9.4 抛物线（精练）（教师版）

9.4抛物线（精练）1．（2023·安徽亳州·蒙城第一中学校联考模拟预测）图1是世界上单口半径最大、灵敏度最高的射电望远镜“中国天眼”——口径抛物面射电望远镜，反射面的主体是一个抛物面（抛物线绕其对称轴旋转所形成的曲面称为抛物面），其边缘距离底部的落差约为156.25米，它的一个轴截面开口向上的抛物线C的一部分，放入如图2所示的平面直角坐标系内，已知该抛物线上点P到底部水平线（x轴）距离为，则点到该抛物线焦点F的距离为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】令抛物线方程为且，由题设在抛物线上，则，得，又且，则P到该抛物线焦点F的距离为米.故选：A2．（2023春·河北廊坊）已知抛物线，过点的直线l交C于A，B两点，则直线，（O为坐标原点）的斜率之积为（

）A． B．8 C．4 D．【答案】A【解析】设l的方程为，联立，得，则，所以，所以．故选：A3．（2023秋·海南·高三海南中学校考阶段练习）已知抛物线的焦点为，若直线与交于，两点，且，则（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【解析】令，则，故，所以，所以，故准线为，则.故选：B4．（2023·四川资阳·统考三模）已知抛物线C：，过点的直线l与抛物线C交于A，B两点，若，则直线l的斜率是（

）A． B．4 C． D．【答案】A【解析】设，则作差得.因为，所以P是线段AB的中点，所以，则直线l的斜率.故选：A5．（2023春·河南新乡·高三校联考开学考试）已知直线l交抛物线于M，N两点，且MN的中点为，则直线l的斜率为（

）A． B． C．3 D．【答案】C【解析】易知直线l的斜率存在，设直线的斜率为k，，则，两式相减得，整理得，因为MN的中点为，则，所以，即直线l的斜率为3．故选：C．6．（2023·四川成都·树德中学校考模拟预测）为：的焦点，点在曲线上，且在第一象限，若，且直线斜率为，则的面积（

）A．1 B． C．2 D．【答案】B【解析】

如图，设点，，所以，由题意，所以，得，或（舍去），所以，，故选：B7．（2023春·广东汕头·高三校联考阶段练习）（多选）设抛物线的焦点为，准线为为上一动点，，则下列结论正确的是（

）A．当时，的值为4B．当时，抛物线在点处的切线方程为C．的最小值为3D．的最大值为【答案】ACD【解析】对于A，当时，，故，故A正确；对于B，当时，，由可得，所以，所以抛物线在点处的切线方程为，整理得：，故B错误；对于C，如图，过点作准线于点，则由抛物线定义可知：，则，当三点共线时，和最小，最小值为，故C正确；

对于D，由题意得：，连接并延长，交抛物线于点，此点即取最大值的点，此时，其他位置的点，由三角形两边之差小于第三边得：，故的最大值为，故D正确.

故选：ACD8．（2023·河北·校联考一模）（多选）抛物线的焦点为，为抛物线上的动点，若点不在抛物线上，且满足的最小值为，则的值可以为（

）A． B．3 C． D．【答案】ABC【解析】

如上图所示，若A在抛物线内，易知，抛物线的准线为，过P作PE垂直于抛物线准线，垂足为E，过A作AB垂直于抛物线准线，垂足为B，交抛物线于，由抛物线的定义知，当且仅当A、P、B三点共线时，即重合时取得最小值，，又A在抛物线内，故，所以，即；若A在抛物线外，连接AF交抛物线于G点，则，当且仅当重合时取得最小值，此时即.

综上.故选：ABC9．（2023·江苏南通·统考模拟预测）（多选）已知O为坐标原点，过抛物线的焦点F（2，0）作斜率为的弦AB，其中点A在第一象限，则（

）A． B．C． D．【答案】BD【解析】抛物线方程为，设直线的方程，代入得，设，则，对A：显然不关于轴对称，故，A错误；对B：，所以，B正确；对C：，C错误；对D：，D正确.故选：BD10．（2023秋·河南·高三校联考开学考试）抛物线焦点为，准线上有点是抛物线上一点，为等边三角形，则点坐标为．【答案】【解析】抛物线焦点为，点在准线上，在等边中，，因此长等于点到准线的距离，即有与抛物线准线垂直，

令抛物线准线与x轴交于点，则，由轴，得，于是，令，则，解得，所以点坐标为.故答案为：11．（2022秋·广东梅州·高三统考阶段练习）设抛物线C：的焦点为F，点M在C上，，若以MF为直径的圆过点，则C的方程为.【答案】或.【解析】由题意得，设，则由抛物线的定义得，则，所以圆心的横坐标为，其半径也为，所以圆与y轴相切，又因为以MF为直径的圆过点，所以切点为，所以圆心为，则，又因为点M在抛物线上，所以，即，解得或，所以抛物线方程为：或.故答案为：或.12．（2023春·广东广州）已知点为拋物线上的动点，点为圆上的动点，则点到轴的距离与点到点的距离之和最小值为.【答案】【解析】由题可知，抛物线的准线方程为，焦点坐标为，过点作轴交轴于点，由抛物线的定义可知点到轴的距离即为，圆的圆心坐标为，半径为，故点到轴的距离与点到点的距离之和，根据圆的性质可知点到轴的距离与点到点的距离之和最小值为，当且仅当、、、四点共线（、在之间）时取等号.

故答案为：.13．（2023·福建）已如，是抛物线上的动点（异于顶点），过作圆的切线，切点为，则的最小值为.【答案】3【解析】依题意，设，有，圆的圆心，半径，于是，

因此，表示抛物线上的点到y轴距离与到定点的距离的和，而点在抛物线内，当且仅当是过点垂直于y轴的直线与抛物线的交点时，取得最小值3，所以的最小值为3.故答案为：3.14．（2023·辽宁大连·育明高中校考一模）已知是抛物线上一点，则的最小值为.【答案】/【解析】由题可知，过抛物线上的动点作直线的垂线交直线于，过点作轴的垂线交轴于，交准线于点，为抛物线焦点.由，得，所以，如图所示则动点到轴的距离为所以,当且仅当三点共线时，有最小值，即,(为点到直线的距离).所以到直线的距离为所以，所以.所以的最小值为.故答案为：.15．（2024秋·内蒙古呼和浩特·高三统考开学考试）已知点在抛物线C：上，则A到焦点F的距离为．【答案】4【解析】因为在上，故，A到准线的距离为，故A到焦点F的距离为4.故答案为：416．（2024秋·内蒙古呼和浩特·高三统考开学考试）已知点在抛物线C：上，则点A到抛物线C的准线的距离为．【答案】2【解析】因为在抛物线C：上，所以，解得，故抛物线C的准线为，所以点A到抛物线C的准线的距离为.故答案为：.17．（2022秋·陕西渭南）设抛物线的焦点为F，过点F作直线l交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点E到y轴的距离为3，则弦AB的长为．【答案】10【解析】设，则，由抛物线方程可知，由线段的中点E到y轴的距离为3得，，∴故答案为：.18．（2023秋·安徽·高三安徽省宿松中学校联考开学考试）过抛物线的焦点的直线与交于、两点，且，为坐标原点，则的面积为.【答案】【解析】易知，抛物线的焦点为，若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意，

所以，直线的斜率存在，设直线的方程为，设点、，联立可得，则，故，，又，即，即，所以，，可得，，解得.此时，又因为原点到直线的距离为，故的面积为.故答案为：.19．（2023·贵州遵义·统考三模）已知抛物线上两点A，B关于点对称，则直线AB的斜率为.【答案】2【解析】设，代入抛物线，得，则①，因为两点A，B关于点对称，则，所以由①得，直线AB的斜率为2.则直线AB：与代入抛物线联立，得，，解得.所以直线AB的斜率为2.故答案为：2.20．（2023·陕西咸阳·统考二模）过抛物线的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若l的倾斜角为，则线段AB的中点到x轴的距离是．【答案】3【解析】由题意，抛物线为，则，即直线为，∴将直线方程代入抛物线整理得：，设，，则，故线段的中点的横坐标为代入直线，得，∴线段的中点到轴的距离是.故答案为：3.21．（2023秋·广东深圳·高三校联考开学考试）过抛物线C：焦点F的直线l交抛物线C于A，B两点，且，若M为AB的中点，则M到y轴的距离为.【答案】【解析】作出抛物线的准线，设、在上的射影分别是、，连接、，过作于，设，则，由点、分别在抛物线上，结合抛物线的定义，得，，因此，中，，得所以，直线的倾斜角，得直线的斜率．直线的方程为，代入，可得，或，为的中点，，∴到轴的距离为，故答案为：

22．（2023·人大附中校考三模）已知抛物线的焦点为F，过点F的直线与该抛物线交于A，B两点，，AB的中点横坐标为4，则．【答案】【解析】由抛物线定义知：，而AB的中点横坐标为4，即，所以，即.故答案为：23．（2023秋·课时练习）已知抛物线的焦点为，则，若点在抛物线上，点，则的最小值为.【答案】【解析】抛物线的焦点为，可得，即，抛物线方程为，则抛物线的准线方程为，过作直线的垂线，垂足为，，则当三点共线时，取得最小值，且最小值为（即到准线的距离）.故答案为：；

24．（2023·江苏）设点P是抛物线上的一个动点.(1)求点到的距离与点到直线的距离之和的最小值；(2)若，求的最小值.【答案】(1)(2)4【解析】（1）如图，易知抛物线的焦点为，准线为，由抛物线的定义知点到直线的距离等于点到焦点的距离.于是，问题转化为在曲线上求一点，使点到点的距离与点到的距离之和最小.显然，连接与抛物线的交点即为所求点，故最小值为＝.

（2）如图，过点作垂直于准线于点，过点作垂直准线于点，交抛物线于点，

此时，，那么,即最小值为4.25．（2023·江苏）若位于轴右侧的动点到的距离比它到轴的距离大，点，求的最小值，并求出点的坐标.【答案】最小值为,【解析】由题意可知，动点到的距离与它到直线的距离相等，所以点的轨迹是以点为焦点的抛物线，抛物线方程为，由于点M在抛物线上，所以|MF|等于点M到其准线l的距离|MN|，

过点作垂直于准线于点，于是.当，，三点共线时，取得最小值，即取最小值，这时的纵坐标为2，可设，代入抛物线方程得，即.26（2023秋·课时练习）当k为何值时，直线与抛物线有两个公共点？仅有一个公共点？无公共点？【答案】答案见解析【解析】由，得.当时，方程化为一次方程，该方程只有一解，原方程组只有一组解，∴直线与抛物线只有一个公共点；当时，二次方程的判别式，当时，得，，∴当或时，直线与抛物线有两个公共点；由得，此时直线与抛物线相切，只有一个公共点；由得或，此时直线与抛物线无公共点．综上，当或时，直线与抛物线仅有一个公共点；当或时，直线与抛物线有两个公共点；当或时，直线与抛物线无公共点．27．（2023秋·湖北随州·高三随州市曾都区第一中学校考开学考试）在平面直角坐标系中，已知圆心为C的动圆过点，且在轴上截得的弦长为4，记C的轨迹为曲线E．(1)求E的方程；(2)已知及曲线E上的两点B和D，直线AB，AD的斜率分别为，，且，求证：直线BD经过定点．【答案】(1)(2)证明见解析【解析】（1）设圆心，半径为，因为圆心为C的动圆过点，所以，因为圆心为C的动圆在轴上截得的弦长为4，所以，所以，即，所以曲线E是抛物线.（2）证明：由题意点坐标适合，即点A在E上，由题意可知BD斜率不会为0，设直线：，联立，消去并整理得，需满足，即，设，，则，，

因为，，所以，所以，将，代入得，即，所以直线：，即，所以直线BD经过定点.1．（2023·河南·模拟预测）P为抛物线上任意一点，F为抛物线的焦点．如下图，，的最小值为5．若直线与抛物线交于点N，则外接圆的面积为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依题意，抛物线的焦点，准线，过点作于，过作于，交抛物线于，连接，如图，则，当且仅当点与重合时取等号，所以的最小值为，解得，即有，由得点，因此，在中，由余弦定理得，则，令外接圆半径为，由正弦定理得，则，所以外接圆的面积为.故选：D2．（2023秋·河南郑州·高三校考开学考试）（多选）已知O为坐标原点，抛物线的焦点F为，过点的直线l交抛物线C于A，B两点，点P为抛物线C上的动点，则（

）A．的最小值为3B．C的准线方程为C．D．当时，点P到直线l的距离的最大值为【答案】ABD【解析】如图：对于A,B，由抛物线的焦点为，则，即，其准线方程为，设点到准线的距离为，则，设点到准线的距离为，易知，故选项A正确，B正确；由题意可知，过点的直线的方程可设为，代入抛物线,可得，，则直线始终与抛物线图象有两个交点，设,则，当时，取到最小值，故选项C错误；由C可得直线的方程为，由，可知到直线的距离等于到直线的距离，点到直线的距离，令，则，当时，，单调递减；当时，单调递增，由当时，，当时,，则当时，，所以，故选项D正确.故选：ABD.

3．（2023秋·湖北·高三校联考阶段练习）（多选）已知O为抛物线的顶点，直线l交抛物线于M，N两点，过点M，N分别向准线作垂线，垂足分别为P，Q，则下列说法正确的是（

）A．若直线l过焦点F，则N，O，P三点不共线B．若直线l过焦点F，则C．若直线l过焦点F，则抛物线C在M，N处的两条切线的交点在某定直线上D．若，则直线l恒过点【答案】BCD【解析】设直线，联立方程，得设，，则选项A，若直线l过焦点F，则，，又，，，三点共线，A错；

选项B，由抛物线的定义和平行线的性质知：，又，，所以B对；选项C，设与抛物线相切的切线方程为，则化简得．由，可得，即，所以与抛物线相切的切线方程为，将点坐标代入方程可得，则，所以过的切线方程为．同理，过的切线方程为，联立，得：抛物线在点M，N处的切线的交点在定直线上，所以C对；

选项D，因为，，将韦达定理代入得：.所以直线l恒过点，所以D对.故选：BCD.4．（2023·山东泰安·统考模拟预测）（多选）已知抛物线：的焦点为，过的直线交抛物线于、两点，，直线左边的抛物线上存在一点，则（

）A． B．C．若点，则 D．当的面积最大时，面积为【答案】ACD【解析】对于A，设直线的方程为，联立抛物线方程，消去x化简得：，∴，代入抛物线方程得：，A正确；对于B，∵，解得，所以，B错误；对于C：分别做、于、点，弦的中点于，所以，，，，所以，所以以为直径的圆与准线相切，由选项B得，时，，得，时，，得，所以圆心，所以与准线的切点为，所以点在圆外，所以是锐角，即，C正确；

对于D：直线方程为，斜率为，当过点的切线与直线平行时，点到直线的距离最大，当时，，所以，设，所以，得，所以点，此时，所以面积的最大值为，当斜率为时，同理求得面积为，D正确.

故选：ACD.5．（2023·全国·镇海中学校联考模拟预测）（多选）已知抛物线的准线方程为，圆，直线与交于两点，与交于两点在第一象限），为坐标原点，则下列说法中正确的是（

）A． B．C．若，则 D．为定值【答案】BD【解析】对于A，因为抛物线的准线方程为，所以，得，所以A错误，对于B，设，由，得，则，所以，因为直线恒过圆心，所以，所以，所以，所以B正确，对于C，因为直线过抛物线的焦点，所以，因为，，所以，解得，所以C错误，对于D，因为直线过抛物线的焦点，所以，所以为定值，所以D正确，故选：BD

6．（2023秋·安徽·高三宿城一中校联考阶段练习）（多选）已知抛物线C的标准方程为，O为坐标原点，直线l为其准线，点A，B是C上的两个动点（不是原点O），线段与x轴交于点M，连接并延长交准线于点D，则（

）A．若点M为C的焦点，则直线平行于x轴B．若点M为C的焦点，则线段的长度的最小值为4C．若，则点M为C的焦点D．若与的面积之积为定值，则点M为C的焦点【答案】AB【解析】直线的斜率不为0，设点，设直线的方程为，设，，因为点M在线段上，所以，

联立直线和抛物线方程得，则，所以，，直线的方程为，得，又因为，故，对于A，若为焦点，则，因为，所以，A选项正确；对于B，若为焦点，则，，则，B选项正确；对于C，若，有，即，所以，解得或0（舍去），C选项错误；对于D，，只需M横坐标为定值即可，故D错误.故选：AB7．（2023秋·河北唐山）已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点，连接并延长，交抛物线于点，若中点的纵坐标为，则当最大时，．【答案】16【解析】由题可得抛物线焦点为，准线为.设，则由抛物线定义可得，又由题可得中点的纵坐标为，则.则.则，当且仅当取等号，则为等边三角形，即直线AD斜率为或.如图，设此时AD方程为，将其与抛物线联立有.设D，则由韦达定理有.再由抛物线定义有.故答案为：.

8．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知点是抛物线上的动点，则的最小值为.【答案】/【解析】由题可知，过抛物线上的动点作直线的垂线交直线于，过点作轴的垂线交轴于，交准线于点，为抛物线焦点，由，得，所以，如图所示则动点到轴的距离为所以，当且仅当三点共线时，有最小值，即(此时为点到直线的距离)，所以到直线的距离为，所以，所以.所以的最小值为.故答案为：9．（2023秋·陕西西安·高三校联考开学考试）已知点为抛物线的焦点，点，，且.(1)求抛物线的标准方程；(2)若斜率存在的直线过点且交抛物线于，两点，若直线，交抛物线于，两点（、与、不重合），求证：直线过定点.【答案】(1)(2)证明见解析【解析】（1）由题设，则，，又，故，整理得，解得.所以抛物线的标准方程为；（2）若直线不过点，如图，

设，，，，由题意可知直线的斜率存在且不为0，则直线的斜率，所以直线的方程为，即，由直线过定点，可得同理直线的方程为，过焦点，可得，的方程，过焦点，可得.直线的方程为，由，得，所以，即.又因为，所以.令，解得，故直线恒过定点.若直线过点，直线即为直线，其方程为，即，显然直线过点.综上，直线过定点.10．（2024秋·内蒙古呼和浩特·高三统考开学考试）已知抛物线C：焦点为，直线l与抛物线C交于，两点，且，（O为坐标原点）．(1)求抛物线C的方程；(2)求证：直线l过定点．【答案】(1)(2)证明见解析【解析】（1）由题设，则，所以抛物线方程为.（2）令l：，，，联立得：，则，，

，解得或，由得：，故，∴l：过定点.11．（2023·宁夏银川·校考模拟预测）已知抛物线和圆，倾斜角为的直线过焦点，且与相切.(1)求抛物线的方程；(2)动点在的准线上，动点在上，若在点处的切线交轴于点，设，证明点在定直线上，并求该定直线的方程.【答案】(1)；(2)证