2023届高考数学一轮复习：函数的奇偶性与周期性专项练+

函数的奇偶性与周期性专项练

一、单选题

1.在R上定义的函数“X)是偶函数，且F(x)=f(2-x),若/(功在区间口，2］上是减函数,则/(X)

()

A.在区间［-2,-1］上是增函数，在区间［3,4］上是增函数

B.在区间上是增函数，在区间［3,4］上是减函数

C.在区间上是减函数，在区间［3,4］上是增函数

D.在区间［-2,-1］上是减函数，在区间［34］上是减函数

2.下列函数既是奇函数，又在(0,+8)上单调递增的是()

A.y=—xiB.y=^

C.y=log2XD.y=-3~x

3.定义在R上的偶函数4x)满足应r+3)=Ar).若/(2)>1J(7)=%则实数。的取值范围为()

A.B.(3,+00)

C.(-00,-1)D.(1,+8)

4.定义在R上的偶函数/⑶满足/。+2)=/(幻，且在上单调递减，设。=/(-2.8),

力=/(—1.6),c=/(0.5),则。，b,。大小关系是()

A.a>h>cB.c>a>b

C.b>c>aD.a>c>b

5.已知函数f(x)的图象关于原点对称，且周期为4,若/(-1)=2,则/(2021)=()

A.2B.0C.-2D.-4

6.设g(x)=ex—e~x,/(A),g(x)的定义域均为上下列结论错误的是()

A.k(x)|是偶函数B./(x)g(x)是奇函数

C.人力原到是偶函数D.f(x)+g(x)是奇函数

7.已知函数yR(x)+%是偶函数，且/(2)=1,则/(-2)=()

A.2B.3C.4D.5

8.若函数/(x)=ln(ar+Jx2+])是奇函数，则。的值为(

）

A.1B.-1

C.±1D.0

9.已知函数人处是定义在区间卜4句(。>0)上的奇函数，若g(x)=f(x)+2019,则g(幻的最大值与最小

值之和为()

A.0B.1C.2019D.4038

10.设函数则/⑶(）

A.是奇函数，且在(0,+oo)单调递增B.是奇函数，且在(0,+co)单调递减

C.是偶函数，且在(0,+8)单调递增D.是偶函数，且在(0,+8)单调递减

11.设人幻为奇函数，且当迂0时，风丫)二尸-1,则当x<0时，贝x尸()

A.er-lB.ev+I

rA

C.-e--lD.-e'+l

12.下列函数为奇函数的是()

A./（x）=x'+lB./（x）=ln-^-

C.=FD./（A）=xsinx

13.若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)+g(x)=ex,则g(x)=()

1

A-

2

B.

1D.1

c--

2(e2

14.若/>。）=（d-夕'）31-+法+<:）是偶函数，则一定有（）

A.b=0B.ac=O

C.a=0且c=0D.£7=0,c=0且Z#0

15.设函数/（x）=ln|2x+l|—In②—1],则危）（）

A.是偶函数，且在(；,+oo)单调递增B,是奇函数，且在(-；，)单调递减

C.是偶函数，且在(f,单调递增D.是奇函数，且在(-,-；)单调递减

二、填空题

16.若函数，(力=/1-54〕为偶函数，则"________.

Ie+U

17.已知产Ax)是奇函数，当它0时，y(A-)=xi,则长8)的值是.

18.已知/Xx)是奇函数，且当x<0时，f(x)=—e".若/(ln2)=8,贝ijo=.

19.若函数f(x)是定义R上的周期为2的奇函数，当OVxVl时，f(x)=4、则f(-3+f(2)

2

20.奇函数1工)的定义域为R,若«r+l)为偶函数，且41)=2,则44)+15)=.

三、解答题

-x2+2x,x>0

21.已知函数4x)=。x=0是奇函数.

x2+ftix,x<0

(1)求实数m的值；

(2)若函数次外在区间［-1,。-2］上单调递增，求实数。的取值范围.

22.已知函数y=_/U)在定义域［-1,1］上既是奇函数，又是减函数.

(1)求证：对任意打，心£［一1,1］，有伏力)+/(工2)卜(制+工2)4)；

(2)若火1一。)+41-。2)<0,求实数a的取值范围.

23.已知函数〃幻=手是奇函数.

(1)求实数〃的值；

(2)用定义证明函数/*)在R上的单调性：

(3)若对任意的xwR,不等式/(/7)+/(2/—攵)>0恒成立，求实数k的取值范围.

33

24.设函数4工)是定义在R上的奇函数，对任意实数x有/(5+幻=一/(5-冷成立.

(1)证明y=7(x)是周期函数，并指出其周期;

(2)若*1)=2,求,*2)+/(3)的值;

(3)若g(x)=f+依+3,且y=|/(x)卜g(x)是偶函数，求实数a的值.

25.设常数awH,函数f(x)=(a-x)IM.

(1)若加1,求段)的单调区间；

(2)若*x)是奇函数，且关于工的不等式如2+加利刈对所有的x£[_2,2]恒成立，求实数机的取值范

围.

1.B

【详解】

解：因为函数f(x)是偶函数，而偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反，

所以f(x)在区间［-2,-I］上是增函数.

又因为f(x)=f(2-x),且f(x)=f(-x),

故有f(-x)=f(2-x),即函数周期为2.

所以区间［3,4］上的单调性和区间［1,2］上单调性相同，

即在区间［3,4］上是减函数.

故选B

2.B

【详解】

A.函数y=一/为偶函数，不满足条件.

B.函数y=R为奇函数，在(0,+8)上单调递增，满足条件.

C.y=log>的定义域为(0,Ioo),为非奇非偶函数，不满足条件.

D.函数y=-31为非奇非偶函数，不满足条件.

故选：B.

3.D

【详解】

因为-x+3)=yu),所以兀0是定义在R上的以3为周期的周期函数，

所以贝7)=47—9)=4一2).

又因为函数_/(%)是偶函数，所以/(-2)=/⑵，所以/(7)=/(2)>1,

所以”>1.

故选：D.

4.D

【详解】

V偶函数/(X)满足/(x+2)="X),J函数的周期为2.

由于。=/(-2.8)=/(-0.8),^=/(-1.6)=/(0.4)=/(-0.4),c=/(0.5)=/(-0.5),

-0.8<-0.5<-0.4.且函数f(x)在［―1,0］上单调递减，・・・。>c>Z?.

5.C

【详解】

因为函数/*)的图象关于原点对称，且周期为4,

所以八幻为奇函数，

所以/(2021)=/(505x4+l)=/(I)==-2

故选：C

6.D

【详解】

/(x),g(x)的定义域均为R,故选项中所有函数的定义域均为/?,

f(-x)=e~x-}-ex=f(x),f(x)为偶函数.

g(—x)=e、-ex=—g(x),g(x)为奇函数.

1g(—DI=I—g(x)l=lg(x)l，lg(x)l为偶函数，A正确;

f(—x)g(-x)=/a)[—g(x)]=—/1(x)g(x),

所以f(x)g(x)为奇函数，B正确；

〃一切g(r)i=fa)ka)i,

所以fa)iga)i是偶函数，c正确；

/(x)+g(x)=2ej，

/(—x)+^(—x)=2e-A#-[/,(x)+g(x)],

所以f(x)+g(x)不是奇函数，D错误.

故选：D.

7.D

【详解】

・・・>=/(H+x是偶函数

.\/(x)+x=/(-x)-x

当x=2时，/(2)+2=/(-2)-2,又f(2)=l

"(-2)=5

故选D

8.C

【详解】

因为f(x)=ln(or++i)是奇函数,所以4—工)+外)=0即.卜⑪++l)+]n(or+Jf+])=o恒成

立，所以14(1-/卜2+1]=0,即(1一/卜2=0恒成立，所以1—2=0,即々=±1.

当4=1时，f(x)=ln(x+GTT),定义域为R,且，(T)+/(X)=O,故符合题意；

当。=T时，/(x)=ln(-x+V77T),定义域为R,M/(-x)+/(x)=O,故符合题意；

故选：C.

9.D

【详解】

••・/⑴是定义在区间[-明山(。>0)上的奇函数，

根据奇函数关于原点对称可知，/(X)的最大值最小值之和为0,

♦.遭(后=/(幻+2019,

•••g(x'="x)g+239,

g(x)*=/(Mj2019,

・•・g*L«+=/*)2+2019+/*).+2019=4038，

故选：D.

10.A

【详解】

因为函数定义域为{中工0},其关于原点对称，而/(一»=-/(刈，

所以函数“封为奇函数.

又因为函数y=d在((),+?)上单调递增，在(.？，0)上单调递增，

而y=g=<3在(0,+?)上单调递减，在(・？，0)上单调递减，

所以函数/(x)=F—g在(0,+?)上单调递增，在(-?,0)上单调递增.

故选：A.

11.D

【详解】

•••/(%)是奇函数，工之0时，f(x)=ex-\.

x

当x<0时，T>0,f(x)=-f(-x)=-e+\t得/(x)=—e7+l.故选D.

12.B

【详解】

由奇函数的定义，只有当/(用=心昼时，f(-x)=-fMt故选B.

13.D

【详解】

*/M为定义在R上的偶函数，，/(-x)=/(%),

又・・“。)为定义在R上的奇函数，g(-幻=-g(x),

由fM+g(x)=e\f(-x)+g(-x)=f(x)-g(x)=e~x,

•**g(x)=

故选：D.

14.C

【详解】

显然函数/(幻=(ex-e~x)(ax2+-+c)定义域为/?,

因〃力是偶函数,即"£R,f(F=fM,亦即(ex-e-x)(ax2+bx+c)=(e-x-ex)(ax2-bx+c),

整理得(ex-e~K)(2ax2+2c)=0,而ex-ex不恒为0,因此，2加+2。恒为0,即a=0且c-0,

当力也等丁。时，/@)=。也是偶函数，D不正确，

所以一定正确的是c.

故选：C

15.D

【详解】

由〃x)=ln|2x+l卜ln|2x-l|得“X)定义域为卜|工工士;卜关于坐标原点对称,

又f(-X)=1II|1-2A|—In|—2r-l|=ln|2A-l|-ln|2x+l|=—/(x),

・•・/(x)为定义域上的奇函数，可排除AC；

当时，/(A：)=ln(2x+l)-ln(l-Zr),

Q)，=ln(2x+1)在(一生)上单调递增，y=ln(l-2x)在卜;,£|上单调递减，

"(X)在信，上单调递增,排除民

当时，/(x)=ln(-2x-l)-ln(l-2x)=ln|^1=ln^l+^-j-^,

••・4=1+二在(-巴-力上单调递减，=在定义域内单调递增，

根据复合函数单调性可知：/(X)在上单调递减，D正确.

故选：D.

16.1或-1

【详解】

令〃(外=1-守，根据函数-钊]为偶函数，

ex+[(^+1)

可知”(x)=l—炉为奇函数，利用〃(0)=1—曰=0,

e+1e+I

可得“2=1，所以。=1或。=一1.

又当下=1时，«(X)=1----,U(-X)=\^―=-«(%),

且其定义域关于原点对称，故“X)为奇函数.

故答案为：1或-1.

17.-4

【详解】

/(8)=最=4,因为为奇函数，所以/(—8)=—/(8)=Y

故答案为：—4

18.-3

【详解】

因为f(x)是奇函数，且当x>0时一xvO,f(x)=-f(-x)=e-M.

又因为ln2e(O,l),/(In2)=8,

所以广神2=8,两边取以e为底的对数得-aln2=31n2,所以-〃=3,即a=-3.

19.-2

【详解】

:Ax)是周期为2的奇函数，

又«2)=犬0)=0,

因此/(-1)+7(2)=-24-0=-2.

20.2

【详解】

:/(x+l)为偶函数，段)是奇函数，

・・・贝一1+1)=於+1),

x)，y(o)=o,

・\/(x+1)=/(-4+1)=1),

，贡x+2)=-Ar),«r+4)=ym+2+2)=一｛x+2)=/m),

・\A幻是周期为4的周期函数，

则M=4))=0,购=川)=2,

・)4)+人5)=0+2=2.

故答案为：2.

21.(D2；⑵(1,3］.

【详解】

(1)设xVO,则r>0,

所以贝一x)=—(—X)2+2(—X)=—/—2X.

又Xx)为奇函数，所以/(x).

22

于是当xVO时，fi_x)=x+2x=x-\-rrvct

所以加=2.

(2)要使K0在［-1,〃一2］上单调递增，结合兀0的图象

知〈c1所以IV於3,

故实数。的取值范围是（1,3］.

22.（1）见解析；（2）0<«<1.

解析：

（1）证明：若X/+X2=o,显然不等式成立.

若M+X2<0,则一1SX/V—X201,

因为其T）在［-1,1］上是减函数且为奇函数，

所以贝内）~X2）=~fi,X2），所以J（XI）+加2）>0.

所以［/U/）+/（X2）］（X/+x2）V0成立.

若制+也>0,则1》/》一工2之一1,

同理可证J（XI）+«T2）<0.

所以凤⑺+.*X2）］（M+X2）V0成立.

综上得证，对任意七，七£［-1,1］,有伏.5+凡3）］（仃+］2把0恒成立.

（2）因为/（1-0+41一标）<0e/0—/）<-/（1一公=逃〃-1）,

［o<a2<2

所以由；W在定义域［-1,1］上是减函数，得一IKa-lKln0K。<2

\-a2>a-\a2+a-2<0

解得叱

23.（1）1；（2）证明见解析；⑶^<-­

【详解】

（1）二•函数〃唠的定义域为&,且F。）是奇函数，・・・/（0）=0,解得。=1

此时/。）=2，-2-3满足/（t）=一/（力,即/⑴是奇函数.

（2）任取对％2£（-8,+8）,且％则2%<2*2,（；）>（g）,

于是f（百）-小）=2所-呆2町+表=2丁28+（{f{{f<°

即/（X|）</（W），故函数/（X）在（-8，+2）上是增函数.

（3）由3（/-力一心2-9及〃%）是奇函数,知/（/一到>/,一2f）

又由f（x）在（YO,+OO）上是增函数，得即％<3/-x对任意的xeR恒成立

•・•函数了=3/一”开口朝上，且对称轴x=，.

O

・••当x=1时，y=3/_”取最小值为一」.

o12

24.(1)3,(2)-2,(3)4=0.

【详解】

33

试题分析：(1)由可得/&+3)=-/(一为，由人力是定义在R上的奇函数得

-/(-x)=/(x),故/(x)=/(x+3)；(2)根据奇偶性和T=3W/(2)=/(-l)=-/(D=-2,

/(3)=/(0)=0；(3)可证明y=|/(刈是偶函数，由y=|f(刈・g(x)是偶函数，得g(x)=f+以+3为偶

函数，故4=0.

试题解析：(1)由/弓+工)二一/4一幻，且/(一用=一/。)知

/(3+x)=/[|+(1+x)]=-/[|-(1+x)]=-/(-x)=/(x),所以y=f(用是周期函数，且7=3是其一个周

期.

(2)因为/⑴为定义在R上的奇函数，所以f(0)=0,且f(-D=-f(1)=-2,又7=3是y=f(x)的一个

周期，所以/(2)