导数应用专题8之05 利用导数求函数的零点(解析版)

第六篇导数专题05利用导数求函数的零点常见考点考点一讨论零点个数典例1．已知函数．(1)讨论函数的单调性；(2)讨论函数的零点个数问题(3)当时，证明不等式．【答案】(1)当a≤0时，在(0，＋∞)上单调递减当时，在上单调递减，在上单调递增(2)当时有2个零点；时没有零点；或者时有一个零点．(3)证明见解析【解析】【分析】（1）求定义域，求导，对a进行分类讨论，求解单调性；（2）在第一问的基础上，讨论得到的零点个数；（3）构造函数，用导函数证明不等式.(1)．当时，ax－1<0，从而，函数在(0，＋∞)上单调递减；当a>0时，若0<x<，则ax－1<0，从而，若x>，则ax－1>0，从而，从而函数在上单调递减，在上单调递增．(2)由（1）可知：当时，在(0，＋∞)上单调递减，又时，，，故此时函数只有一个零点；当时，，而函数在上单调递减，在上单调递增，又，又时，，时，，故有两个零点；当时，在上单调递减，在上单调递增，又，故此时只有一个零点，即；当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，又，此时函数没有零点；综上：当时有2个零点；时没有零点；或者时有一个零点．(3)令，其中，可得，设，可得在上恒成立，∴G（t）是上的增函数，可得，因此，在上恒成立，可得是上的增函数．∵，∴F（x）＞F（y），可得，∵ln（1+x）＞0且ln（1+y）＞0，∴不等式两边都乘以，可得．即对任意x＞y＞e-1，都有不等式成立．【点睛】导函数研究函数零点个数问题，要通过求解函数的单调区间，并结合特殊点的函数值进行判断出零点个数.变式1-1．已知时，函数的图象恒在直线的上方．(1)求证：当时．；(2)求函数在上的零点个数．【答案】(1)证明见解析(2)2【解析】【分析】（1）由题意得当时，恒成立，所以当时，欲证，只需证，构造函数，利用导数求出其最小值大于零即可，（2）对函数求导得，然后分，和，判断导数的正负，可得函数的单调性，再结合零点存在性定理可判断出函数的零点个数，(1)因为时，函数的图象恒在直线的上方，所以，所以当时，恒成立，当时，欲证，只需证，只需证，设，则，所以F（x）在（0，1）上单调速减，所以．所以当时，．(2)由已知得，则，①当时，因为，所以g（x）在上单调递减．所以．所以g（x）在上无零点，②当时，因为单调递增，且，所以存在，使．当时，；当时，，所以g（x）在上单调递减，在上单调递增，且，所以．设，则．令，得．所以在上单调递减，在上单调递增，所以．所以，所以，所以．所以g（x）在上存在一个零点．所以g（x）在[0，]上有2个零点，③当时，，所以g（x）在（，＋∞）上单调递增．因为，所以g（x）在（，＋∞）上无零点，结上所述，g（x）在（－，＋∞）上的零点个数为2【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数证明不等式，考查利用导数决函数零点问题，第（1）问解题的关键是构造函数，利用导数求函数的最值，第（2）解题的关是对函数求导后，分情况通过判断导数的正负，可得函数的单调性，再结零点存在性定理可判断函数的零点个数，考查数学转化思想，属于较难题变式1-2．已知函数，(1)证明：函数f（x）在内有且仅有一个零点；(2)假设存在常数λ>1，且满足f（λ）=0，试讨论函数的零点个数.【答案】(1)证明见解析(2)答案见解析【解析】【分析】（1）由导函数判断出函数f（x）的单调区间，依据零点存在定理即可证明函数f（x）在内有且仅有一个零点；（2）把函数的零点个数问题，转化为与两函数图像的交点个数问题，分类讨论即可解决.(1)，令，则所以在单调递减，在单调递增.因为，结合单调性，在有且仅有一个零点.(2)令，即，从而有，令，从而的零点个数等价于与图像的交点个数.，令，得.所以在单调递减，在单调递增，且，当时，图像与图像有一个交点.当时，图像经过二､四象限，与图像无交点.当时，图像经过一，三象限，与图像至少有一个交点，当图像图像相切时，设切点横坐标为，则有即有，从而，此时.所以，当时时，图像与图像有两个交点；当时，图像与图像有三个交点；当时，图像与图像有一个交点.综上所述，当时，没有零点；当时，有三个零点；当，有两个零点；当或时，有一个零点.变式1-3．已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)讨论函数的零点个数.【答案】(1)当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递减，在上单调递增.(2)当时，函数没有零点；当或时，函数有1个零点；当时，函数有2个零点.【解析】【分析】（1）对函数，求导得出，对进行分类讨论，根据导数和单调性的关系，即可求得函数的单调性.（2）由题意可知，函数的零点个数转化为函数与图像交点的个数，分别作出两个函数的图像即可求解.(1)函数的定义域为，.当时，恒成立，所以在上单调递减；当时，令，得，令，得，所以在上单调递减，在上单调递增.(2)令，得.令，则，令，得；令，得，所以函数在上单调递增，在上单调递减.所以；当时，，当时，，所以，所以函数的图象如图所示，由图可得，当时，直线与函数的图象没有交点，函数没有零点；当或时，直线与函数的图象有1个交点，函数有1个零点；当时，直线与函数的图象有2个交点，函数有2个零点.考点二根据零点个数求参数范围典例2．已知函数．(1)讨论的单调性；(2)若只有一个零点，求的取值范围．【答案】(1)答案见解析；(2)或或.【解析】【分析】（1）求出导函数并因式分解，进而讨论a的范围，然后根据导数的符号求出单调区间；（2）结合（1）中函数的单调性及零点存在定理即可求得答案.(1)函数的定义域为，，①若，，则在单调递减；②若，时，，单调递减，时，，单调递增.综上：时，在上单调递减；时，在上单调递减，在上单调递减.(2)若，，.结合函数的单调性可知，有唯一零点.若，因为函数在上单调递减，在上单调递减，所以要使得函数有唯一零点，只需，解得或.综上：或或.【点睛】第（2）问较难，我们一定要注意，导数中的零点问题往往与函数的单调性和零点存在定理联系紧密.变式2-1．已知函数，其中，e为自然对数的底数，(1)若函数在定义域上有两个零点，求实数a的取值范围；(2)当时，求证：【答案】(1)(2)证明过程见解析.【解析】【分析】（1）求定义域，求导，对a分类讨论，结合单调性及最小值，列出不等关系，求出实数a的取值范围；（2）先进行简单放缩，构造函数，进行证明.(1)的定义域为，，当时，恒成立，故在上单调递增，故函数在定义域上不可能有两个零点；当时，令得：，令得：，故在单调递减，在上单调递增，故在处取得极小值，也是最小值，，要想函数在定义域上有两个零点，则，解得：，又，当时，，由零点存在性定理可知：在与范围内各有一个零点，综上：实数a的取值范围是.(2)证明：当时，即证，（）由于，故，只需证，令，则，因为，所以，令得：，令得：，所以在处取得极大值，也是最大值，，故在上恒成立，结论得证.【点睛】导函数证明不等式，常常需要对不等式进行变形放缩，常见放缩有三角函数有界性放缩，切线放缩，如，，等.变式2-2．已知函数f（x）＝x3﹣ax2+3x+m在x＝3处取得极值.(1)求实数a的值；(2)函数y＝f（x）有三个零点，求m的取值范围.【答案】(1)5(2)【解析】【分析】（1）求导f'（x）＝3x2﹣2ax+3，根据函数f（x）在x＝3处取得极值，由f'（3）＝0求解；27﹣6a+3＝0，（2）利用导数法求得函数的极值，再根据函数f（x）有三个不同零点求解.(1)解：f'（x）＝3x2﹣2ax+3，因为函数f（x）＝x3﹣ax2+3x+m在x＝3处取得极值，所以f'（3）＝0，即27﹣6a+3＝0，解得a＝5，经检验符号题意；(2)因为f（x）＝x3﹣5x2+3x+m，令f'（x）＝3x2﹣10x+3＝0，得或，由f'（x）＞0，得或，此时f（x）为增函数，由f'（x）＜0，得，此时f（x）为减函数，即当时，函数f（x）取得极大值，当x＝3时，f（x）取得极小值，即f（x）极小值＝f（3）＝m﹣9，f（x）极大值＝f（）＝m+，因为函数f（x）有三个不同零点，所以，即，解得，故m的范围是.变式2-3．已知函数，当时，函数取得极值.（1）求实数a的值；（2）若时，方程有两个根，求实数m的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用可得的值，注意检验.（2）令，利用导数讨论函数在的单调性后可得的取值范围.【详解】（1）由，则，因在时，取到极值，所以，解得.又当时，，当时，，当时，，故当时，函数取得极值，综上，.（2）令，由（1）得，且，故，则，当时，令，解得，令，解得，的递增区间为，递减区间为，故，而，故.要有两个根，则，故.【点睛】本题考查三次函数的极值以及函数的零点，后者应结合函数的单调性来讨论，注意合理构建新函数.巩固练习练习一讨论零点个数1．已知函数，.(1)判断函数的零点个数；(2)比较，，的大小，并说明理由.【答案】(1)一个零点(2)，理由见解析【解析】【分析】（1）对二次求导，求出的单调性及极值，判断出的零点个数；（2）对要比较大小的式子进行整理变形，结合第一问函数的单调性进行证明.(1)，，设，则因此在上单调递减，又，所以当时，，即，在上单调递增，当时，，即，在上单调递减，所以在处有极大值，又，故有且仅有一个零点.(2)因为，，由（1）可知，当时，恒成立，又，所以，又对于任意的时，所以，即，因为，所以，所以.【点睛】导函数比较函数值的大小，通常会构造函数，或者对函数值进行变形，本题中，是关键，再结合函数单调性进行比较.2．已知函数.(1)当m＝1时，求f（x）在[1，e]上的值域；(2)设函数f（x）的导函数为，讨论零点的个数.【答案】(1)(2)答案详见解析【解析】【分析】（1）通过多次求导的方法判断出在区间上的单调性，由此求得在上的值域.（2）令，对进行分类讨论，结合导数判断出零点个数.(1)当时，，，′所以在上递增，，所以在上递增，，所以在上递增，.所以在上的值域.(2)，，当时，，，即是的唯一零点.当时，，结合的图象以及性质可知，，在区间递减；在区间递增，所以，故.，，所以在区间递减；在区间递增，所以，所以在区间上有.所以，没有零点.当时：令，，所以在上递增，由与的图象可知，在区间上，存在唯一，使①，即.所以在区间递减；在区间递增，所以当时，取得极小值也即是最小值，由①得，所以；由①得，所以，当且仅当时等号成立.所以当，即时，，则也即没有零点；当，即时，也即有唯一零点.当，即，，则也即有个零点.综上所述：当或时，有唯一零点；当时，没有零点；当，时，有个零点.【点睛】在利用导数求解函数单调性、极值、最值的过程中，若一次求导无法解决的，可考虑二次或多次求导来进行求解.求解过程中要注意导函数和原函数之间的关系.3．已知函数，．(1)当，时，求证：恒成立；(2)当时，探讨函数的零点个数．【答案】(1)证明见解析(2)当时，有2个零点，当时，有1个零点，当时，有3个零点【解析】【分析】（1）根据题意，求得解析式，求导，令，求得极值点，分析可得和时，的单调性，分析即可得证（2）分别讨论、a=0和三种情况，根据对数函数、二次函数的性质，利用导数判断函数单调性和极最值，分析即可得答案.(1)当，时，，所以，令，解得x=1，当时，，为增函数，当时，，为减函数，所以，即恒成立.(2)当时，，令，则，当，函数为开口向上的抛物线，且，所以与图象有2个交点，如图所示当a=0时，，解得x=1，故只有1个零点；当时，令，为开口向上的抛物线，令，解得，此时恒成立，所以为单调递增函数，又，所以有唯一根x=1，即有1个零点；令时，解得或（舍），此时令，解得，因为，所以，所以，所以当时，，即，所以为增函数，当时，，即，所以为减函数，又，所以，当时，，所以时，存在唯一x，使，，且，所以时，存在唯一x，使，所以有三个根，即有3个零点综上：当时，有2个零点，当时，有1个零点，当时，有3个零点4．已知函数，(1)求函数的最值；(2)令，求函数在区间上的零点个数，并说明理由．【答案】(1)当时，在R上无最大值与最小值当时，在R上无最大值，有最小值为.(2)函数在上的零点的个数为，理由见解析【解析】【分析】（1）先对函数进行求导，在对进行讨论，即可求出答案.（2）先写出函数的解析式，在对函数进行求导，再分两种情况对进行讨论，当时，利用零点存在性定理和隐零点求出有两个零点，当时，无零点.(1)，①当，即时，得恒成立，此时函数在R上单调递增，故函数在R上无最大最小值②当，即时，由，解得，当时，，单调递增当时，，单调递减所以时，取最小值即综上所述：当时，在R上无最大值与最小值当时，在R上无最大值，有最小值为.(2)，则①当时，由在区间上单调递减，知：在上单调递增，且，，知：函数在上有唯一的零点.当时，由，知：在上单调递减，同理可知：在上单调递增.由，，，故函数在区间上有两个不同的零点.②当时，由，构造函数，则由恒成立，知：函数在上单调递增，故：，由，知：函数在上恒成立，即恒成立，此时函数无零点.综上，函数在上的零点的个数为.练习二根据零点个数求参数范围5．已知函数，．(1)讨论函数的单调性；(2)若方程在上有实根，求实数a的取值范围．【答案】(1)见解析；(2).【解析】【分析】(1)求f(x)导数，讨论的正负，由此可判断f(x)单调性；(2)参变分离为，问题转化为求的值域.(1)，时，，在R上单调递减；时，，，单调递增，，，单调递减；综上，时，在R上单调递减；a＞0时，f(x)在单调递增，在单调递减.(2)，令，则，∴g(x)在(1，e)上单调递增，∴∴.【点睛】本题关键是参变分离，构造新函数，将方程有解问题转化为求函数的值域问题.6．已知函数．(1)讨论的单调性；(2)若有两个零点，求a的取值范围．【答案】(1)当时，在上为减函数，时，在上递减，在上递增，(2)【解析】【分析】（1）对函数求导后，分和两种情况判断导数的正负，从而可求出函数的单调区间，（2）由（1）可知当时，有可能有两个零点，求出，然后分，和三种情况讨论函数最小值的正负，从而可求得结果(1)定义域为，由，得，当时，，所以在上为减函数，当时，令，则，得，当时，，当时，，所以在上递减，在上递增，综上，当时，在上为减函数，时，在上递减，在上递增，(2)由（1）可知，当时，在上为减函数，则至多有一个零点，所以，由（1）得在上递减，在上递增，所以当时，取得最小值，即，当时，，所以只有一个零点，不合题意，当时，则，所以没有零点，不合题意，当时，，即，因为，所以在上有一个零点，取正整数，满足，则，因为，所以在上有一个零点，所以当时，有两个零点，