2025届高三数学一轮总复习 第二章 第五讲 指数与指数函数

第五讲指数与指数函数第二章函数、导数及其应用

1.根式2.有理数指数幂

3.指数函数的概念

一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是底数.[注意]形如y＝kax，y＝ax＋k(k∈R且k≠0，a>0且a≠1)的函数叫做指数型函数，不是指数函数.底数a>10<a<1图象性质定义域为R，值域为(0，＋∞)图象过定点(0，1)4.指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象与性质底数a>10<a<1性质当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1当x>0时，0<y<1；当x<0时，y>1在定义域R上为增函数在定义域R上为减函数(续表)

【名师点睛】(1)指数函数的图象与底数大小的比较 如图2-5-1是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b＞0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数的图象越高，底数越大.图2-5-1

(2)指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a＞1与0＜a＜1来研究.考点一指数幂的运算答案：B2.对下列式子化简求值.【题后反思】(1)指数幂的运算首先将根式化为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序.(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母，又含有负指数.

考点二指数函数的图象[例1](1)(多选题)若函数y＝ax＋b－1(a>0，且a≠1)的图象经过第一、三、四象限，则下列选项中正确的有()A.a>1C.b>0

B.0<a<1D.b<0

解析：因为函数y＝ax＋b－1(a>0，且a≠1)的图象经过第一、三、四象限，所以其大致图象如图2-5-2所示.由图象可知函数为增函数，所以a>1，当x＝0时，y＝1＋b－1＝b<0.故选AD.图2-5-2答案：AD(2)若函数y＝|2x－1|的图象与直线y＝b有两个公共点，则b的取值范围为________.解析：作出曲线y＝|2x－1|的图象与直线y＝b，如图2-5-3所示.由图象可得b的取值范围是(0，1).图2-5-3答案：(0，1)【题后反思】

(1)对于指数型函数的图象问题，一般从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到指数型函数的图象.特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应分类讨论. (2)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合进行求解.【变式训练】1.(多选题)(2023年淄博市校级期末)已知函数f(x)＝|2x－1|，实)数a，b满足f(a)＝f(b)(a＜b)，则( A.2a＋2b＞2 B.∃a，b∈R，使得0＜a＋b＜1 C.2a＋2b＝2 D.a＋b＜0解析：画出函数f(x)＝|2x－1|的图象，如图D4所示，

图D4由图知1－2a＝2b－1，则2a＋2b＝2，故A错误，C正确；所以2a＋b＜1，则a＋b＜0，故B错误，D正确.故选CD.答案：CD

2.函数y＝ax－b(a＞0，且a≠1)的图象经过第二、三、四象限，则ab的取值范围是________.答案：(0，1)考点三指数函数的性质及应用考向1利用指数函数的单调性比较大小

通性通法：比较指数式的大小时，能化成同底数的，先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小.A.b<a<cC.b<c<a

B.a<b<cD.c<a<b(0，＋∞)上单调递增，得a<c.由y＝2x

在R上单调递增，得b<a，故b<a<c.故选A.答案：A)f(b)，f(c)的大小关系为( A.f(b)<f(a)<f(c) C.f(c)<f(a)<f(b)

B.f(c)<f(b)<f(a)D.f(b)<f(c)<f(a)答案：B考向2与指数函数有关的复合函数的单调性

通性通法：求解与指数函数有关的复合函数的问题时，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质进行分析判断.[例3](1)已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数).若f(x)在区间[2，＋∞)上单调递增，则m的取值范围是________.答案：(－∞，4](2)函数f(x)＝4x－2x+1的单调增区间是________.

解析：f(x)＝(2x)2－2·2x＝(2x－1)2－1，设t＝2x，其在R上单调递增，y＝(t－1)2－1在[1，＋∞)上单调递增，∴2x≥1，∴x≥0.答案：[0，＋∞)考向3函数的最值问题通性通法：对可化为a2x＋b·ax＋c＝0形式的方程或a2x＋b·ax＋c≥0(≤0)形式的不等式，常借助换元法解题，但应注意换元后“新元”的取值范围.

[例4]设函数y＝a2x＋2ax－1(a>0，且a≠1)在区间[－1，1]上的最大值是14，则a的值为________.【考法全练】1.(考向1)已知a＝20.2，b＝0.40.2，c＝0.40.6，则(

)A.a＞b＞cC.c＞a＞b

B.a＞c＞bD.b＞c＞a

解析：由0.2＜0.6，0.4＜1，并结合指数函数y＝0.4x

在R上单调递减，可知0.40.2＞0.40.6，即b＞c.因为a＝20.2＞1，b＝0.40.2＜1，所以a＞b，所以a＞b＞c.故选A.

答案：AA.(－∞，4)B.(0，＋∞)C.(0，4]D.[4，＋∞)答案：C⊙指数运算的实际应用

[例5]实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系.为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，“鹊桥”沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行.L2

点是平衡点，位于地月连线的延长线上.设地球质量为M1，月球质量为M2，地月距离为R，L2点到月球的距离为r，根据牛顿运动定答案：D

【反思感悟】高考题只是把物理竞赛题中个别背景与条件进行变更，难度相似.与传统的解方程问题相比，本题以学生熟悉的“嫦娥四号”为背景，看起来是物理问题，实则考查数学中的解方程、求近似值的内容.让学生感悟数学来源于生活，数学和物理不分家，考查了转化与化归能力，空间想象能力，以及运算求解能力，很好地考查了逻辑推理、直观想象、数学运算的核心素养.

【高分训练】

(2023年佛山市期末)在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以6.25%的增长率呈指数增长，已知经过30天以后，该湖泊的蓝藻数大约为原来的6倍，那么经过60天后该湖泊的蓝藻数大约为原来的()A.18倍B.24倍C.36倍D.48倍

解析：某湖泊中的蓝藻每天以6.25%的增