专题6 不等式恒成立问题（原卷版）

专题6不等式恒成立问题一、考情分析函数与导数一直是高考中的热点与难点,利用导数研究不等式恒成立问题一直是高考命题的热点,此类问题一般会把函数、导数及不等式交汇考查,对能力要求比较高,难度也比较大,常见的题型是由不等式恒成立确定参数范围问题,常见处理方法有：①首先要构造函数,利用导数研究函数的单调性,求出最值,进而得出相应的含参不等式,从而求出参数的取值范围．②也可分离变量,构造函数,直接把问题转化为函数的最值问题．二、解题秘籍(一)与不等式恒成立问题有关的结论=1\*GB3①.∀x∈D,均有f(x)>A恒成立,则f(x)min>A；=2\*GB3②.∀x∈D,均有f(x)﹤A恒成立,则f(x)max<A；=3\*GB3③.∀x∈D,均有f(x)>g(x)恒成立,则F(x)=f(x)-g(x)>0,∴F(x)min>0；=4\*GB3④.∀x∈D,均有f(x)﹤g(x)恒成立,则F(x)=f(x)-g(x)<0,∴F(x)max<0；=5\*GB3⑤.∀x1∈D,∀x2∈E,均有f(x1)>g(x2)恒成立,则f(x)min>g(x)max；=6\*GB3⑥.∀x1∈D,∀x2∈E,均有f(x1)<g(x2)恒成立,则f(x)max<g(x)min.【例1】（2024届重庆市拔尖强基联盟高三上学期九月联考）已知函数是定义域上的奇函数，当时，的最小值为4.(1)求实数的值;(2)令，对，都有，求实数的取值范围.【解析】（1）根据题意可知，对应定义域内任意，函数满足，即，即，解得；所以，当时，，即，解得；所以，.（2）由（1）可得，令，，则，易知当时，，此时函数在上单调递减，当时，，即函数在上单调递增，所以；令，则可化为，因为二次函数的对称轴为，所以函数在上单调递增，又对，都有，即即可；所以，即，解得，所以；综上可得，实数的取值范围是.(二)把函数单调性问题转化为不等式恒成立问题若给出函数单调性,求参数范围,可把问题转化为恒成立问题,若可导函数在上是增（减）函数,则时（或）恒成立.【例2】（2024届黑龙江省哈尔滨市第三中学高三上学期开学测试）已知函数.(1)若，求函数的图象在点处的切线方程；(2)若函数在内单调递减，求实数的取值范围.【解析】（1）因为，所以，因为，所以函数的图象在点处的切线方程为，化为一般式为：；（2），因为函数在内单调递减，所以当时，恒成立，即恒成立，设，，即当时，恒成立，当时，，当时，显然；当时，要想时，恒成立；因为，所以只需；当时，因为，的对称轴为，所以时，恒成立.综上所述：实数的取值范围为.(三)把二元不等式恒成立问题转化为函数单调性问题对于形如时不等式恒成立问题,可构造增函数来求解.基本结论：(1)“若任意,,或对任意,,则是增函数；(2)对任意,,则是增函数；【例3】（2024届重庆市渝北中学高三上学期8月月考）已知函数，．(1)当时，求函数的极值；(2)若任意、且，都有成立，求实数的取值范围．【解析】（1）解：当时，，其中，则，令，解得或，又因为，所以，列表如下：20单调递减极小值单调递增因此有极小值，无极大值.（2）解：因为，，所以，其中，对、且，不妨设，则，得到，化为，设且函数的定义域为，所以在为增函数，即有对恒成立，即对任意的恒成立，设，其中，则，令，解得，令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以最大值，因此实数的取值范围是．(四)形如“若,则”的恒成立问题求解此类问题的思路是：先确定是使的参数的取值范围,当,由为增函数及可得恒成立,当时确定存在,使得,,递减,即时,故原不等式不恒成立.【例4】函数的图像与直线相切.(1)求实数a的值；(2)当时,,求实数m的取值范围.【解析】(1),设切点为,所以有,因为是切线,所以有,设,显然当时,单调递增,所以有,当时,,所以无实数根,因此当时,方程有唯一实数根,即,于是有,因此有；(2)令,则在恒成立.若,即时,当时,由得,所以在单调递增,又,所以在恒成立；当时,所以.所以在恒成立.若即时,,则存在,使得在单调递减,则当时,矛盾,舍综上所述,的取值范围时.(五)根据不等式恒成立求整数参数的最值此类问题通常可分类参数，把问题转化为（），的形式，有最小（大）值，但无法求出，只能引入导函数的隐零点，估计的范围，再确定整数的最大（小）值.【例5】（2024届辽宁省沈阳市第一二〇中学高三上学期第二次质量检测）已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)若，函数在上恒成立，求整数a的最大值.【解析】（1）根据题意可得，若，在上恒成立，此时函数在上单调递增；若，此时，当时，满足，此时函数在，上单调递增；当时，满足，此时函数在单调递减；若，此时，当时，满足，此时函数在，上单调递增，当时，满足，此时函数在单调递减；综上可知，时，在上单调递增；时，在和上单调递增，在单调递减；时，在和上单调递增，在单调递减；（2）由可得，解得；所以，则，易知时，，若函数在上恒成立，等价成在上恒成立；令，则；令，则在上恒成立，即函数在上单调递增，易知，由于，所以，而，且，所以；因此在有且仅有一个零点，满足，且；所以当时，，当时，；因此函数在上单调递减，在上单调递增；所以的最小值为，显然，因此，又是整数，所以的最大值为4.(六)通过构造函数求最值解决不等式恒成立问题=1\*GB3①该方法一般是根据不等式的结构构造一个新函数,利用导数研究该函数的单调性,由函数的单调性确定其最值,或把其最值用含有参数的式子来表示,再根据所给不等式列出关于参数的不等式,=2\*GB3②注意如果所构造的函数,其导数结构比较复杂不易分析出单调性,则可把需要判断符号的式子拿出来构造一个新函数,再想办法解决其符号.=3\*GB3③有时所构造的函数的最值不易求出,可以引入导数的隐零点,把函数最值用导数的隐零点表示.=4\*GB3④在考虑函数最值时,除了依靠单调性,也可根据最值点的出处,即“只有边界点与极值点才是最值点的候选点”,所以有的讨论点就集中在“极值点”是否落在定义域内.【例6】设函数,其中.(1)当时,求函数的单调区间；(2)若,求实数的取值范围.【解析】(1),.当时,恒成立,则在上为减函数,当时,令,可得,则,解得,令,解得,综上,当时,的减区间为；当时,的单调递增区间为,单调递减区间为.(2)由,可得设,则.①当时,,单调递增,而,所以不满足题意,②当时,令,解得,当时,,为减函数,当时,,为增函数,所以.令,,当时,,为增函数,当时,,为减函数,所以,又.则,解得,所以实数的取值范围是.(七)通过分类参数把不等式恒成立问题转化为求不含参数的函数的最值=1\*GB3①分类参数法就是在不等式中含有两个字母时（一个视为变量,另一个视为参数）,可利用不等式的等价变形让两个字母分居不等号的两侧,即不等号的每一侧都是只含有一个字母的表达式.然后可利用其中一个变量的范围求出另一变量的范围,转化为求函数的最值问题.=2\*GB3②一般情况下,那个字母的范围已知,就将其视为变量,构造关于它的函数,另一个字母（一般为所求）视为参数.=3\*GB3③要注意分类参数法不是万能的,已知不等式中两个字母是否便于进行分离,如果仅通过几步简单变换即可达到分离目的,则参变分离法可行.但有些不等式中由于两个字母的关系过于“紧密”,会出现无法分离的情形,此时要考虑其他方法.此外参数分离后,要注意变量的函数解析式是否便于求出最值（或临界值）,若解析式过于复杂而无法求出最值（或临界值）,则也无法用分离法解决问题.【例7】已知函数,.(1)当b=1时,讨论函数的单调性；(2)若函数在处的切线方程为,且不等式恒成立,求实数m的取值范围.【解析】(1)当b=1时,,定义域为（0,+∞）,.当时,,所以函数在（0,+∞）上单调递减.当时,,令,得；令,得,所以函数在（0,a）上单调递增,在（a,+∞）上单调递减.综上,当时,函数在（0,+∞）上单调递增,当时,函数在（0,a）上单调递增,在（a,+∞）上单调递减.(2)因为函数在处的切线方程为y=(e－1)x－2,所以,且,由于,所以解得a=b=1,所以f(x)=lnx－x,所以f(x)≤g(x)即,等价于对x>0恒成立,即对x>0恒成立.令,所以,.令,,则恒成立,所以G(x)在（0,＋∞）上单调递增.由于G(1)=e>0,,所以使得,即,（※）所以当时,G(x)<0,当时,G(x)>0,即F(x)在上单调递减,在上单调递增,所以,由（※）式可知,,,令,,又x>0,所以,即s(x)在（0,+∞）上为增函数,所以,即,所以,所以所以,实数m的取值范围为（－∞,1].三、典例展示【例1】（2023届山东省淄博市实验中学、齐盛高中高三上学期考试）已知函数．(1)讨论函数的单调性；(2)当时，使得成立，求实数的取值范围．【解析】（1）解：由题意可得，，故，当时，，所以在上单调递增，无减区间；当时，令，解得；由，解得，所以的单调递增区间为，递减区间为．综上所述，当时，的单调递增区间为，无减区间；当时，的单调递增区间为，递减区间为．（2）解：由题意得，只需成立．因为，令，则，当时，，当时，所以在上递减，递增，且所以，故，即在上单调递增，所以在上递增，所以．由（1）知，当时，在上递增，在上递减．①当即时，在上递减，，所以，所以；②当即时，在递增，，所以，所以；③当即时，在上递增，在上递减，可得，又因为当时，，所以，所以；当时，，所以，所以，综上所述，实数的取值范围是.【例2】（2024届百师联盟高三上学期联考）已知函数，.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若关于的不等式在上恒成立，求的最小值.【解析】（1）由题当时，，，，，所以切线方程为，化简得，即曲线在点处的切线方程为.（2）由可得，令，，则，当时，，设，易知在上单调递增，又，，则存在，使得，即，取对数得，当时，，，单调递增，当时，，，单调递减，，在上单调递增，则，又对任意恒成立，，所以，即的最小值为-3.【例3】（2024届浙江省名校协作体高三上学期联考）已知函数有两个极值点．其中，为自然对数的底数．(1)求实数的取值范围；(2)若恒成立，求的取值范围．【解析】（1）由于，由题知有两个不同实数根，即有两个不同实数根．令，则，解得，故在上单调递增，在上单调递减，且时，，时，，，故的图象如图所示，

当时，有两个零点且．则或，故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，的极大值点为，极小值点为．故有两个极值点时，实数的取值范围为．（2）由于若设，则上式即为由（1）可得，两式相除得，即，由得所以，令，则在恒成立，由于，令，则，，显然在递增，又有，所以存在使得，且易得在递减，递增，又有，所以存在使得，且易得在递减，递增，又，则时，时，，所以易得在上递减，在上递增，则，所以的取值范围为．【例4】（2023届河南省郑州外国语学校高三下学期4月月考）已知函数．（a，b为实数）(1)当时，求过点的图象的切线方程；(2)设，若恒成立，求b的取值范围．【解析】（1）因为，则，所以，设切线与图象切于点，则切线方程为，令，

则，即，所以切线方程为.（2）由，

令，则，故，下面证明：时符合题意.当时，，以下证明：，

构造函数，则，令，则，令，可得；

令，可得，于是在上单调递减，在上单调递增，

于是，所以，当时，；当时，.所以在上单调递减，在上单调递增，故，综上，实数b的取值范围．四、跟踪检测1．（2024届湖北省随州市曾都区高三上学期测试）已知函数（）图象在点处的切线与直线垂直．(1)求实数a的值；(2)若存在，使得恒成立，求实数k的最大值．2．（2023届黑龙江省鸡西市密山市高三上学期第三次月考）已知函数．(1)若是的极值点，求的单调性；(2)若恒成立，求a的取值范围．3．（2024届陕西省西安市部分学校高三上学期联考）已知函数，且.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若关于的不等式恒成立，其中是自然对数的底数，求实数的取值范围.4．（2023届安徽省临泉第一中学高三上学期第三次月考）设函数，已知直线是曲线的一条切线．(1)求实数a的值；(2)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．5．（2024届江苏省镇江市丹阳市高三上学期检测）已知函数（e为自然对数的底数）.(1)求函数在处的切线方程；(2)若恒成立，求证：实数.6．（2024届福建省莆田市第一中学高三上学期期初考试）已知函数，.(1)若不等式的解集为，求不等式的解集；(2)若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.7．（2023届河南省部分名校高三二模）已知函数，.(1)讨论的单调性；(2)当时，若对于任意的，总存在，使得，求的取值范围.8．（2024届江