的面积与Rt△ABCRt△ABCS3SSS123∵ACBCAB都是正方形的边长，11∴S=AC2S=BC2S=AB2，123又∵△ABC是直角三角形，∴AC+BC=AB2，∴S=4+8=12，又∵Rt△ABCSSS，123123234∴S=×AC×AC×=×AC2，3434同理可得：S=×BC2S=×AB2，3∵△ABC是直角三角形，∴AC+BC=AB2，∴S+S=S．123故答案是：12S+S=S．1233(2023春·八年级课时练习)Rt△ABC中，∠C=90°∠A∠B∠C所对的边分别记作ab、c．如图1△ABCSSS123有S+S=S，123(1)如图2△ABCSSSS+S与12312S3(2)3S1S2Sa(2)S+S与S有怎样的数量关系；123(3)若Rt△ABC中，AC=6BC=84中阴影部分的面积．(1)S+S=S123(2)S+S=S123(3)24181818(1)由扇形的面积公式可知S=πAC2S=πBC2S=，πAB2Rt△ABC23得AC+BC=AB2S+S=S；12(2)根据(1)中的求解即可得出答案；(3)利用(2)中的结论进行求解．181818(1)∵S+S=πa+πb2S=πc2，123根据勾股定理可知：a+b=c2，∴S+S=S；123(2)解(1)a+b=c2S+S=S；12312(3)解(2)知S=S+S-S-S=SABC=×6×8=24．123124(2023春·江西南昌·八年级南昌市第三中学校考期中)勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，(如图1)(1)①如图234SSS3个图形中面积关系满足S+S=S的有个．123123②如图5(图中阴影部分)的面积分别为SSSS+S=SSSS的数量关123123123系．(2)一过程就可以得到如图67M的边长为定值mABCD的边长分别为abcda+b+c+d=．(1)①3②(2)m2(1)设两直角边分别为xyzxyz分别表示正方形圆x2a2b2ππab222+y=z2SSS②根据a+b=c2S+S=++-1231222c2πab2ab22=S=得S+S=S；2123(2)由题意知，S=a2S=b2S=c2S=d2，S+S+S+S=SM=m2ABCDABCD(1)xyz，则图2中，S=x，2S=y2S=z2，，123∵x+y=z2，∴S+S=S图2符合题意；123y222x2z2ππππx28πy28πz2822图3中，S==S==S==，2213πy28πx+y2πx28=πz28∵+=，8∴S+S=S图3符合题意；1233y24123x2412123z24图4中，S=x⋅x⋅sin60°=S=y⋅y⋅sin60°=S=z⋅z⋅sin60°=，3y243x+y23x24=3z24∵+=，4∴S+S=S图4符合题意；123∴这3个图形中面积关系满足S+S=S的有3个，123故答案为：3；a2b2c2πππab2ab2ab2222由题意知a+b=c2S+S=，++-=，S=3，12222∴S+S=S；123(2)S=a2S=b2S=c2S=d2，S+S+S+S=SM=m2，ABCDABCD∴a+b+c+d=m2，故答案为：m．几何图形中的方程思想-折叠问题(利用等边建立方程】1(2023春·河南许昌·八年级统考期中)已知直角三角形纸片ABC的两直角边长分别为68△ABCA与点BCE的长是()5474154254A.B.C.B根据图形翻折变换的性质可知，AE=BEAE=xBE=xCE=8-xRt△BCE中利用勾股定理即可求出CE的长度．解：∵△ADE翻折后与△BDE完全重合，∴AE=BE，设AE=xBE=xCE=8-x，∵在Rt△BCE中，CE=BE-BC2，即8-x=x-62，74解得，x=，7∴CE=故选：B．4141(2023春·湖北咸宁·八年级校考阶段练习)∠C=90°AC=4BC=3ABB落在直角边AC的延长线上的点EADBD的长为()3453A.B.1.5C.3C利用勾股定理求得AB=5AB=AE=5DB=DE得CE=1DB=DE=xCD=3-x1+3-x=x2∵∠C=90°AC=4BC=3，∴AB=3+42=5，由折叠的性质得，AB=AE=5DB=DE，∴CE=1，设DB=DE=xCD=3-x，在Rt△CED中，1+3-x=x2，53解得x=，故选：C．2(2023春·山东菏泽·八年级统考期中)如图，Rt△ABC中，∠B=90°AB=4BC=6△ABC折C与AB的中点DAC于点MBC于点NCN的长为．10】/3133由折叠的性质可得DN=CNDNCN的长．∵D是AB中点，AB=4，∴AD=BD=2，∵将△ABCC与AB的中点D重合，∴DN=CN，∴BN=BC-CN=6-DN，15在Rt△DBN中，DN=BN+DB2，∴CN=(6-CN)+22，103∴CN=，103故答案为：．(折叠问题)3(2023·辽宁葫芦岛·统考二模)Rt△ABC中，∠C=90°,∠A=30°,BC=2D是AC的中E是斜边ABDE所在直线把△ADE翻折到△DE的位置，于点．若DABF交△BAFAE的长为．651或分∠BFA=90°∠BAF=90°和∠BFA=90°∠C=90°,∠A=30°,BC=2D是ACAD=CD=3,根据∠BFA=90°以及翻折性质得出EA=ED,∠DEA=120°,∠BAF=90°EH⊥BA交的延长线于HAE=xRt△EHA和Rt△BEH中用勾股定理即可解答．∠BFA=90°时，在Rt△ABC中，∵∠A=30°,BC=2∴AB=2BC=4,AC=23,∵AD=CD,∴AD=CD=3,∵∠AFD=90°,∴∠ADF=60°,∴∠EDA=∠EDF=30°,∴∠A=∠EDA=30°,AD333∴EA=ED,∠DEA=120°,AE===1.∠BAF=90°EH⊥BA交的延长线于，AE=xH∵∠DAE=30°,∴∠EAH=60°,在Rt△EHA中，121232H=E=x,EH=3H=x,BE=4-x,在Rt△BEH中，∵EH+BH=BE,321222∴x+2+x=(4-x),65解得x=，1665AE的值为1或，6故答案为：1或．54(2022秋·河北张家口·八年级统考期中)在△ABC中，∠C=90°DE分别在ACAB边上(不与端点重合)．将△ADE沿DEA落在的位置．(1)与点B重合且BC=3,AB=5．①直接写出AC的长；②求△BCD的面积．(2)当∠A=37°．①与点在直线EACAC△DE∠EB-∠DCBC的大小；∠ADE的度数．②与点在直线E的一边与2116(1)①4②(2)①74°②∠ADE的度数分别为45°26.5°(1)①直接根据勾股定理即可求出AC的长；②设CD=xAD=BD=4-xx(2)①根据三角形的外角定理可得∠EB=∠A+∠AFE∠AFE=∠+∠DF②根据题意D∥BCE∥BC(1)Rt△ABCAC=AB-BC2=5-32=4，②设CD=xAD=4-x，∵将△ADE沿DEA落在的位置，∴AD=BD=4-x，在Rt△BCD3+x=4-x2，781解得：x=782116∴S=×3×=．2(2)解∵将△ADE沿DEA落在的位置，∠A=37°，∴∠=37°，∴∠EB=∠A+∠AFE=37°+∠AFE，∵∠AFE=∠+∠DF=37°+∠DF，∴∠EB=37°+∠AFE=37°+37°+∠DF=74°+∠DF，∴∠EB-∠DC=74°；17②当D∥BC∵D∥BC∠C=90°，∴∠ADA=90°，∵△ADE由△DE折叠所得，12∴∠ADE=∠ADA=45°；当E∥BC∵∠A=37°∠C=90°，∴∠B=90°-37°=53°，∵△ADE由△DE折叠所得，∴∠A=∠=37°，∵AE∥BC，∴∠B=∠EB=53°，∴∠AMA=180°-∠-∠EB=90°AB⊥D，∴∠ADA=90°-∠A=53°，12∴∠ADE=∠ADA=26.5°．综上：∠ADE的度数分别为45°26.5°．180°几何图形中的方程思想-公边问题(利用公边建立方程】1△ABC中，AB=10BC=9AC=17BC边上的高为．8】】作AD⊥BC交BC的延长于点DRt△ADB中，AD+DB=AB2根据AB-DB=AC-DC2列出方程即可求解．】Rt△ADC中,AD+DC=AC2，AD⊥BC交BC的延长于点D，则AD即为BC边上的高，在Rt△ADB中，AD+DB=AB2在Rt△ADC中,AD+DC=AC2，，18∴AB-DB=AC-DC2，∵AB=10BC=9AC=17，∴10-DB=17-DB+92，解得DB=6，∴AD=AB-DB2=10-62=8故答案为：8．1△ABC中，∠C=90°AD是△ABC的角平分线，CD=3BD=5AC=．6作DE⊥ABDE=CD=3BERt△ACD≅Rt△AEDHLAC=AEAC=AE=xAC．DE⊥AB于点E∵在△ABC中，∠C=90°AD是△ABC的角平分线，CD=3，∴DE=CD=3，∴BE=5-32=4，∵DC=DE,AD=AD，∴Rt△ACD≅Rt△AEDHL，∴AC=AE，设AC=AE=xAB=4+x,BC=3+5=8，在直角三角形ABCAC+BC=AB2，即x+8=x+42x=6，即AC=6；故答案为：6．2Rt△ABC和Rt△ADE中，∠B=∠D=90°AC=AEBC=DEBCDE交于点M．(1)A在∠M的平分线上；19(2)若AC∥DMAB=12BM=18BC的长．(1)见解析(2)5(1)连接AM明Rt△ABC≅Rt△ADE(HL)AB=AD题；(2)证明CM=ACBC=xCM=AC=18-x(1)AM，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∵∠B=∠D=90°AC=AEBC=DE，∴Rt△ABC≅Rt△ADE(HL)，∴AB=AD，∵AB⊥BMAD⊥DM，∴MA平分∠BMD，∴点A在∠BMD的平分线上；(2)解：∵AC∥DM，∴∠CAM=∠AMD，∴∠AMB=∠CAM，∴CM=AC，设BC=x，∴CM=AC=18-x，在Rt△ABC中，AB+BC=AC2∴12+x=(18-x)2，∴x=5．，∴BC=5．Rt△ABC≅Rt△ADE(HL)．】1(2022·全国·八年级)索OA悬挂于OA(AC=1尺)．将它往前推进两步(EB⊥OC于点EEB=10尺)B(BD=CE=5尺)秋千绳索(OA或OB)长尺．292】20】】设OB=OA=x(尺)Rt△OBE中利用勾股定理构建方程即可解决问题．】解OB=OA=x(尺)，在Rt△OBE中，OB=xOE=x-4BE=10，∴x=10+(x-4)2，292∴x=，292∴OA或OB的长度为(尺)．29故答案为：．21(2022·全国·八年级课时练习)如图12(图2为图1的平面示意图)