考点02 函数的概念及表示（原卷版）

考点二函数的概念及表示知识点整合1．函数（1）常量和变量在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量．【注意】①变量和常量是相对而言的，变化过程不同，它们可能发生改变，判断的前提条件是“在同一个变化过程中”，当变化过程改变时，同一个量的身份也可能随之改变．例如，在s=t中，当s一定时，v、t为变量，s为常量；当t一定时，s、v为变量，而t为常量．②“常量”是已知数，是指在整个变化过程中保持不变的量，不能认为式中出现的字母就是变量，如在一个匀速运动中的速度v就是一个常量．③变量、常量与字母的指数没有关系，如S=πr2中，变量是“S”和“r”，常量是“π”．④判断一个量是不是变量，关键是看其数值是否发生变化．（2）函数的定义一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数．例如：在s=60t中，有两个变量；s与t，当t变化时，s也随之发生变化，并且对于t在其取值范围内的每一个值，s都有唯一确定的值与之对应，我们就称t是自变量，s是t的函数．对函数定义的理解，主要抓住以下三点：①有两个变量．②函数不是数，函数的本质是对应，函数关系就是变量之间的对应关系，且是一种特殊的对应关系，一个变量的数值随着另一个变量数值的变化而变化．③函数的定义中包括了对应值的存在性和唯一性两重意思，即对自变量的每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应，对自变量x的不同取值，y的值可以相同，如：函数y=x2，当x=1和x=-1时，y的对应值都是1．④在某个变化过程中处于主导地位的变量即为自变量，随之变化且对应值有唯一确定性的另一个变量即为该自变量的函数.（3）函数取值范围的确定使函数有意义的自变量的取值的全体叫做自变量的取值范围，函数自变量的取值范围的确定必须考虑两个方面：①不同类型的函数关系式中自变量取值范围的求解方法；②当用函数关系式表示实际问题时，自变量的取值不但要使函数关系式有意义，而且还必须使实际问题有意义．（4）函数解析式及函数值函数解析式：用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法，这种式子叫做函数的解析式．①函数解析式是等式．②函数解析式中指明了哪个是自变量，哪个是函数，通常等式右边的代数式中的变量是自变量，等式左边的变量表示函数．③书写函数的解析式是有顺序的．y=2x-1表示y是x的函数，若x=2y-1，则表示x是y的函数，即求y关于x的函数解析式时，必须用含x的代数式表示y，也就是等式左边是一个变量y，右边是一个含x的代数式．④用数学式子表示函数的方法叫做解析式法．函数值：对于自变量x在取值范围内的某个确定的值a，函数y所对应的值为b，即当x=a，y=b时，b叫做自变量x的值为a时的函数值．（5）函数的图象及其画法一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．画函数的图象，可以运用描点法，其一般步骤如下：①列表：表中列举一些自变量的值及其对应的函数值，自变量的取值不应使函数值太大或太小，以便于描点，点数一般以5到7个为宜．②描点：在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点．描点时，要注意横、纵坐标的符号与点所在的象限（或坐标轴）之间的关系，描出的点大小要适中，位置要准确．③连线：按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来．（6）函数的表示方法函数的表示方法一般有三种：解析式法、列表法和图象法，表示函数关系时，要根据具体情况选择适当的方法，有时为了全面地认识问题，需要几种方法同时使用．考向一函数的概念典例引领1．声音在空气中传播的速度v（简称声速）与空气温度t的大致关系如下表所示，则下列说法错误的是（

）温度t/℃－20－100102030声速v/（m/s）318324330336342348A．温度越高，声速越快B．在这个变化过程中，自变量是声速v，因变量是温度tC．当空气温度为20℃时，声速为342m/sD．温度t每升高10℃，声速v提高6m/s2．下列关于y与x的关系式中，y是x的函数的是（）A． B． C． D．3．在平整的路面上，某型号汽车紧急刹车后仍将滑行s（m），一般地有经验公式，其中v表示刹车前汽车的速度（单位：km/h）．在这个公式中因变量是（

）A．300 B．s C．v D．s与v4．下列图形中的曲线不表示y是x的函数的是（

）A． B． C． D．知识拓展5．变量x，y有如下关系；①；②；③；④．其中y是x的函数的是．6．某学校为学生购买某种课外阅读书，书的单价是14元，购买本书，花费元.这个问题中的变量是，常量是.三、解答题7．游泳池应定期换水，某游泳池在一次换水前存水936立方米，换水时关闭进水孔打开排水孔，以每小时78立方米的速度将水放完，当放水时间增加时，游泳池的存水随之减少，它们的变化情况如下表：放水时间/小时123456游泳池的存水/立方米858780702546(1)在这个变化过程中，自变量是________，因变量是________；(2)请将上述表格补充完整；(3)设放水时间为小时，游泳池的存水量为立方米，写出与的关系式（不要求写自变量范围）．8．下列各式中，是否是的函数？为什么？(1)；(2)．9．小明和父母一起开车到离家200km的景点旅游，出发前，轿车油箱内储油45L，当行驶了150km时，发现油箱剩余油量为30L（假设行驶过程中该轿车的耗油量是均匀的）．(1)这个变化过程中哪个是自变量？哪个是因变量？(2)写出行驶路程与剩余油量的关系式，并直接写出自变量x的取值范围；(3)当时，求剩余油量Q的值．10．父亲告诉小明“在一定范围内，距离地面越高，温度越低”，并给小明出示了下面的表格：距离地面的高度012345温度201482根据表格回答下列问题：(1)距离地面，的温度分别是多少？(2)在这个变化过程中变量是什么？(3)如果用表示距离地面的高度，用表示温度，那么在一定范围内，随着的变化，是怎么变化的？考向二函数的解析式典例引领1．某轿车行驶时油箱中的剩余油量与行驶时间的关系如下表，则下面用含t的代数式表示Q的式子正确的是（）行驶时间剩余油量12345……A． B． C． D．2．甲、乙两地相距，一货车从甲地出发以的速度匀速向乙地行驶，则货车距离乙地的路程与时间之间的函数表达式是（

）A． B． C． D．二、填空题3．声音在常温空气中的传播速度是，则传播距离l（）与传播时间t（）之间的函数表达式为．4．有若干张如图①所示的拼图卡，用3张这样的拼图卡按图②的方式无缝隙拼接在一起，拼成的图案总长为；如图③，用8张这样的拼图卡按同样的方式拼接，拼成的图案总长为；若用x张这样的拼图卡按同样的方式拼接，拼成的图案总长为，则与之间的函数关系式为（为正整数）．

5．某水果商购进一批苹果到农贸市场销售．已知卖出的苹果质量xkg与收入y元的关系如下表：质量x/kg12345…收入y/元…则收入y元与卖出的苹果质量xkg之间的函数表达式是．变式拓展6．某高层楼房的平面示意图，如图所示，假设每层室内净高为2.7米，每层楼板厚度为0.3米，第一层高出地面为0.3米，顶层平台厚度为0.3米．(1)将表格补充完整；层数12345楼房高度（米）3.36.3______12.3______(2)设该高层楼房有层，楼房总高度为米，则与之间的函数关系式是______；(3)若楼房总高度为66.3米，求该楼房的层数．7．已知一个等腰三角形的周长为cm，腰长为xcm，底边长为ycm．(1)请写出底边长y（cm）与腰长x（cm）之间的函数关系式；(2)当腰长为cm时，求这个等腰三角形的底边长．8．如图，是一个“因变量随着自变量变化而变化”的示意图，下面表格中是通过运算得到的几组x与y的对应值．根据图表信息回答下列问题：输入x…02…输出y…2m18…(1)直接写出：______，______，______．(2)当输出y的值为12时，求输入x的值．9．一种苹果的销售数量千克与销售额元的关系如下：数量千克销售额元(1)求出两个变量之间的函数关系；(2)请估计销售量为千克时销售额是多少？10．综合与实践下表是两种“5G优惠套餐”计费方式．每月基本服务费固定收，通话时间不超时，上网流量不超量不再收费，通话时间超时（不足一分钟按一分钟计算）和上网超流量部分（不足1G按1G计算）加收超时通话费和超流量费．套餐A套餐B服务项目国内通话十上网流量国内通话十上网流量每月基本服务费38元58元免费通话时间100分钟300分钟超时通话每分钟收费元元免费上网流量8G10G套餐外流量不足1G时按1G收费（5元/G），达到1G（即5元）时，再额外赠送1G免费流量，当免费流量用完后，仍按5元/G收费．(1)若小雨的妈妈某月通话时间为350分钟，上网流量为5G，则她的妈妈按套餐计费需付多少元，按套餐计费需付多少元；(2)若小雨上网流量每月不超过8G，设通话时间为分钟，所需付出的费用为元，分别写出套餐、套餐中与之间的关系式；(3)小雨通过几个月对账单发现，自己每月100分钟的通话时间绰绰有余，但上网流量波动比较大，设上网流量为（且为整数），那么小雨选择哪种套餐更优惠？考向三函数自变量的取值范围典例引领1．函数的自变量x的取值范围是（

）．A． B． C．且 D．且2．函数中，自变量x的取值范围是（

）．A． B． C． D．一切实数3．在函数中，当函数值为时，自变量的值为（

）A．2 B． C． D．二、填空题4．函数的自变量x的取值范围是．5．函数中自变量的取值范围是．变式拓展6．在函数中，自变量x的取值范围是．7．函数的定义域是．8．函数的定义域是．9．在函数中，自变量的取值范围是．三、解答题10．有人说“鲜花可作为七彩云南的一张名片，”的确，在云南几乎一年四季都有各种鲜花在争妍斗艳，令人赏心悦目，各种鲜花制品也是种类繁多，令人目不暇接，某花店第一天卖出50束玉兰花和20束玫瑰花的利润是800元，第二天卖出30束玉兰花和30束玫瑰花的利润是750元．(1)每束玉兰花和玫瑰花的利润各是多少元？(2)某天该花店卖出玉兰花和玫瑰花一共80束．①卖出束玉兰花，卖出两种花的总利润为元，写出与的函数关系式；②卖这两种花的利润是900元，这天卖出多少束玫瑰花？考向四函数图像分析典例引领1．水池有个进水口，个出水口，每个进水口进水量与时间的关系如图甲所示，出水口出水量与时间的关系如图乙所示．某天点到点，该水池的蓄水量与时间的关系如图丙所示．下列判断：点到点，打开两个进水口，关闭出水口；点到点，同时关闭两个进水口和一个出水口；点到点，关闭两个进水点．同时打开两个进水口和一个出水口．其中，可能正确的论断是（）A． B． C． D．2．甲、乙两个草莓采摘园为吸引顾客，在草莓售价相同的条件下，分别推出下列优惠方案：进入甲园，顾客需购买门票，采摘的草莓按六折销售；进入乙园，顾客免门票，采摘草莓超过一定数量后．超过的部分打折销售．活动期间，某顾客的草莓采摘量为x千克．若在甲园采摘的总费用是元，在乙园采摘的总费用是元．，与x之间的函数图象如图所示．则下列说法中错误的是（

）

A．乙园草莓优惠前的销售价格是元/千克B．甲园的门票费用是元C．乙园超过5千克后，超过部分的价格按六折销售D．顾客用元在乙园采摘的草莓比在甲园采摘的草莓多3．水平地面上一个小球被推开后向前滑行，滑行的距离与时间的函数关系如图所示（图为抛物线的一部分，其中是该抛物线的顶点），则下列说法正确的是（

）A．小球滑行6秒停止 B．小球滑行12秒停止C．小球向前滑行的速度不变 D．小球向前滑行的速度越来越大4．甲乙两人骑自行车分别从，两地同时出发相向而行，甲匀速骑行到地，乙匀速骑行到地，甲的速度大于乙的速度，两人分别到达目的地后停止骑行．两人之间的距离米和骑行的时间秒之间的函数关系图象如图所示，现给出下列结论：①；②；③甲的速度为米秒；④当甲、乙相距米时，甲出发了秒或秒．其中正确的结论有()A．①② B．①③ C．②④ D．③④变式拓展5．A，B两地相距，甲车从A地以的速度匀速前往B地，到达B地后停止．在甲出发的同时，乙车从B地沿同一公路匀速前往A地，到达A地后停止．两车之间的距离与甲车出发时间之间的函数关系如图中的折线所示，其中点C的坐标是，点D的坐标是．给出下列判断：①甲车行驶的时间是6小时；②乙车的速度是；③点E的坐标是；④甲车行驶2.4小时与乙车相遇．其中正确的是（

）A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．①②④6．现代物流的高速发展，为乡村振兴提供了良好条件．某物流公司的汽车在城市道路上匀速