考点04 等腰三角形与直角三角形（解析版）

考点四等腰三角形与直角三角形知识点整合一、等腰三角形1．等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）．推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合．推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°．2．等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）．这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等．推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形．推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．二、等边三角形1．定义：三条边都相等的三角形是等边三角形．2．性质：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°．3．判定：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．三、直角三角形与勾股定理1．直角三角形定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．性质：（1）直角三角形两锐角互余；（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；（3）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．判定：（1）两个内角互余的三角形是直角三角形；（2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．2．勾股定理及逆定理（1）勾股定理：直角三角形的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即：a2+b2=c2．形．考向一等腰三角形的性质判定1．等腰三角形是轴对称图形，它有1条或3条对称轴．2．等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°．学-科网3．等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）．4．等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则<a．5．等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A，底角为∠B、∠C，则∠A=180°-2∠B，∠B=∠C=．6．等腰三角形的判定定理是证明两条线段相等的重要依据，是把三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据．7．底角为顶角的2倍的等腰三角形非常特殊，其底角平分线将原等腰三角形分成两个等腰三角形．典例引领1．如图，边长为12的等边，F是边AC的中点，点D是线段BF上的动点，连接AD，在AD的右侧作等边，连接CD、CE、EF，下列说法正确的有（

）个．①；②；③；④的周长最小值为18；⑤的大小随着点D的移动而变化．A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定等．根据三线合一定理即可判断①；证明是线段的垂直平分线，得到，再由等边三角形的性质证明，即可判断②③；根据点到直线的距离垂线段最短可知当即D与F重合时，最小，即此时的周长最小，即可判断④；证明，得到即可判断⑤．【详解】解：∵是等边三角形，F是边的中点，∴，故①正确；∴是线段的垂直平分线，∴，∵是等边三角形，∴，∴，故③正确；∴，故②正确；∵D在线段上，∴当即D与F重合时，最小，即此时的周长最小，∵等边三角形的边长为6，F是边的中点，∴，∴的周长的最小值为，故④错误；∵都是等边三角形，∴，∴，∴，∴，故⑤错误；∴正确的一共有3个，故选：B．2．如图，在等腰三角形中，，D为的中点，点E在上，，若点P是等腰三角形的边上的一点，则当为等腰三角形时，的度数是（

）A． B． C．减 D．或【答案】C【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．过D作，，易证，，再根据四边形内角和即可得到答案．【详解】解：连接，∵，，∴，∵点P是等腰的腰上的一点，，D为的中点，∴，过D作，，∴，在与中，，∴，∴，∵，∴，同理可得，∴，∴，故选C二、填空题3．如图，在中，，，D为中点，P为上一点，E为延长线上一点，且．有以下结论：①；②为等边三角形；③；④．其中正确的结论有（填序号）【答案】①②③④【分析】本题考查垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形全等的判定与性质，根据D为中点，得到垂直平分，即可得到，结合，即可得到，从而得到，，即可判断①，结合内外角关系即可判断角②，作P关于的对称点，证明即可判断③，过作，在上截取，证明，结合面积公式即可得到答案；【详解】解：连接，延长交于，∵D为中点，，∴垂直平分，∴，∵，∴，∴，，∵，∴，故①正确，由①得，，∵，∴为等边三角形，故②正确，作P关于的对称点，如图所示∵为等边三角形，∴，，∴，∵P关于的对称点是，∴，，，∴，∴，又∵，，∴，∴，∴，故③正确，过作，在上截取，连接，∵，，∴，，∵，∴是等边三角形，∴，∴，∵，，∴，∴，，∵，∴，∵，故④正确，故答案为：①②③④．4．如图，在中，与的平分线交于点O，过点O作，分别交于点．若，则的周长是．【答案】10【分析】本题考查了角平分线定义，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质．先根据角平分线的定义及平行线的性质证明和是等腰三角形，再由等腰三角形的性质得，，从而得出答案，有效的进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．【详解】解：，，与的平分线交于点O，，，的周长为，故答案为：10．5．如图，为内一点，平分，，，若，，则的长为．【答案】0.6/【分析】本题主要考查了角平分线、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线是解题关键．延长，交于点，首先证明，由全等三角形的性质可得，进而可得，，再结合，可得，然后根据三角形“三线合一”的性质，即可获得答案．【详解】解：延长，交于点，如下图，∵平分，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，又∵，，∴．故答案为：0.6．变式拓展6．（1）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了这样的问题：如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长到点E，使，连结．请根据小明的方法思考：如图2，由已知和作图能得到的理由是选填（SSS，SAS，AAS，ASA）（2）【问题解决】根据图2，求出中线的取值范围．【感悟】解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．（3）【拓展延伸】如图3，是的中线，交于点E，交于F，且．求证：．【答案】（1）；（2）；（3）见详解【分析】本题主要考查全等三角形与等腰三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键；（1）根据题意可直接进行求解；（2）由（1）及全等三角形的性质可进行求解；（3）延长到点H，使得，连接，易得，，则有，然后问题可求证．【详解】（1）解：如图2，延长到点E，使，连结．∵点D是的中点，∴，在和中，，∴；故答案为；（2）由（1）可知：，∴，∴，∴，即，∴；（3）证明：延长到点H，使得，连接，如图所示：同理（1）可得，∴，∵，∴，∴，∴，∴．7．（1）阅读理解如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点使，连接，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是．这种方法叫做倍长中线法．（2）问题解决：如图2，，，此时成立吗？请说明你的理由．（3）问题拓展：如图3，已知：，，，，为的中线，反向延长交于点，求证：．【答案】（1）；（2）成立，理由见解析；（3）证明见解析．【分析】（1）延长至，使，连接，由证明，得出，在中，由三角形的三边关系求出的取值范围，即可得出的取值范围；（2）延长至，使，连接，证明，可得到，，再证明，可得．（3）延长到，使得．首先证明四边形是平行四边形，再证明，推出，由，推出，推出，即可解决问题；【详解】（1）解：延长至，使，连接，如图1所示：，是边上的中线，，在和中，，，，在中，由三角形的三边关系得：，，即，；故答案为：；（2）解：成立．理由：延长至，使，连接，如图2所示：在和中，，，，，，，，．（3）证明：如图，延长到，使得．，，四边形是平行四边形，，，，，，，，，，，，，，．【点睛】本题是三角形的综合题，考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，余角的性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．8．如图，在中，、分别为、边的垂直平分线，连接、．

(1)求证：；(2)若，，则的周长为．【答案】(1)见解析(2)15【分析】本题考查垂直平分线性质，三角形内角和定理，等边三角形判定及性质．（1）根据题意连接，利用垂直平分线性质即可得到本题答案；（2）利用角平分线性质可得，利用三角形内角和得，再得，可知为等边三角形，继而得到本题答案．【详解】（1）解：连接，

，∵、分别为、边的垂直平分线，∴，∴；（2）解：∵、分别为、边的垂直平分线，∴，∵，∴，∴，，∴，∵，∴为等边三角形，∵，∴的周长：，故答案为：．9．如图所示，在中，，F是延长线上一点，点E在上，且．

求证：(1)；(2)判断的关系，并证明．【答案】(1)见解析(2)，证明见解析【分析】本题考查了直角三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质．（1）先判断为等腰直角三角形得到，然后根据“”即可证明；由（1）知，根据全等三角形的性质即可得到．【详解】（1）证明：∵，∴，∵，∴为等腰直角三角形，∴，在和中，，∴；（2），证明：由（1）知，．考向二等边三角形的性质与判定1．等边三角形具有等腰三角形的一切性质．2．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴．3．等边三角形的内心、外心、重心和垂心重合．4.在等腰三角形中，只要有一个角是60°，无论这个角是顶角还是底角，这个三角形就是等边三角形．典例引领1．如图，等边与正方形的重叠，其中、两点分别在、上，且，若，，则的面积为．

【答案】/【分析】本题考查了等边三角形的性质和判定，含度角的直角三角形的性质；过作于，根据等边三角形的性质和判定和正方形的性质求出，，，，求出，求出和，即可求出答案．【详解】解：过作于，

则，是等边三角形，，，，，，是等边三角形，且边长为，，，，四边形是正方形，，，，，，的面积，故答案为：．二、解答题2．如图，为线段上一动点，（不与点、重合），在同侧分别作正和正，与交于点，与交于点，与交于点，连接．(1)求证：；(2)求证：是等边三角形；(3)若改变的位置，其余条件都不变，点恰好为的中点时，请问是否也为的中点，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)是，理由见解析【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．（1）结合等边三角形的性质，利用“”证明，即可证明结论；（2）首先证明，再利用“”证明，由全等三角形的性质可得，即可证明结论；（3）首先根据等腰三角形“三线合一”的性质可得，即，再结合全等三角形的性质可得，即，然后利用等腰三角形“三线合一”的性质即可证明为中点．【详解】（1）证明：∵和是正三角形，∴，，，∴，即，在和中，，∴，∴；（2）∵，∴，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，又∵，∴是等边三角形；（3）∵为中点，为等边三角形，∴，∴，由（2）可知，，∴，即，∵为等边三角形，∴为中点．3．已知：如图，点D在等边三角形的边上，延长至点E使，连接交于点F．求证：．【答案】见详解【分析】本题主要考查等边三角形的性质与判定、平行线的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握等边三角形的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键；过点D作，交于点H，由题意易得，然后可证，进而问题可求证．【详解】证明：过点D作，交于点H，如图所示：∵是等边三角形，∴，∵，∴，，∴是等边三角形，∴，∵，∴，∴，∴．4．如图，已知等腰中，，，，点关于直线的对称点为点，连接，连接交于点，连接交于点，交于点．(1)如图1，当时，①补全图形；②探究与的数量关系，并说明理由；(2)在直线绕点顺时针旋转的过程中，当为等腰三角形时，利用备用图直接求出的值为______．【答案】(1)①图形见详解，②，理由见详解(2)或【分析】（1）①根据题意直接进行作图即可，②连接，由题意可得，进而可得，，，证明，最后利用直角三角形的性质得出，即可得出与的数量关系．（2）如图2，求得是等腰三角形，求出，，然后进行分类求解即可．【详解】（1）解：①如图1：

②，连接，∵点关于直线的对称点为点，∴垂直平分，

∴，∴，，∵，∴，∵，∴，∴为等边三角形，∴，∴，∴，又，平分，∴，∴，∴，∴．（2）如图2，

∵，∴是等腰三角形，∴，∴，当时，；当时，；当时，（舍去）．故答案为：或．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定、三角形内角和定理、轴对称的性质，直角三角形的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的性质与判定及等边三角形的性质与判定是解题的关键．5．在等边中，D为边的中点，点N在边的延长线上，且．

(1)如图1，点M在边上，求证：；(2)如图2，点M在边的延长线上，试探究，与等边边长的数量关系：【答案】(1)见解析(2)【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、等边三角形的判定及性质、平行线的性质：（1）作交于，根据等边三角形的判定及性质可证得是等边三角形，再利用证得即可求证结论；（2）作交于，由（1）同理可证，得出，进而可求得，即可求解；根据相关知识证明是解题的关键．【详解】（1）证明：作交于，如图：

是等边三角形，，，D为边的中点，，，，是等边三角形，，，，，，，，在和中，，，．（2）解：，理由如下：作交于，如图：

由（1）同理可证，，．变式拓展6．综合与探究【问题情境】在等边中，是边上的一个定点，是上的一个动点，以为边在的右侧作等边，连接．【特例研究】如图，当点在边上时，过点作交于点．此时的形状是；与的数量关系是．试猜想之间的数量关系，并说明理由．【拓展探究】（）如图，当点在的延长线上时，（）中的猜想是否依然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出正确的猜想并说明理由．【答案】（）等边三角形，；，理由见解析；（）（）中的猜想不成立，正确的猜想是，理由见解析．【分析】（）由和是等边三角形可得，由可得，即可得到是等边三角形，进而可得；．由可证，可得CN=MH，利用等量代换即可求证；（）过点作，交于，先证是等边三角形，可得，由可证，可得，利用等量代换即可求解；本题考查了全等三角形判定和性质，等边三角形的判定和性质，平行线的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．【详解】解：∵和是等边三角形，∴，，，∵，∴，，∴，∴是等边三角形，∴，故答案为：等边三角形，；，理由如下：∵，∴，在和中，，∴，∴，∴即；（）（）中的猜想不成立，正确的猜想是，理由如下：如图，过点作，交于，∵和是等边三角形，∴，，，∵，∴，，∴，∴是等边三角形，∴，∵，∴,在和中，，∴，∴，∴，即．7．如图，在中，，，是的中点，是的中点，连接并延长至，使，连接，．(1)若，则______；(2)求证：是等边三角形．【答案】(1)2；(2)见解析．【分析】本题主要考查含30度直角三角形的性质及等边三角形的性质与判定、垂直平分线的判定及性质，熟练掌握含30度直角三角形的性质及等边三角形的性质与判定是解题的关键．（1）由题意可知，为的斜边中线，故，所以是等边三角形，根据等边三角形的性质可求解；（2）由（1）知是等边三角形，然后可得，可知是的垂直平分线，即，而，最后问题可求证．【详解】（1）解：，，，点为的中点，，，是等边三角形，，点为的中点，，故答案为：2；（2）证明：由（1）知，是等边三角形，点为的中点，，，是的垂直平分线，，，是等边三角形．8．如图，在等边三角形中，点为边上任意一点，延长至点，使，连接交于点，于点．(1)求证：；(2)若，求线段的长．（结果用含的代数式表示）【答案】(1)见解析(2)【分析】本题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，平行线的性质等，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．（1）过点作，交于点，根据等边三角形的性质以及平行线的性质可得，可得是等边三角形，易证，即可得证；（2）根据等边三角形的性质可知，根据全等三角形的性质可知，即可表示出的长．【详解】（1）证明：过点作，交于点，如图所示：在等边中，，，，，，是等边三角形，，，，在和中，，，；（2）解：是等边三角形，且，，，，，，，．9．如图，中，，是边上的中线，以为边向外作等边，与交于点．(1)求证：；(2)若，求的度数；(3)在（）的条件下，若，求的值．【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)．【分析】（）根据等腰三角形三线合一的性质即可求证；（）先由，求出，再根据是等腰三角形即可求出即可求出；（）在上取一点，使得，即可得出是等边三角形，易证，，则，由（）知，即可解答；本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，含的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．【详解】（1）∵，是边上的中线，∴；（2）∵，，∴，∵是等边三角形，∴，，∴，∴，∴；（3）在上取一点，使得，∵，，∴，∴是等边三角形，∴，，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴．10．如图，在等边中，点D、点E分别在、上，且，连接、相交于点F．

(1)求的度数；(2)连接，若，，求的长．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，关键是根据等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于；三条边相等．（1）因为为等边三角形，所以，，又，所以用“”可判定，根据全等三角形的性质得出，利用三角形外角性质解答即可；（2）利用等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质进而解答即可．【详解】（1）为等边三角形，，，在和中，，；，，；（2）延长至，使，连接、，

由（1）知，，是等边三角形，，，，，即，在和中，，，，，，；又，，，即，，，，，，，，，即的长为6考向三直角三角形与勾股定理1.在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半，这个性质常常用于计算三角形的边长，也是证明一边（30°角所对的直角边）等于另一边（斜边）的一半的重要依据．当题目中已知的条件或结论倾向于该性质时，我们可运用转化思想，将线段或角转化，构造直角三角形，从而将陌生的问题转化为熟悉的问题．2．应用勾股定理时，要分清直角边和斜边，尤其在记忆a2+b2=c2时，斜边只能是c．若b为斜边，则关系式是a2+c2=b2；若a为斜边，则关系式是b2+c2=a2．3．如果已知的两边没有明确边的类型，那么它们可能都是直角边，也可能是一条直角边、一条斜边，求解时必须进行分类讨论，以免漏解．典例引领1．如图，米长的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯足到墙底端的距离为米，若梯子的顶端沿墙下滑米，那么梯足将向左移（

）A．4米 B．6米 C．8米 D．10米【答案】C【分析】本题考查的是勾股定理的应用；在直角C中，已知AB，BC根据勾股定理即可求AC的长度，根据即可求得的长度，在直角中，已知，即可求得的长度，根据，即可求得的长度．【详解】解：在直角中，已知米，米，则由勾股定理得（米）.∵，∴（米）.∵在直角中，，且为斜边，∴由勾股定理得（米），∴（米）.故选：C．二、填空题2．如图，中，，，、分别是、边上的两个动点，满足，求线段的取值范围．【答案】【分析】本题考查等腰直角三角形，含角的直角三角形及等腰三角形的知识．欲求的取值范围即要找到最小值和最大值时点的位置，最小值即点与点重合时，最大即点在处，关键还要作辅助线构造直角三角形，具体见详解．【详解】解：如图，当与重合时，的值最小,过点作于,，，．故答案为：．3．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形，，的面积依次为，，，则正方形的面积为．【答案】【分析】本题考查的是勾股定理，根据勾股定理可得正方形A、B的面积之和等于正方形E的面积，正方形C、E的面积之和等于正方形D的面积，即可得到结果．【详解】由题意得，正方形的面积为，则正方形的面积．故答案为：．4．等腰三角形的腰长，高是，则这个三角形的底边．【答案】12【分析】本题考查等腰三角形的底长问题，勾股定理，掌握等腰三角形的两腰相等的性质，同时注意三线合一．根据勾股定理求出，再根据勾股定理三线合一求出结果即可．【详解】解：根据题意可得：，，，根据勾股定理得：，∵，，∴，即这个三角形的底边长为．故答案为：12．5．如图，在中，，厘米，厘米，点从点出发，以厘米秒的速度在射线上匀速运动，当为等腰三角形时，点运动的时间为秒．【答案】或10或16【分析】本题考查勾股定理，等腰三角形的性质．分，，三种情况讨论求解即可．【详解】解：由，厘米，厘米，由勾股定理，可得（厘米）．设点D运动时间t秒．①当时，，解得；②当时，；③当时，．综上所述，点D运动秒或10秒或16秒时，为等腰三角形．故答案为：或10或16．6．如图，，点P是内的定点且，若点M、N分别是射线、上异于点O的动点，则周长的最小值是．【答案】【分析】本题考查了轴对称的性质，勾股定理；作点P关于的对称点F，关于的对称点E，连接交，于点M，N，连接，，求出的周长，再根据轴对称的性质得出，，最后利用勾股定理计算即可．【详解】解：作点P关于的对称点F，关于的对称点E，连接交，于点M，N，连接，，则的周长，∵，∴由对称性可知：，，∴，即周长的最小值是，故答案为：．变式拓展7．如图，在中，，，是边上的动点，点关于直线的对称点为，连接交于，当为直角三角形时，的长是．【答案】5或2【分析】本题考查了轴对称的性质，勾股定理的应用及等腰直角三角形的性质．当时，先求出及的长，再在中利用勾股定理求出；当时，作，证明出为等腰直角三角形即可求出即可．【详解】解：当时，如图，，，，，，由折叠得，，，设，，在中，，，即；当时，如图，作，，，，，，．故答案为：5或2．8．如图，在中，，，，垂直平分，点P为直线上一动点，则周长的最小值是．【答案】17【详解】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理；连接，先由勾股定理求得的长，再根据线段垂直平分线的性质得到，则，然后根据（当且仅当A、P、C共线时取等号）求出的最小值为的长，所以周长的最小值为．【分析】解：连接，如图，在中，，，，∴，∵垂直平分，∴，∴，∵（当且仅当A、P、C共线时取等号），∴的最小值为的长，∴周长的最小值．故答案为：17．三、解答题9．如图1，在四边形中，，分别是上的点，且，探究图中线段之间的数量关系．(1)提示：探究此问题的方法是延长到点G，使，连接，先证明，再证明．请根据提示按照提示的方法完成探究求解过程．(2)探索延伸：如图2，若在四边形中，，E，F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立？请说明理由．(3)能力提高：如图，等腰直角三角形中，，点M，N在边上，，若，则的长为．【答案】(1)见解析(2)成立，理由见解析(3)24【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理．解题的关键的通过截长补短，构造特殊三角形和全等三角形．（）延长到点，使，连接，证明和，根据全等三角形的性质即可求解；（）（）中的结论仍然成立．如图中，延长至，使，连接，证明和即可求证；（3）过点C作，垂足为点C，截取．连接、，证明，再