专题02 数与式的相关计算（原卷版）

专题02数与式的相关计算目录热点题型归纳 1题型01实数的运算 1题型02代数式求值 3题型03整式的混合运算 4题型04分式的混合运算 5题型05二次根式的混合运算 7题型06化简求值 9题型07非负数 10中考练场 10 题型01实数的运算【解题策略】（1）绝对值化简：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数：（2）根式化简：；（3）指数化简：不会改变原数的正负性；（4）特殊的三角函数值要记牢。实数的运算：实数的运算加法同号两数相加，取原来的符号。并把它们的绝对值相加。异号两数相加，取绝对储较大的加数的符号，并用较大数的绝对值减失较小数的绝对值。减法减去一个效等于加上这个数的相反数乘法两数相乘，同号得正，异号得负，并把它们的绝对值相乘几个非零实数相乘。积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数有奇数个时，积为负n个数相乘，有一个因数为0，积为0.除法两数相除，同号得正，异号得负，并把它们的绝对值相除0除以任何一个不等于0的数都得0乘方几个相同因数的积的运算，叫做乘方，记作an（a≠0，n为正整数）开方与乘方互为逆运算运算顺序分级：加减是一级运算。除是二级运算，乘方和开方是三级运算，三级运算的题序是三二一、（如果有括号，先算括号内的；如果没有括号，在同一级运算中，要从左至右进行运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算）【典例分析】（2023·北京）计算：4sin 60例2．（2023·湖南）计算：8−2sin30°−|1−【变式演练】（2024·陕西模拟）计算：|−232.（2024·湖南模拟）计算：3题型02代数式求值【解题策略】代数式的概念及求值1．代数式的概念用基本运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方等)把数与字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或者一个字母也是代数式．2．代数式的值用具体数代替代数式中的字母，按运算顺序计算出的结果叫做代数式的值。求代数式的值分两步；第一步，代数；第二步，计算。要充分利用“整体”思想求代数式的值.【典例分析】例1．（2024·内蒙古模拟）先化简，再求值：a(a−2b)−(a+b)(a−b)，其中a=12，b=−1．例2．（2024·安徽模拟）已知：x2=y3=z【变式演练】1.（2024·全国模拟）先化简，再求值：(2x+y)2+(x−y)(x+y)−5x(x−y)，其中x=22.（2024·江苏模拟）先化简，再求值：x(x+2)−(x+1)(x−1)，其中x=12题型03整式的混合运算【解题策略】幂的运算：①同底数幂的乘法：am·an=am+n；②幂的乘方：(am)n=amn；③积的乘方：(ab)n=anbn；④同底数幂的除法：am÷an=am-n。整式乘法公式：①平方差公式：（a+b）（a-b）=a²-b²；②完全平方公式：（a±b）²=a²±2ab+b²。运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的，先算括号内的，去括号时，先去小括号，再去中大括号。整式运算幂的运算同底数幂乘法am·an＝am＋n（a≠0）am＋n＝am·an同底数幂除法eq\f(am,an)＝am－n(m，n是正整数)am－n＝eq\f(am,an)幂的乘方(am)n＝amn（a≠0）amn＝(am)n积的乘方(ab)n＝anbnanbn＝(ab)n乘法公式平方差公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2a2－b2＝(a＋b)(a－b)完全平方公式(a±b)2＝a2±2ab＋b2a2±2ab＋b2＝(a±b)2整式加减①整式的加减其实就是合并同类项；②整式加减的步骤：有括号，先去括号；有同类项，再合并同类项．注意去括号时，如果括号前面是负号，括号里各项的符号要变号．整式乘法①单项式与单项式相乘：把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式，只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．②单项式与多项式相乘：m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mC．③多项式与多项式相乘：(m＋n)(a＋b)＝ma＋mb＋na＋nb．整式除法①单项式除以单项式：把系数、同底数幂相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．②多项式除以单项式：(a＋b)÷m＝a÷m＋b÷m.【典例分析】例1．（2023·福建模拟）先化简，再求值：[(x+2y)2−(x+y)(3x−y)−5y2【变式演练】1.（2023·湖南模拟）先化简，再求值：a(a−2b)−(a−1)2−2a，其中a=−1，b=2.（2023·全国模拟）已知3a2−4a−7=0，求代数式(2a−1题型04分式的混合运算【解题策略】在运算过程中去括号时，括号前面是“﹣”，去掉括号和它前面的“﹣”号，括号里面的每一项都要改变符号分式混合运算应注意的七点1．注意分式混合运算的顺序.2．进行分式与整式的加减运算时,可将整式视为分母为1的代数式,然后与分式进行通分,再依照运算法则进行运算.3．除法运算一定要转化为乘法后再运算,如果分子、分母是多项式,可先将分子、分母因式分解,再进行运算.4．分式的混合运算中,若有“A(B+C)”这种形式,且A·B,A·C均可约分时,可利用乘法分配律简化运算.5．进行分式的加减运算时,注意与分式方程的解法区别开来,不要“去分母”.6．化简结果要最简.7．代入求值时,尽可能用“整体代入法”求值,且代入的值不能使原式中的分式和化简过程中出现的分式的分母为0.分式运算分式加减同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减，即eq\f(a,c)±eq\f(b,c)＝eq\f(a±b,c).异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后相加减，即eq\f(a,b)±eq\f(c,d)＝eq\f(ad±bc,bd).分式乘除分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母，即eq\f(a,b)·eq\f(c,d)＝eq\f(ac,bd).分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即eq\f(a,b)÷eq\f(c,d)＝eq\f(a,b)·eq\f(d,c)＝eq\f(ad,bc)分式的混合运算在分式的加减乘除混合运算中，应先算乘除，进行约分化简后，再进行加减运算，遇到有括号的，先算括号里面的．运算结果必须是最简分式或整式．【典例分析】例1．（2024·安徽模拟）(2023·合肥三模)化简：a2−2a+1a2+a例2．（2023·江苏模拟）计算：(x【变式演练】1.（2024·四川模拟）计算：

m+2+52−m2.（2023·辽宁模拟）计算：1a+1÷a+2题型05二次根式的混合运算【解题策略】一、二次根式的性质（1）()2＝a(a≥0)．（2）＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a（a≥0），,－a（a<0）.))（3）＝·(a≥0，b≥0)．（4）(a≥0，b>0)．（5）双重非负性：二次根式⇒eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(被开方数a≥0,\r(a)≥0))二、二次根式的运算1．二次根式的加减：先将各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式．2．二次根式的乘除（1）二次根式的乘法：·＝eq\r(ab)(a≥0，b≥0)；(2)二次根式的除法：＝eq\r(\f(a,b))(a≥0，b＞0)；（3）二次根式的运算结果一定要化成最简二次根式或整式．3．二次根式的开方：＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a（a≥0），,－a（a＜0）.))4．二次根式的混合运算在进行二次根式的混合运算时，应注意以下几点：（1）二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序相同，即先乘方，再乘除，最后算加减，有括号要先去括号；（2）加法的交换律、结合律，乘法的交换律、结合律和对加法的分配律在二次根式的混合运算中仍然适用；（3）多项式的乘法公式仍然适合于二次根式的运算；（4）二次根式混合运算的结果要化为最简二次根式．【典例分析】例1．（2024·四川模拟）计算下列各题．(1)(2)3×1【变式演练】1.（2023·广东模拟）计算：482.（2023·云南模拟）计算：(43−3题型06化简求值【解题策略】1.分式化简(求值)的步骤及注意事项步骤(1)凡是遇见分子、分母是多项式，先因式分解，然后通分或约分；(2)有括号先计算括号里面的；(3)进行乘除计算；(4)进行加减运算；(5)代入求值注意事项(1)化简求值题一定要做到“先”化简，“再”求值；(2)通分时要记得给不含分母的项乘最简公分母；(3)化简结果应为最简分式或整式；(4)求值时必须保证所“代”数值使原分式的分母及运算过程中分式的分母都不为0【典例分析】例1．（2024·广东模拟）先化简再求值：(1−1x−1)÷x2例2．（2023·江苏模拟）先化简、再求值：(1−2x)【变式演练】1.（2023·湖南模拟）先约分，再求值：2x+6x2−4x+4⋅x−22.（2023·辽宁模拟）先化简(1−3a+2)÷a2−2a+1a题型07非负数【解题策略】1.常见的非负数有(a≥0)，|a|，a2.2.若几个非负数的和为0，则这几个非负数均为0.如：若|，则a＝b＝c＝__0_．【典例分析】例1．（2024·甘肃模拟）先化简，后求值：3a2−b2例2．（2024·安徽模拟）若|m+4|与n2−2n+1互为相反数，把多项式x【变式演练】1.（2023·广东）已知a−2+|b−2a|=0，则a+2b的值是(

)A.4 B.6 C.8 D.102.（2023·湖南）已知等腰三角形的三边x、y、z满足(x−4)2+y−2+|z−a|=0A.2 B.3 C.4 D.2或41.（2023·江苏）计算：|3−1|+(π−32.（2023·广东）计算：(1+π)0+2−|−3|+2sin3.（2023·湖南）计算：π−3.140+−14.（2023·湖南）先化简，再求值．

(x+y)(x−y)−(4x3y−8xy3)÷2xy，其中5.（2023·