第5章 导数及其应用章末题型归纳总结（原卷版）

第5章导数及其应用章末题型归纳总结目录模块一：本章知识思维导图模块二：典型例题经典题型一：导数的计算经典题型二：函数的单调性与导数经典题型三：切线方程问题经典题型四：距离最值问题经典题型五：最值与极值问题经典题型六：恒成立问题经典题型七：构造函数解不等式问题经典题型八：与导数有关的实际应用问题经典题型九：证明不等式问题经典题型十：零点问题模块三：数学思想方法①分类讨论思想②转化与化归思想③数形结合思想模块一：本章知识思维导图

模块二：典型例题经典题型一：导数的计算例1．（2023·安徽滁州·高二校考阶段练习）函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列大小关系正确的是（

）

A．B．C．D．例2．（2023·河北廊坊·高二校联考开学考试）函数在上可导，若，则（

）A．12 B．9 C．6 D．3例3．（2023·四川雅安·高二校考阶段练习）已知函数，则（

）A．－1 B．0 C．1 D．例4．（2023·新疆伊犁·高二统考期中）已知函数的导函数为，且满足，则（

）A． B．-1 C． D．0例5．（2023·全国·高二随堂练习）已知，，，，求下列函数在处的导数值：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．例6．（2023·全国·高二课堂例题）求下列函数的导数：(1)；(2)；(3)．例7．（2023·高二课时练习）求下列函数的导数：(1)；(2)；(3)；(4)．经典题型二：函数的单调性与导数例8．（2023·宁夏银川·高二宁夏育才中学校考阶段练习）函数的单调递减区间是.例9．（2023·甘肃武威·高二天祝藏族自治县第一中学校考阶段练习）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为．例10．（2023·广东肇庆·高二校考阶段练习）已知函数在上单调递增，则实数的最小值为.例11．（2023·江苏苏州·高二江苏省苏州第一中学校校考阶段练习）函数的增区间为．例12．（2023·北京海淀·高二统考期末）已知函数在上是增函数，则的取值范围是．例13．（2023·四川自贡·高二统考期末）已知函数，若，则的范围是．例14．（2023·北京通州·高二校考阶段练习）若在上是减函数，则b的取值范围是.例15．（2023·陕西延安·高二陕西延安中学校考期中）已知函数．(1)若的图象在处的切线与直线垂直，求实数的值；(2)讨论在上的单调性．例16．（2023·全国·高二专题练习）已知函数（为自然对数的底数）.若时，求函数的单调区间.例17．（2023·全国·高二专题练习）已知函数.讨论的单调性；例18．（2023·全国·高二专题练习）已知函数，讨论的单调性.例19．（2023·全国·高二专题练习）已知函数．讨论函数的单调性；例20．（2023·全国·高二专题练习）已知函数，讨论的单调性；例21．（2023·全国·高二专题练习）已知函数.讨论的单调性.经典题型三：切线方程问题例22．（2023·安徽蚌埠·统考二模）已知曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为（

）A． B． C． D．例23．（2023·西藏日喀则·高二统考期末）已知函数的图象在点处的切线与平行，则（

）A．-1 B．1 C．-2 D．2例24．（2023·吉林长春·高二长春外国语学校校考阶段练习）已知曲线在处的切线与坐标轴围成三角形的面积为1，则实数的值为（

）A．0或1 B．1或 C．0或 D．或例25．（2023·黑龙江哈尔滨·高二统考期末）牛顿迭代法亦称切线法，它是求函数零点近似解的另一种方法.若定义是函数零点近似解的初始值，在点处的切线方程为，切线与轴交点的横坐标为，即为函数零点近似解的下一个初始值.以此类推，满足精度的初始值即为函数零点近似解.设函数，满足，应用上述方法，则（

）A．1 B． C． D．例26．（2023·陕西宝鸡·高二统考期末）若过点可作曲线的两条切线，则点可以是（

）A． B． C． D．例27．（2023·山东菏泽·高二统考期末）如图，函数的图象在点处的切线是，则（

）

A．1 B．2 C．0 D．例28．（2023·四川绵阳·高二校考期中）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（

）A．2 B．3 C．1 D．1.5例29．（2023·陕西西安·高二西北工业大学附属中学校考阶段练习）若曲线与曲线在公共点处有相同的切线，则实数a等于（

）A． B．－ C．－ D．例30．（2023·全国·高三校联考开学考试）若曲线存在垂直于y轴的切线，则a的取值范围是(

)A． B． C． D．例31．（2023·山西太原·高二统考期末）已知曲线在点处的切线与曲线有且只有一个公共点，则实数（

）A．2 B．0或2 C． D．或0例32．（2023·全国·模拟预测）已知曲线在处的切线经过点，则的大致范围是（

）（参考数据：，）A．（2，e） B．（e，3） C．（3，4） D．（4，5）经典题型四：距离最值问题例33．（2023·吉林白山·高二校联考期末）已知点在函数的图象上，点在直线上，则，两点之间距离的最小值是（

）A． B．4 C． D．8例34．（2023·贵州黔东南·高二凯里一中校考阶段练习）已知点P（x,y）是曲线上的一动点，则点P（x,y）到直线的距离的最小值为（

）A． B． C． D．例35．（2023·浙江·高二校联考阶段练习）若点，，则、两点间距离的最小值为（

）A．1 B． C． D．2例36．（2023·北京西城·高二统考期末）设P为曲线上一点，Q为曲线上一点，则|PQ|的最小值为（

）A． B．1 C． D．2例37．（2023·湖北十堰·高二统考期末）已知直线与及的图像分别交于A，B两点，则的最小值为（

）．A．1 B． C． D．例38．（2023·山西运城·高二康杰中学校考开学考试）函数，的图象与直线分别交于两点，则的最小值为（

）A．1 B． C．3 D．2例39．（2023·江西南昌·高二校联考期末）曲线上的点到直线的距离的最小值是（

）A．3 B． C．2 D．经典题型五：最值与极值问题例40．（2023·全国·高二课堂例题）求下列函数的单调区间和极值．(1)；(2)．例41．（2023·重庆江北·高二重庆十八中校考期中）已知是函数的极小值点．(1)求实数的取值范围；(2)求的极大值．例42．（2023·甘肃武威·高二校联考期中）已知函数.(1)求在处的切线方程；(2)求函数的极值.例43．（2023·四川雅安·高二校考阶段练习）设曲线在点处的切线方程为（其中，a，，是自然对数的底数）.(1)求a，b的值；(2)求在区间上的最大值和最小值.例44．（2023·湖北黄冈·高二校考阶段练习）已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程;(2)求函数在区间上的最大值和最小值.例45．（2023·吉林长春·高二长春外国语学校校考期中）已知函数，其中(1)当时，求函数的单调区间；(2)若恒成立，求的最小值.例46．（2023·高二课时练习）已知函数在上的最小值为，求a的值.经典题型六：恒成立问题例47．（2023·新疆喀什·高二统考期末）已知函数.(1)求曲线在处的切线方程.(2)若在定义域上恒成立，则a的取值范围.例48．（2023·天津·高二天津市西青区杨柳青第一中学校联考期末）已知函数其中为常数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)求的单调区间；(3)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围.例49．（2023·海南省直辖县级单位·高二嘉积中学校考期中）已知函数，（其中）．(1)若，求函数的单调区间；(2)若对于任意，都有成立，求的取值范围．例50．（2023·上海浦东新·高二上海市建平中学校考期末）已知函数.(1)若，求函数在处的切线方程；(2)若函数在上严格增，求实数的取值范围.例51．（2023·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考期中）已知函数．(1)求函数的单调增区间；(2)若对任意的，都有恒成立，求的取值范围．例52．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，其图象在点处的切线方程为．(1)求，的值与函数的单调区间；(2)若对，，不等式恒成立，求的取值范围．例53．（2023·四川内江·高二四川省内江市第六中学校考期中）已知函数(1)当时，求函数的单调区间；(2)当时，函数在上的最大值为M，若存在，使得成立，求实数b的取值范围．例54．（2023·四川南充·高三四川省南充市高坪中学校考开学考试）已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程;(2)若恒成立，求实数的取值范围.经典题型七：构造函数解不等式问题例55．（2023·四川眉山·高二统考期末）函数的定义域是，，对任意，，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．例56．（2023·广东东莞·高二校联考阶段练习）已知定义在上的函数的导函数为，且对任意都有，，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．例57．（2023·湖北武汉·高二武汉市育才高级中学校联考期末）已知定义域为的奇函数的图象是一条连续不断的曲线，当时，，当时，，且，则关于的不等式的解集为（

）A． B．C． D．例58．（2023·贵州·高二校联考阶段练习）已知函数是定义在上的可导函数，且满足，，，则不等式的解集是（

）A． B． C． D．例59．（2023·四川凉山·高二宁南中学校考阶段练习）已知函数满足，且的导函数，则的解集为（

）A． B． C． D．例60．（2023·吉林长春·高二东北师大附中校考期中）函数的定义城为，，对任意，，则的解集为（

）A． B．C． D．例61．（2023·湖北·高二校联考期中）已知函数的定义域为R，为的导函数，且，则不等式的解集是（

）A． B．C． D．例62．（2023·山东济南·高三统考期末）已知定义在上的可导函数的导函数为，满足，且，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．经典题型八：与导数有关的实际应用问题例63．（2023·宁夏银川·高二宁夏育才中学校考阶段练习）某校高二年级某小组开展研究性学习，主要任务是对某产品进行市场销售调研，通过一段时间的调查，发现该商品每日的销售量单位：千克与销售价格单位：元千克近似满足关系式，其中，，，为常数，已知销售价格为元千克时，每日可售出千克，销售价格为元千克时，每日可售出千克．(1)求的解析式；(2)若该商品的成本为元千克，请你确定销售价格的值，使得商家每日获利最大．例64．（2023·高二课时练习）已知某厂生产一种产品的总成本C（单位：万元）与产品件数x满足函数关系，产品单价P（单位：万元）和产品件数x满足函数关系．问：产量为多少件时，总利润最大？例65．（2023·黑龙江绥化·高二校考阶段练习）消毒液已成为生活必需品，日常的消费需求巨大．某商店销售一款酒精消毒液，每件的成本为元，销售人员经调查发现，该款消毒液的日销售量（单位：件）与销售价格（单位：元/件）满足关系式．(1)求该款消毒液的日利润与销售价格间的函数关系式；(2)求当该款消毒液每件售价为多少元时，每日销售该款消毒液所获得的利润最大，并求出日最大利润．例66．（2023·高二课时练习）如图是一张边长为3的正方形硬纸板，现把它的四个角上裁去边长为x的四个小正方形，再折叠成无盖纸盒．当裁去的小正方形边长x发生变化时，纸盒的容积V会随之发生变化．当x在什么范围内变化时，容积V随着x的增大而增大？x在什么范围内变化时，容积V随着x的增大而减小？当x取何值时，容积V最大？最大值是多少？（纸板厚度忽略不计）

例67．（2023·海南省直辖县级单位·高三校联考阶段练习）如图，某企业有甲、乙、丙三个工厂，甲、乙厂分别位于笔直河岸的岸边A，B处，丙厂与甲、乙厂在河的同侧，位于C处，CD垂直于河岸，垂足为D，且D与C相距20千米，D与A相距60千米，B与A相距20千米．现要在此岸边BD（不包括端点）之间建一个物流供货站E，假设运输时从供货站到甲、乙、丙三厂均沿直线行驶，从供货站到甲、乙厂的运输费用均为每千米2a元，从供货站到丙厂运输费用是每千米5a元，问：供货站E建在岸边何处才能使总运输费用最省？

例68．（2023·高二课时练习）如图，工厂A到铁路专用线的距离km，在铁路专用线上距离B100km的地方有一个配件厂C，现在准备在专用线的BC段选一处D铺设一条公路（向着A），为了使得配件厂到工厂A的运费最省，那么D处应如何选址？（已知每千米的运费铁路是公路的60%）经典题型九：证明不等式问题例69．（2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）已知函数.(1)求的最小值；(2)证明：.例70．（2023·河北沧州·高二校考阶段练习）求证：例71．（2023·新疆喀什·高三统考期末）已知函数.(1)求函数的极大值；(2)求证：.例72．（2023·湖南·高二南县第一中学校联考期中）已知函数，曲线在点处的切线方程为．(1)求a，b的值；(2)证明：．例73．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，（）．(1)若存在两个极值点，求实数的取值范围；(2)若，为的两个极值点，证明：．例74．（2023·浙江·高三专题练习）证明以下不等式：(1)；(2)；(3).经典题型十：零点问题例75．（2023·北京大兴·高三北京市大兴区第一中学校考阶段练习）已知，(1)求的极值；(2)若函数存在两个零点，求的取值范围.例76．（2023·天津滨海新·高三天津市滨海新区塘沽第一中学校考阶段练习）已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求函数在上的单调区间、最值．(3)设在上有两个零点，求的范围.例77．（2023·西藏林芝·高三校考阶段练习）已知函数(1)当时，求的函数值；(2)若有三个零点，求的取值范围.例78．（2023·重庆沙坪坝·高二重庆南开中学校考期中）已知函数，.(1)求函数的单调区间；(2)若函数在上有两个不同的零点，求实数的取值范围.例79．（2023·重庆永川·高二重庆市永川北山中学校校考阶段练习）已知函数.(1)讨论的最值；(2)设，若恰有个零点，求实数的取值范围.例80．（2023·江苏·高三校联考阶段练习）已知函数.(1)设，求在区间上的最值；(2)讨论的零点个数.例81．（2023·贵州六盘水·高三校考阶段练习）已知函数.(1)若，求的极值；(2)若在上有且仅有一个零点，求实数a的取值范围.模块三：数学思想方法①分类讨论思想例82．直线是曲线的一条切线，则实数（

）A．或1 B．或3 C． D．3例83．若是函数的极大值点，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．例84．已知函数在区间上不单调，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．例85．已知函数在处取得极大值，则（

）A．2 B．6 C． D．例86．若经过点作曲线的切线，则切线方程为（

）A． B．C．或 D．或例87．已知函数在内不是单调函数，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．例88．已知函数在R上单调递增，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．②转化与化归思想例89．已知，则“”是“在内单调递增”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件例90．若函数在R上单调递增，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．例91．已知函数的定义域为R，为的导函数，且，则（

）A． B． C． D．例92．已知定义在R上的可导函数的