第17讲 第六章 平面向量及其应用 章节验收测评卷（解析版）

第六章平面向量及其应用章节验收测评卷一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（2023上·湖北黄石·高二阳新县第一中学校联考期中）如图，在四边形ABCD中，，设，，则等于（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】因为，所以.故选：C2．（2023上·山东·高三校联考阶段练习）若点不共线，则“与的夹角为钝角”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．充分必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】不等式等价于，两边平方可得：，即，其中当且仅当与的夹角为钝角或与的方向相反，由于点不共线，所以当且仅当与的夹角为钝角，故选：B.3．（2024上·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知向量，，，若，则（

）A． B． C．3 D．0【答案】B【详解】，，则有，解得.故选：B4．（2024上·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第六中学校校考阶段练习）密位制是度量角的一种方法，把一周角等分为6000份，每一份叫作1密位的角．在角的密位制中，单位可省去不写，采用四个数码表示角的大小，在百位数与十位数之间画一条短线，如1周角等于6000密位，写成“”，578密位写成“”．若在中，分别是角所对的边，且有．则角用密位制表示正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为，所以，又，所以，由题知，密位，所以密位，依题意，1000密位表示为.故选：C5．（2023上·陕西·高三校联考阶段练习）已知向量，满足，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为，，，所以，，即，，解得，，所以，，则．故选：D．6．（2023上·全国·高三专题练习）已知在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．则为（）．A．等腰三角形 B．直角三角形C．等边三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【详解】由及正弦定理，得，又，故，又，故．因为，由余弦定理，得，所以，所以是以为直角的直角三角形．故选：B7．（2022下·江西南昌·高一统考期末）某学生体重为，处于如图所示的平衡状态，假设他每只胳膊的最大拉力大小均为（重力加速度大小为g），如果要使胳膊得到充分的锻炼，那么他两只胳膊的夹角最大为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意，不妨设当该学生两只胳膊的拉力最大时，他两只胳膊的夹角最大为，设此时两只胳膊的拉力为,则N,则，即有，所以，即，故，故，故选：B8．（2023上·河南·高三校联考阶段练习）在中，点是边的中点，且，点满足（），则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为（），所以，又，所以点在线段上，所以.设（），所以，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为.故选：B.二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9．（2023上·福建·高三校联考阶段练习）下列各组向量中，可以作为所有平面向量的一个基底的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】ACD【详解】易知能作为基底的两个平面向量不能共线，因为，，，则选项A、C、D中两个向量均不共线，而B项中，则B错误.故选：ACD10．（2023·安徽·池州市第一中学校联考模拟预测）在中，，若满足条件的三角形有两个，则边的取值可能是（

）A．1.5 B．1.6 C．1.7 D．1.8【答案】BC【详解】根据题意可得：满足条件的有两个，可得，故选:BC11．（2023·广东·统考二模）若平面向量，，其中，，则下列说法正确的是（

）A．若，则B．若，则与同向的单位向量为C．若，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为D．若，则的最小值为【答案】BD【详解】由，，A选项：，则，解得，则，，所以不存在，使，即，不共线，A选项错误；B选项：，则，解得，即，，，所以与同向的单位向量为，B选项正确；C选项：时，，又与的夹角为锐角，则，解得，且，即，C选项错误；D选项：由，得，即，所以，当且仅当，即时，等号成立，D选项正确；故选：BD.12．（2023下·山西朔州·高一校考阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，D为AB的中点，且，，则（

）．A． B．面积的取值范围为C．周长的取值范围为 D．CD长度的取值范围为【答案】BCD【详解】由正弦定理可得，整理得，所以，又，所以．故A错误，对于B,由可得，当且仅当时取等号，所以,故面积的取值范围为，B正确，对于C，由得，当且仅当时取等号，由于故周长的范围，故C正确，对于D，由于，所以，由于，所以，故D正确，故选：BCD三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.）13．（2023下·辽宁·高二统考学业考试）在中，点为边的中点，若，则实数的值为.【答案】2【详解】因为，，所以，所以，即.故答案为：214．（2023上·全国·高三贵溪市实验中学校联考阶段练习）已知向量满足，，则．【答案】【详解】由，得，有，则．故答案为：15．（2023上·黑龙江牡丹江·高三牡丹江市第二高级中学校考阶段练习）如图所示，为了测量某座山的山顶A到山脚某处的距离（垂直于水平面），研究人员在距研究所处的观测点处测得山顶A的仰角为，山脚的俯角为.若该研究员还测得到处的距离比到处的距离多，且，则.【答案】【详解】设，则，在中，因为，由余弦定理可得：，解得：，则.过点作，由题意可得：，则，，可得，，则，所以.故答案为：.16．（2023下·安徽宣城·高一统考期末）已知中，，，，M是AB的中点，P为线段DC上的动点，则的取值范围是；延长DC至，使，若T为线段上的动点，且恒成立．则的最大值为．【答案】【详解】建立平面直角坐标系，如图所示：中，2，，所以即，，设，则，所以，由，得，所以的取值范围是；设，则，所以，所以不等式化为，则，设，则，所以，当且仅当，即，即时取“＝”，所以的最大值为．故答案为：．四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）17．（2023下·广西河池·高一校联考阶段练习）已知，，．(1)若，求的值；(2)若，且，，三点共线，求的值．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，，所以，因为，所以，解得.（2）因为，，因为，，三点共线，所以，所以，解得，故的值为．18．（2023下·四川成都·高一石室中学校考期中）在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且.(1)求A的大小；(2)若a＝7，且顶点A到边BC的距离等于，求b和c的长.【答案】(1)(2)b＝3，c＝5或b＝5，c＝3【详解】（1）由正弦定理，，即.因为，，所以.（2）由（1）可知①.又因为，所以②，联立①②解得b＝3，c＝5或b＝5，c＝3.19．（2022下·江苏镇江·高一江苏省镇江中学校考期中）的内角A，B，C所对的边分别为．(1)求A的大小；(2)M为内一点，的延长线交于点D，___________，求的面积．请在下面三个条件中选择一个作为已知条件补充在横线上，使存在，并解决问题．①M为的重心，；②M为的内心，；③M为的外心，．【答案】(1)(2)答案见解析【详解】（1）∵，∴，即由正弦定理得，，即，∵，∴，∴，又，∴，∴（2）设外接圆半径为，则根据正弦定理得，，若选①：∵M为该三角形的重心，则D为线段的中点且，又，∴，即，又由余弦定理得，即，解得，∴；若选②：∵M为的内心，∴，由得，∵，∴，即，由余弦定理可得，即，∴，即，∵，∴，∴．若选③：M为的外心，则为外接圆半径，，与所给条件矛盾，故不能选③.20．（2023上·北京海淀·高三统考期中）某景区有一人工湖，湖面有两点，湖边架有直线型栈道，长为，如图所示．现要测是两点之间的距离，工作人员分别在两点进行测量，在点测得，；在点测得．（在同一平面内）

(1)求两点之间的距离；(2)判断直线与直线是否垂直，并说明理由．【答案】(1)(2)直线与直线不垂直，理由详见解析.【详解】（1）依题意，，，，所以，，所以，在三角形中，由正弦定理得，在三角形中，由余弦定理得.

（2）在三角形中，由余弦定理得，，在三角形中，由正弦定理得，，直线与直线不垂直，理由如下：,所以直线与直线不垂直.21．（2023上·辽宁·高三统考期中）如图，在中，是边上的中线．(1)取的中点，试用和表示；(2)若G是上一点，且，直线过点G