新高考数学二轮复习创新题型专题04 三角函数（新定义）（解析版）

专题04三角函数（新定义）一、单选题1．（2023秋·山东临沂·高一统考期末）我们学过度量角有角度制与弧度制，最近，有学者提出用“面度制”度量角，因为在半径不同的同心圆中，同样的圆心角所对扇形的面积与半径平方之比是常数，从而称这个常数为该角的面度数，这种用面度作为单位来度量角的单位制，叫做面度制.在面度制下，角SKIPIF1<0的面度数为SKIPIF1<0，则角SKIPIF1<0的正弦值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根据面度数的定义，可求得角SKIPIF1<0的弧度数，继而求得答案.【详解】设角SKIPIF1<0所在的扇形的半径为r，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选：D．2．（2023秋·江苏苏州·高一统考期末）定义:正割SKIPIF1<0，余割SKIPIF1<0.已知SKIPIF1<0为正实数，且SKIPIF1<0对任意的实数SKIPIF1<0均成立，则SKIPIF1<0的最小值为（）A．1 B．4 C．8 D．9【答案】D【分析】利用已知条件先化简，分离参数，转化恒成立求最值问题【详解】由已知可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时等号成立,故SKIPIF1<0，故选：D.3．（2022·全国·高一专题练习）密位制是度量角的一种方法，把一周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角．在角的密位制中，单位可省去不写，采用四个数码表示角的大小，在百位数与十位数之间画一条短线，如7密位写成“0-07”，478密位写成“4-78”．若SKIPIF1<0，则角SKIPIF1<0可取的值用密位制表示错误的是（

）A．12-50 B．2-50 C．13-50 D．32-50【答案】C【分析】根据同角三角函数的基本关系及二倍角公式求出SKIPIF1<0，再根据所给算法一一计算各选项，即可判断；【详解】解：因为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0对于A：密位制SKIPIF1<0对应的角为SKIPIF1<0，符合题意；对于B：密位制SKIPIF1<0对应的角为SKIPIF1<0，符合题意；对于C：密位制SKIPIF1<0对应的角为SKIPIF1<0，不符合题意；对于D：密位制SKIPIF1<0对应的角为SKIPIF1<0，符合题意；故选：C4．（2022秋·山东青岛·高三山东省青岛第五十八中学校考阶段练习）计算器是如何计算SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0等函数值的呢？计算器使用的是数值计算法，其中一种方法是用容易计算的多项式近似地表示这些函数，通过计算多项式的值求出原函数的值，如SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，英国数学家泰勒发现了这些公式，可以看出，右边的项用得越多，计算得出的SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的值也就越精确.运用上述思想，可得到SKIPIF1<0的近似值为（

）A．0.50 B．0.52 C．0.54 D．0.56【答案】C【分析】将SKIPIF1<0化为SKIPIF1<0，根据新定义，取SKIPIF1<0代入公式SKIPIF1<0中，直接计算取近似值即可．【详解】由题意可得，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故选：SKIPIF1<0．5．（2022春·广东中山·高二统考期末）密位制是度量角与弧的常用制度之一，周角的SKIPIF1<0称为1密位.用密位作为角的度量单位来度量角与弧的制度称为密位制.在密位制中，采用四个数字来记角的密位，且在百位数字与十位数字之间加一条短线，单位名称可以省去，如15密位记为“00—15”，1个平角＝30—00，1个周角＝60—00，已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0取到最大值时对应的x用密位制表示为（

）A．15—00 B．35—00 C．40—00 D．45—00【答案】C【分析】利用导数研究SKIPIF1<0在给定区间上的最大值，结合题设密位制定义确定SKIPIF1<0取到最大时x用密位制.【详解】由题设，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0时SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0时SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递增，在SKIPIF1<0上递减，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0取到最大值时对应的x用密位制表示为40—00.故选：C6．（2022春·云南昆明·高二校考期末）在平面直角坐标系xOy中，P（x，y）（xy≠0）是角α终边上一点，P与原点O之间距离为r，比值SKIPIF1<0叫做角α的正割，记作secα；比值SKIPIF1<0叫做角α的余割，记作cscα；比值SKIPIF1<0叫做角α的余切，记作cotα．四名同学计算同一个角β的不同三角函数值如下：甲：SKIPIF1<0；乙：SKIPIF1<0；丙：SKIPIF1<0；丁：SKIPIF1<0．如果只有一名同学的结果是错误的，则错误的同学是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】D【分析】当甲错误时，乙一定正确，从而推导出丙、丁均错误，与题意不符，故甲一定正确；再由丙丁必有一个错误，得到乙一定正确，由此利用三角函数的定义能求出结果．【详解】解：当甲：SKIPIF1<0错误时，乙：SKIPIF1<0正确，此时SKIPIF1<0，r＝5k，y＝3k，则|x|＝4k，（k＞0），SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，∴丙：SKIPIF1<0不正确，丁：SKIPIF1<0不正确，故错误的同学不是甲；甲：SKIPIF1<0，从而r＝5k，x＝﹣4k，|y|＝3k，（k＞0），此时，乙：SKIPIF1<0；丙：SKIPIF1<0；丁：SKIPIF1<0必有两个正确，一个错误，∵丙和丁应该同号，∴乙正确，丙和丁中必有一个正确，一个错误，∴y＝3k＞0，x＝﹣4k＜0，SKIPIF1<0，故丙正确，丁错误，综上错误的同学是丁．故选：D．7．（2023秋·湖南邵阳·高一统考期末）设SKIPIF1<0，定义运算SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】由定义先得出SKIPIF1<0，然后分SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两种情况分别求出SKIPIF1<0的最小值，从而得出答案.【详解】由题意可得SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，即SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0此时当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0有最小值为SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，即SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0此时，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0故选：B8．（2023秋·浙江杭州·高一浙江大学附属中学校考期末）正割SKIPIF1<0及余割SKIPIF1<0这两个概念是由伊朗数学家阿布尔SKIPIF1<0威发首先引入的．定义正割SKIPIF1<0，余割SKIPIF1<0．已知SKIPIF1<0为正实数，且SKIPIF1<0对任意的实数SKIPIF1<0均成立，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】由参变量分离法可得出SKIPIF1<0，利用基本不等式可求得SKIPIF1<0的取值范围，即可得解.【详解】由已知可得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，等号成立，故SKIPIF1<0.故选：D.9．（2022春·江西景德镇·高二景德镇一中校考期中）对集合SKIPIF1<0和常数SKIPIF1<0，把SKIPIF1<0定义为集合SKIPIF1<0相对于SKIPIF1<0的“正弦方差"，则集合SKIPIF1<0相对于SKIPIF1<0的“正弦方差”为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．与SKIPIF1<0有关的值【答案】C【分析】先确定集合SKIPIF1<0相对于SKIPIF1<0的“正弦方差”的表达式，再利用半角公式，两角和与差的余弦公式化简可得结果.【详解】由题知，集合SKIPIF1<0相对于SKIPIF1<0的“正弦方差”为SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0把SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，代入上式整理得，SKIPIF1<0.故选：C.10．（2022秋·山东·高三山东聊城一中校联考阶段练习）现有如下信息：（1）黄金分割比（简称：黄金比）是指把一条线段分割为两部分，较短部分与较长部分的长度之比等于较长部分与整体长度之比，其比值为SKIPIF1<0（2）黄金三角形被誉为最美三角形，是较短边与较长边之比为黄金比的等腰三角形．（3）有一个内角为SKIPIF1<0的等腰三角形为黄金三角形，由上述信息可求得SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】如图作三角形，先求出SKIPIF1<0，再求出SKIPIF1<0的值.【详解】如图，等腰三角形SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0连接SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，由题意可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：D【点睛】关键点睛：解答本题的关键是构造一个恰当的三角形，再解三角形求解.11．（2021秋·四川巴中·高一校联考期末）定义运算SKIPIF1<0，如果SKIPIF1<0的图像的一条对称轴为SKIPIF1<0满足等式SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0取最小值时，函数SKIPIF1<0的最小正周期为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】根据SKIPIF1<0，利用切化弦和同角三角函数关系转化成SKIPIF1<0的二次方程，可求出SKIPIF1<0的值，结合对称轴可求出SKIPIF1<0，最后利用周期公式进行求解即可．【详解】SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0的图象的一条对称轴为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以正数SKIPIF1<0取最小值为SKIPIF1<0，此时函数SKIPIF1<0的最小正周期为SKIPIF1<0．故选：SKIPIF1<0．12．（2020·全国·高三校联考阶段练习）对于集合SKIPIF1<0，定义：SKIPIF1<0为集合SKIPIF1<0相对于SKIPIF1<0的“余弦方差”，则集合SKIPIF1<0相对于SKIPIF1<0的“余弦方差”为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】根据所给“余弦方差”定义公式，代入集合中的各元素，即可得SKIPIF1<0的表达式，结合余弦降幂公式及诱导公式化简，即可求解.【详解】由题意可知，集合SKIPIF1<0相对于SKIPIF1<0的“余弦方差”代入公式可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0所以原式SKIPIF1<0，故选：B.【点睛】本题考查了新定义应用，降幂公式及诱导公式化简三角函数式的应用，属于中档题.13．（2020秋·江西宜春·高三奉新县第一中学校考阶段练习）已知函数SKIPIF1<0的图象与直线SKIPIF1<0的相邻交点间的距离为SKIPIF1<0，若定义SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0内的图象是A． B．C． D．【答案】A【分析】由题知SKIPIF1<0，利用SKIPIF1<0求出SKIPIF1<0，再根据题给定义，化简求出SKIPIF1<0的解析式，结合正弦函数和正切函数图象判断，即可得出答案.【详解】根据题意，SKIPIF1<0的图象与直线SKIPIF1<0的相邻交点间的距离为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的周期为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由正弦函数和正切函数图象可知SKIPIF1<0正确.故选：A.【点睛】本题考查三角函数中正切函数的周期和图象，以及正弦函数的图象，解题关键是对新定义的理解.14．（2022春·陕西延安·高一校考阶段练习）对于函数SKIPIF1<0，在使SKIPIF1<0成立的所有常数SKIPIF1<0中，我们把SKIPIF1<0的最大值称为函数SKIPIF1<0的“下确界”.若函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的“下确界”为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】由下确界定义，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0，由余弦函数性质可得．【详解】由题意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故选：A．【点睛】本题考查新定义，由新定义明确本题中的下确界就是函数的最小值．可通过解不等式确定参数的范围．15．（2020·全国·高一假期作业）如果函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上是凸函数，那么对于区间SKIPIF1<0内的任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上是凸函数，那么在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0的最大值是（

）A．SKIPIF1<0 B．3 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】利用“凸函数”的定义得到恒成立的不等式，利用三角形的内角和为SKIPIF1<0，即可求出最大值．【详解】因为SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上是“凸函数”，所以SKIPIF1<0得SKIPIF1<0即：SKIPIF1<0的最大值是SKIPIF1<0故选：D.【点睛】本题考查理解题中的新定义，并利用新定义求最值，还运用三角形的内角和．二、多选题16．（2022·全国·高一专题练习）定义：SKIPIF1<0为集合SKIPIF1<0相对常数SKIPIF1<0的“余弦方差”.若SKIPIF1<0，则集合SKIPIF1<0相对SKIPIF1<0的“余弦方差”的取值可能为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】ABC【分析】根据所给定义及三角恒等变换公式将函数化简，再根据SKIPIF1<0的取值范围，求出SKIPIF1<0的取值范围，再根据正弦函数的性质计算可得.【详解】解：依题意SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；故选：ABC17．（2021秋·全国·高三校联考期中）数学中一般用SKIPIF1<0表示a，b中的较小值，SKIPIF1<0表示a，b中的较大值；关于函数：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，有如下四个命题，其中是真命题的是（

）A．SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的最小正周期均为SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的图象均关于直线SKIPIF1<0对称C．SKIPIF1<0的最大值是SKIPIF1<0的最小值D．SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的图象关于原点中心对称【答案】BD【分析】先求出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，结合函数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的图象即可求解【详解】设SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0函数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的大致图象如下所示：对A，由图知，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的最小正周期均为2π；故A错误；对B，由图知，SKIPIF1<0为函数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的对称轴，故B正确.对C，SKIPIF1<0，由图知∶函数SKIPIF1<0的值域为SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0的值域为SKIPIF1<0，故C错误；对D，由图知，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的图象关于原点中心对称，故D正确；故选：BD.18．（2022·江苏·高一专题练习）已知角SKIPIF1<0和SKIPIF1<0都是任意角，若满足SKIPIF1<0，则称SKIPIF1<0与SKIPIF1<0“广义互余”SKIPIF1<0若SKIPIF1<0，则下列角SKIPIF1<0中，可能与角SKIPIF1<0“广义互余”的有（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】AC【分析】由题可得SKIPIF1<0，根据诱导公式化简计算判断每个选项即可.【详解】若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0广义互余，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．又由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0．对于A，若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0广义互余，则SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0与SKIPIF1<0可能广义互余，故A正确；对于B，若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0广义互余，则SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得

SKIPIF1<0，故B错误；对于C，综上可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由此可得C正确，D错误．故选：AC．19．（2022春·辽宁沈阳·高一沈阳市第一二〇中学校考阶段练习）在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义SKIPIF1<0为角SKIPIF1<0的正矢，记作SKIPIF1<0，定义SKIPIF1<0为角SKIPIF1<0的余矢，记作SKIPIF1<0，则下列命题正确的是（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0D．函数SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0【答案】BC【分析】利用诱导公式化简可得A错误，B正确；化简已知等式得到SKIPIF1<0，将所求式子化简为正余弦齐次式，由此可配凑出SKIPIF1<0求得结果，知C正确；利用诱导公式化简整理得到SKIPIF1<0，由此可知最大值为SKIPIF1<0，知D错误.【详解】对于A，SKIPIF1<0，A错误；对于B，SKIPIF1<0，B正确；对于C，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，C正确；对于D，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，D错误.故选：BC.【点睛】关键点点睛：本题考查了三角函数的新定义的问题，解题关键是能够充分理解已知所给的定义，结合三角函数的诱导公式、正余弦齐次式的求解等知识来判断各个选项.20．（2022秋·河南濮阳·高一濮阳一高校考期末）在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数:SKIPIF1<0定义SKIPIF1<0为角SKIPIF1<0的正矢，记作SKIPIF1<0，SKIPIF1<0定义SKIPIF1<0为角SKIPIF1<0的余矢，记作SKIPIF1<0，则下列命题中正确的是（

）A．函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是减函数B．函数SKIPIF1<0的最小正周期为SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】AC【分析】由余弦函数的单调性可判断A选项；验证得SKIPIF1<0，可判断B选项；由定义的诱导公式可判断C选项；取SKIPIF1<0，代入验证可判断D选项.【详解】因为SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是增函数，所以函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是减函数，故A正确；函数SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以B错误；SKIPIF1<0，故C正确；取SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故D错误,故选：AC.【点睛】本题考查函数的新定义，三角函数的诱导公式，同角三角函数间的关系，余弦函数的性质，属于中档题.三、填空题21．（2023·高一课时练习）我们规定把SKIPIF1<0叫做SKIPIF1<0对SKIPIF1<0的余弦方差，那么对任意实数B，B对SKIPIF1<0的余弦方差是______．【答案】SKIPIF1<0##SKIPIF1<0【分析】根据余弦方差的定义求得正确答案.【详解】依题意，B对SKIPIF1<0的余弦方差是：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<022．（2022·全国·高一专题练习）已知SKIPIF1<0都是定义在SKIPIF1<0上的函数，若存在实数SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，则称SKIPIF1<0是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上生成的函数.若SKIPIF1<0，以下四个函数中：①SKIPIF1<0；

②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；

④SKIPIF1<0.所有是SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上生成的函数的序号为________.【答案】①②③【分析】根据两角差的余弦公式、二倍角公式，结合题中定义逐一判断即可.【详解】SKIPIF1<0.①：SKIPIF1<0，因此有SKIPIF1<0，所以本函数是SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上生成的函数；②：SKIPIF1<0，因此有SKIPIF1<0，本函数是SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上生成的函数；③：SKIPIF1<0，因此有SKIPIF1<0，本函数是SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上生成的函数；④：SKIPIF1<0，显然不存在实数SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0成立，因此本函数不是SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上生成的函数，故答案为：①②③23．（2021春·江苏淮安·高一校联考阶段练习）形如SKIPIF1<0的式子叫做行列式，其运算法则为SKIPIF1<0，则行列式SKIPIF1<0的值是___________.【答案】SKIPIF1<0【分析】根据新定义计算即可．【详解】由题意SKIPIF1<0．故答案为SKIPIF1<0．24．（2023·高一课时练习）若两个函数的图象经过若干次平移后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数．给出下列四个函数：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0．其中“同形”函数有__________．（选填序号）【答案】①②【分析】利用三角恒等变换转化函数解析式，对比各函数的最小正周期及振幅即可得解.【详解】由题意，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，四个函数的最小正周期均相同，但振幅相同的只有①，②，所以“同形”函数有①②.故答案为：①②.25．（2023·高一课时练习）在直角坐标系中，横､纵坐标均为整数的点叫格点.若函数SKIPIF1<0的图像恰好经过SKIPIF1<0个格点，则称函数SKIPIF1<0为SKIPIF1<0阶格点函数.在SKIPIF1<0上，下列函数中，为一阶格点函数的是___________.(选填序号)①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0【答案】①②③【分析】根据题目定义以及各函数的图象与性质即可判断．【详解】当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的图象只经过一个格点SKIPIF1<0，符合题意；函数SKIPIF1<0的图象只经过一个格点SKIPIF1<0，符合题意；函数SKIPIF1<0的图象经过七个格点，SKIPIF1<0，不符合题意．故答案为：①②③．26．（2022春·河南商丘·高一商丘市第一高级中学校考开学考试）在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，已知任意角SKIPIF1<0以坐标原点SKIPIF1<0为顶点，SKIPIF1<0轴的非负半轴为始边，若终边经过点SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，定义：SKIPIF1<0，称“SKIPIF1<0”为“正余弦函数”，对于“正余弦函数SKIPIF1<0”，有同学得到以下性质：①该函数的值域为SKIPIF1<0；

②该函数的图象关于原点对称；③该函数的图象关于直线SKIPIF1<0对称；

④该函数为周期函数，且最小正周期为SKIPIF1<0；⑤该函数的递增区间为SKIPIF1<0.其中正确的是__________．（填上所有正确性质的序号）【答案】①④⑤.【详解】分析：根据“正余弦函数”的定义得到函数SKIPIF1<0，然后根据三角函数的图象与性质分别进行判断即可得到结论．详解：①中，由三角函数的定义可知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以是正确的；②中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以函数关于原点对称是错误的；③中，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以图象关于SKIPIF1<0对称是错误的；④中，SKIPIF1<0，所以函数为周期函数，且最小正周期为SKIPIF1<0，所以是正确的；⑤中，因为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即函数的单调递增区间为SKIPIF1<0，所以是正确的，综上所述，正确命题的序号为①④⑤．点睛：本题主要考查了函数的新定义的应用，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中根据函数的新定义求出函数SKIPIF1<0的表达式是解答的关键，同时要求熟练掌握三角函数的图象与性质是解答额基础，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．27．（2015秋·广东揭阳·高一统考期中）定义一种运算，令，且，则函数的最大值是_______________【答案】SKIPIF1<0【详解】试题分析：：∵，∴0≤sinx≤1∴SKIPIF1<0由题意可得，SKIPIF1<0函数的最大值SKIPIF1<0考点：三角函数的最值四、解答题28．（2023春·云南文山·高一校考阶段练习）人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份，在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则曼哈顿距离为：SKIPIF1<0，余弦相似度为：SKIPIF1<0，余弦距离为SKIPIF1<0(1)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求A，B之间的曼哈顿距离SKIPIF1<0和余弦距离；(2)已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【分析】（1）根据公式直接计算即可.（2）根据公式得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，计算得到答案.【详解】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故余弦距离等于SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0SKIPIF1<0；SKIPIF1<0SKIPIF1<0故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.29．（2023·高一课时练习）知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．与之类似，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对SKIPIF1<0．如图，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0．顶角SKIPIF1<0的正对记作SKIPIF1<0，这时SKIPIF1<0．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述对角的正对定义，解下列问题：(1)SKIPIF1<0的值为（

）A．SKIPIF1<0

B．SKIPIF1<0

C．SKIPIF1<0

D．SKIPIF1<0(2)对于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的正对值SKIPIF1<0的取值范围是______．(3)已知SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0为锐角，试求SKIPIF1<0的值．【答案】(1)B(2)SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0【分析】（1）在等腰SKIPIF1<0中，取SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，利用正对的定义可得出SKIPIF1<0的值；（2）在等腰SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，推导出SKIPIF1<0，结合正弦函数的基本性质可求得SKIPIF1<0的取值范围；（3）利用同角三角函数的基本关系求出SKIPIF1<0，利用二倍角公式可求得SKIPIF1<0，由此可得出SKIPIF1<0的值.【详解】（1）解：在等腰SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为等边三角形，所以，SKIPIF1<0，故选：B.（2）解：在等腰SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.（3）解：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0.30．（2020秋·全国·高三校联考阶段练习）若函数SKIPIF1<0，平面内一点坐标SKIPIF1<0，我们称SKIPIF1<0为函数SKIPIF1<0的“相伴特征点”，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的“相伴函数”．（1）已知SKIPIF1<0，求函数SKIPIF1<0的“相伴特征点”；（2）记SKIPIF1<0的“相伴函数”为SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0图象上所有点的纵坐标伸长到原来的SKIPIF1<0倍（横坐标不变），再将所得图象上所有点横坐标缩短为原来的SKIPIF1<0（纵坐标不变），再将所得的图象上所有点向右平移SKIPIF1<0个单位长度，得到函数SKIPIF1<0，作出SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的图象．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）作图见解析.【分析】（1）利用二倍角的降幂公式化简得出SKIPIF1<0，由此可得出函数SKIPIF1<0的“相伴特征点”的坐标；（2）由题中定义可得出SKIPIF1<0，利用三角函数图象变换得出SKIPIF1<0，然后通过列表、描点、连线，可得出函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上的图象.【详解】（1）SKIPIF1<0，故函数SKIPIF1<0的“相伴特征点”为SKIPIF1<0；（2）由题意可得SKIPIF1<0，将函数SKIPIF1<0图象上所有点的纵坐标伸长到原来的SKIPIF1<0倍（横坐标不变），得到函数SKIPIF1<0的图象，再将所得图象上所有点横坐标缩短为原来的SKIPIF1<0（纵坐标不变），可得到函数SKIPIF1<0的图象，再将所得的图象上所有点向右平移SKIPIF1<0个单位长度，可得到函数SKIPIF1<0的图象，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，列表如下：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0故函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的图象如下图所示.【点睛】本题考查三角函数的新定义、利用三角函数图象变换求解析式，同时也考查了五点作图法，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.五、双空题31．（2022秋·内蒙古包头·高一统考期末）对任意闭区间SKIPIF1<0，SKIPIF1<0表示函数SKIPIF1<0在区间