第3章 圆锥曲线与方程章末题型归纳总结（原卷版）

第3章圆锥曲线与方程章末题型归纳总结目录模块一：本章知识思维导图模块二：典型例题经典题型一：求轨迹方程经典题型二：焦点三角形问题经典题型三：线段和差最值问题经典题型四：离心率取值与范围问题经典题型五：直线与圆锥曲线的位置关系经典题型六：三角形与四边形面积问题经典题型七：圆锥曲线定点定值问题经典题型八：斜率问题经典题型九：中点弦问题模块三：数学思想方法①分类讨论思想②转化与化归思想③数形结合思想

模块一：本章知识思维导图

模块二：典型例题经典题型一：求轨迹方程例1．（2023·江苏·高二专题练习）若点满足方程，则动点M的轨迹方程为（

）A． B． C． D．例2．（2023·江苏淮安·高二校联考期中）若动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（

）A． B．C． D．例3．（2023·高二课时练习）已知圆与圆交点的轨迹为，过平面内的点作轨迹的两条互相垂直的切线，则点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．例4．（2023·全国·高二专题练习）已知点，，动点满足条件．则动点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．例5．（2023·全国·高二专题练习）已知，A，B分别在y轴和x轴上运动，O为原点，，则动点P的轨迹方程是（

）A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线例6．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线与直线有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于两点．当点运动时，点的轨迹方程是（

）A． B．C． D．例7．（2023·全国·高二专题练习）设圆与y轴交于A，B两点（A在B的上方），过B作圆O的切线l，若动点P到A的距离等于P到l的距离，则动点P的轨迹方程为（

）A． B． C． D．例8．（2023·江苏·高二专题练习）点M与定点的距离和它到定直线的距离的比为，则点M的轨迹方程为（

）A． B． C． D．例9．（2023·广东深圳·高二统考期末）已知，若动点P满足直线与直线的斜率之积为，则动点P的轨迹方程为（

）A． B．C． D．例10．（2023·全国·高二假期作业）若动点到点的距离等于它到直线的距离，则点的轨迹方程是（

）A． B．C． D．例11．（2023·黑龙江哈尔滨·高二哈九中校考期末）是一个动点，与直线垂直，垂足位于第一象限，与直线垂直，垂足位于第四象限，若四边形（为原点）的面积为4，则动点的轨迹方程是（

）A． B． C． D．例12．（2023·安徽六安·高二六安一中校考期末）已知直线交抛物线：于轴异侧两点，，且，过向作垂线，垂足为，则点的轨迹方程为（

）A．（） B．（）C．（） D．（）经典题型二：焦点三角形问题例13．（2023·江苏·高二专题练习）椭圆焦点三角形的性质椭圆上的动点与两个焦点构成的三角形叫作焦点三角形，它们具有下面的性质.（1）焦点三角形的周长为；（2）当时，最大；（3）；例14．（2023·江苏·高二专题练习）椭圆的两焦点为，一直线过交椭圆于两点，则的周长为；例15．（2023·四川内江·高二威远中学校校考期中）已知直线与椭圆交于两点，是椭圆的左焦点，则的周长是.例16．（2023·广东佛山·高二校联考阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于A，B两点，若，则.例17．（2023·江苏·高二专题练习）设和为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，且满足，则的面积是.例18．（2023·吉林长春·高二长春市第二实验中学校考阶段练习）已知点P为椭圆C：上一点，点，分别为椭圆C的左、右焦点，若，则的内切圆半径为例19．（2023·浙江·高二校联考期中）已知椭圆与双曲线共焦点（记为，），点是该椭圆与双曲线的一个公共点，则的面积为.例20．（2023·全国·高二课堂例题）已知双曲线的方程是，点P在双曲线上，且到其中一个焦点的距离为10，点N是的中点，O为坐标原点，则.例21．（2023·全国·高二专题练习）设双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上一点，且，则的大小为．例22．（2023·江苏·高二专题练习）已知分别是双曲线的左右焦点，是上的一点，且，则的周长是．例23．（2023·江苏盐城·高二校考阶段练习）已知直线是抛物线的准线，抛物线的顶点为，焦点为，若为上一点，与的对称轴交于点，在中，，则的值为．例24．（2023·高二课时练习）已知为抛物线：的焦点，，，为上的三点，若，则.例25．（2023·甘肃白银·高二校考期末）如图，是抛物线上的一点，是抛物线的焦点，以为始边、为终边的角，则.

经典题型三：线段和差最值问题例26．（2023·陕西延安·高二校考期末）已知点为抛物线上任意一点，点为圆上任意一点，点，则的最小值为.例27．（2023·全国·高二专题练习）已知是抛物线上的动点，点在轴上的射影是点，点的坐标是，则的最小值为．例28．（2023·全国·高二专题练习）已知是抛物线的焦点，P是抛物线C上一动点，Q是曲线上一动点，则的最小值为．例29．（2023·高二课时练习）已知是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为.例30．（2023·全国·高二专题练习）P为双曲线右支上一点，M，N分别是圆和上的点，则的最大值为.例31．（2023·全国·高二专题练习）过双曲线的左焦点F作圆的一条切线（切点为T），交双曲线右支点于P，点M为线段FP的中点，连接MO，则的最大值为．例32．（2023·浙江·高二校联考期中）已知分别是双曲线的上、下焦点，过的直线交双曲线于A、B两点，若，则的值为．例33．（2023·全国·高二专题练习）已知点是双曲线的左焦点，点是该双曲线右支上的任一点，，则的最大值为．例34．（2023·高二课时练习）设是椭圆的左焦点，P为椭圆上任一点，点Q的坐标为，则的最大值为.例35．（2023·江苏常州·高二常州高级中学校考阶段练习）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，M为椭圆C上任意一点，N为圆E：上任意一点，则的最小值为.例36．（2023·全国·高二专题练习）设P是椭圆上一点，M、N分别是两圆：和上的点，则的最小值、最大值分别是．例37．（2023·高二课时练习）已知F是椭圆的左焦点，P为椭圆上的动点，椭圆内部一点M的坐标是，则的最大值是．经典题型四：离心率取值与范围问题例38．（2023·四川巴中·高二统考期中）如图所示，用一束与平面成角的平行光线照射半径为的球O，在平面上形成的投影为椭圆及其内部，则椭圆的（

）

A．长轴长为3 B．离心率为C．焦距为2 D．面积为例39．（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的离心率是（

）A． B． C． D．例40．（2023·河南焦作·高二校考阶段练习）双曲线C：的一条渐近线的倾斜角为，则C的离心率为（

）A． B． C． D．例41．（2023·湖北恩施·高二校联考期中）已知椭圆，斜率为的直线与椭圆交于两点，在轴左侧，且点在轴上方，点关于坐标原点对称的点为，且，则该椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．例42．（2023·全国·高二期中）已知双曲线C：的左、右焦点分别为、，以为圆心的圆与x轴交于，B两点，与y轴正半轴交于点A，线段与C交于点M．若与C的焦距的比值为，则C的离心率为（

）A． B．C． D．例43．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则的离心率为（

）A． B． C． D．例44．（2023·江苏·高二专题练习）如图，直线过椭圆的左焦点和一个顶点B，该椭圆的离心率为（）

A． B．C． D．例45．（2023·江苏·高二专题练习）设椭圆的焦点为为椭圆上的任意一点，的最小值取值范围为，其中，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．例46．（2023·新疆巴音郭楞·高二校考开学考试）设、分别是双曲线的左、右焦点，过作轴的垂线与相交于、两点，若为正三角形，则的离心率为（

）A． B． C． D．例47．（2023·江苏·高二专题练习）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P在椭圆C上，且，过P作的垂线交x轴于点A，若，记椭圆的离心率为e，则（

）A． B． C． D．例48．（2023·江西宜春·高二上高二中校考阶段练习）已知椭圆E：的左、右焦点分别为，，O为坐标原点，若以为直径的圆与椭圆E在第一象限交于点P，且是等边三角形，则椭圆E的离心率为（

）A． B． C． D．例49．（2023·吉林辽源·高二辽源市第五中学校校考期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，P是椭圆上一点，，若，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A． B． C． D．例50．（2023·四川成都·高二校联考期中）已知是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且，则该椭圆离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．例51．（2023·江西赣州·高二江西省寻乌中学校考阶段练习）已知椭圆的一个焦点为，椭圆上存在点，使得，则椭圆的离心率取值范围是（

）A． B． C． D．例52．（2023·高二课时练习）已知双曲线左，右焦点分别为，若双曲线右支上存在点使得，则离心率的取值范围为（

）A． B．C． D．例53．（2023·山西晋城·高二校考阶段练习）已知双曲线的左，右焦点分别为，P是右支上一点，且，则双曲线C的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．例54．（2023·重庆长寿·高二重庆市长寿中学校校考期中）已知椭圆上一点，它关于原点的对称点为，点为椭圆右焦点，且满足，设，且，则该椭圆的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．经典题型五：直线与圆锥曲线的位置关系例55．（2023·江苏南通·高二统考阶段练习）过点向抛物线引两条切线，切点分别为A，B，直线恒过的定点为.例56．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线，直线，若直线与双曲线的交点分别在两支上，求的范围．例57．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线，直线，若直线与双曲线的右支有两个交点，求的取值范围．例58．（2023·江西上饶·高二江西省广丰中学校考阶段练习）经过椭圆的右焦点作倾斜角为的直线，交椭圆于两点，则．例59．（2023·高二课时练习）过点与抛物线只有一个公共点的直线有条．例60．（2023·高二课时练习）若直线与椭圆恒有公共点，则实数的取值范围是．例61．（2023·江苏·高二专题练习）若直线与椭圆有唯一公共点，则实数．例62．（2023·高二课时练习）已知抛物线方程为，若过点的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是.例63．（2023·全国·高二课堂例题）已知抛物线C：，过点的直线l与抛物线C有唯一公共点，则这样的直线有条．经典题型六：三角形与四边形面积问题例64．（2023·高二课时练习）已知点在抛物线上，倾斜角为的直线l经过抛物线C的焦点F.(1)求抛物线C的标准方程；(2)求线段AB的长及的面积.例65．（2023·全国·高二期中）已知双曲线实轴的一个端点是，虚轴的一个端点是，直线与双曲线的一条渐近线的交点为.(1)求双曲线的方程；(2)若直线与曲线有两个不同的交点是坐标原点，求的面积最小值.例66．（2023·全国·高二期中）已知椭圆过和两点.

(1)求椭圆C的方程；(2)如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为A，B，当动点M在定直线上运动时，直线，分别交椭圆于两点P和Q.（i）证明：点B在以为直径的圆内；（ii）求四边形面积的最大值.例67．（2023·安徽·高二校考期中）设抛物线：的焦点为，是抛物线上横坐标为的点，．(1)求抛物线的方程；(2)设过点且斜率为的直线交抛物线于，两点，为坐标原点，求的面积．例68．（2023·湖北恩施·高二校联考期中）已知椭圆与直线有唯一的公共点，过点且与垂直的直线交轴，轴于两点．(1)求满足的关系式；(2)当点运动时，求点的轨迹的方程；(3)若轨迹与直线交于两点，为坐标原点，求面积的最大值．例69．（2023·新疆巴音郭楞·高二八一中学校考阶段练习）已知动点到定点的距离是它到直线的距离的倍，记点的轨迹为.(1)求的方程；(2)若点，过点的直线与交于，两点，求面积的最大值.例70．（2023·浙江宁波·高二校联考期中）椭圆：的右焦点是，且经过点；直线与椭圆交于，两点，以为直径的圆过原点.

(1)求椭圆的方程；(2)若过原点的直线与椭圆交于，两点，且，求四边形面积的范围.例71．（2023·河南周口·高二统考期中）已知双曲线的一条渐近线方程的倾斜角为，焦距为4．(1)求双曲线的标准方程；(2)A为双曲线的右顶点，为双曲线上异于点A的两点，且．①证明：直线过定点；②若在双曲线的同一支上，求的面积的最小值．例72．（2023·江苏扬州·高二扬州中学校考期中）如图，已知椭圆C：（）的离心率为，右焦点F到上顶点的距离为．

(1)求椭圆C的方程；(2)设过原点的直线l与椭圆C相交于A，B两点，连接AF，BF并分别延长交椭圆C于D，E，记的面积分别是，求的取值范围.例73．（2023·辽宁大连·高二大连八中校考阶段练习）已知椭圆过(2，0)点，左右焦点分别为，，(1)求椭圆C的标准方程；(2)点是椭圆的上顶点，点在椭圆C上，若直线，的斜率分别为，满足，求面积的最大值．经典题型七：圆锥曲线定点定值问题例74．（2023·高二课时练习）已知动圆与圆外切，与轴相切，记圆心的轨迹为曲线，．(1)求的方程；(2)若斜率为4的直线交于、两点，直线、分别交曲线于另一点、，证明：直线过定点．例75．（2023·全国·高二期中）已知椭圆的左焦点为，且点在椭圆上.(1)求椭圆的标准方程；(2)椭圆的上、下顶点分别为，点，若直线与椭圆的另一个交点分别为点，证明：直线过定点，并求该定点坐标.例76．（2023·浙江·高二校联考开学考试）已知椭圆：．(1)直线：交椭圆于，两点，求线段的长；(2)为椭圆的左顶点，记直线，，的斜率分别为，，，若，试问直线是否过定点，若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由．例77．（2023·山东淄博·高二校联考阶段练习）已知椭圆：的长轴为双曲线的实轴，且椭圆过点.(1)求椭圆的标准方程；(2)点、是椭圆上异于点的两个不同的点，直线与的斜率均存在，分别记为，，且，求证：直线恒过定点，并求出定点的坐标.例78．（2023·高二单元测试）已知O为坐标原点，抛物线，点，设直线l与C交于不同的两点P，Q.(1)若直线轴，求直线的斜率的取值范围；(2)若直线l不垂直于x轴，且，证明：直线l过定点．例79．（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆E的中心在原点，周长为8的的顶点，为椭圆E的左焦点，顶点B，C在E上，且边BC过E的右焦点.(1)求椭圆E的标准方程；(2)椭圆E的上、下顶点分别为M，N，点若直线，与椭圆E的另一个交点分别为点S，T，证明：直线ST过定点，并求该定点坐标.例80．（2023·河南许昌·高二统考期末）双曲线的左、右焦点分别为，过作与轴垂直的直线交双曲线于两点，的面积为12，抛物线以双曲线的右顶点为焦点.

(1)求抛物线的方程；(2)如图，点为抛物线的准线上一点，过点作轴的垂线交抛物线于点，连接并延长交抛物线于点，求证：直线过定点.例81．（2023·江苏徐州·高二统考期中）已知定点，定直线，动圆过点，且与直线相切．(1)求动圆的圆心所在轨迹的方程；(2)已知点是轨迹上一点，点是轨迹上不同的两点（点均不与点重合），设直线的斜率分别为，且满足，证明：直线过定点，并求出定点的坐标．例82．（2023·黑龙江牡丹江·高二牡丹江一中校考阶段练习）已知椭圆过点，且离心率为.(1)求椭圆的标准方程；(2)过动点作直线交椭圆于两点，且，过作直线，使与直线垂直，证明：直线恒过定点，并求此定点的坐标．例83．（2023·四川成都·高二校考期中）已知椭C：，为其左右焦点，离心率为，(1)求椭圆C的标准方程；(2)设点P，点P在椭圆C上，过点P作椭圆C的切线l，斜率为，，的斜率分别为，，则是否是定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.例84．（2023·高二单元测试）已知抛物线C：的焦点F与椭圆的右焦点重合，点M是抛物线C的准线上任意一点，直线MA，MB分别与抛物线C相切于点A，B．

(1)求抛物线C的标准方程及其准线方程；(2)设直线MA，MB的斜率分别为，，证明：为定值．例85．（2023·高二课时练习）已知双曲线与椭圆的焦点重合，且与的离心率之积为．(1)求双曲线的标准方程；(2)设双曲线的左､右顶点分别为，若直线与圆相切，且与双曲线左､右两支分别交于两点，记直线的斜率为的斜率为，那么是否为定值？并说明理由．例86．（2023·高二课时练习）已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且其离心率为.(1)求椭圆的方程；(2)已知与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为，求证：（为坐标原点）为定值.例87．（2023·江苏南京·高二校考期中）已知点在双曲线上，直线（不过点）的斜率为，且交双曲线于、两点.(1)求双曲线的方程；(2)求证：直线、的斜率之和为定值.例88．（2023·新疆伊犁·高二统考期末）设椭圆C：的离心率为，过原点O斜率为1的直线l与椭圆C相交于M，N两点，椭圆右焦点F到直线l的距离为．(1)求椭圆C的方程；(2)设P是椭圆上异于M，N外的一点，当直线PM，PN的斜率存在且不为零时，记直线PM的斜率为，直线PN的斜率为，试探究是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．经典题型八：斜率问题例89．（2023·河北保定·高二河北省唐县第一中学校考阶段练习）已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，且椭圆过，直线与椭圆交于、.(1)求椭圆的标准方程；(2)设直线、的斜率分别为、，证明：.例90．（2023·江苏·高二南京市人民中学校联考开学考试）已知椭圆过点.(1)求椭圆的离心率；(2)过点且斜率不为0的直线与椭圆交于两点，椭圆的左顶点为A，求直线与直线的斜率之积.例91．（2023·广东佛山·高二佛山市三水区三水中学校考阶段练习）已知椭圆C的中心在坐标原点，若椭圆C焦点在轴上，焦距为，且经过点．(1)求椭圆C的标准方程.(2)若直线l与椭圆C交于A，B两点，，直线DA与直线DB的斜率之积为，求直线l斜率的取值范围．例92．（2023·黑龙江牡丹江·高二牡丹江一中校考阶段练习）已知椭圆左右焦点分别为，离心率为．斜率为的直线（不过原点）交椭圆于两点，当直线过时，周长为8．(1)求椭圆的方程；(2)设斜率分别为，且依次成等比数列，求的值，并求当面积为时，直线的方程．例93．（2023·江苏南京·高二校联考阶段练习）已知双曲线:的左、右焦点分别为，，离心率为，A是直线l：上不同于原点O的一个动点，斜率为的直线与双曲线E交于M，N两点，斜率为的直线与双曲线E交于P，Q两点.(1)求的值；(2)若直线OM，ON，OP，OQ的斜率分别为，，，，问是否存在点A，满足+=，若存在，求出A点坐标；若不存在，说明理由.例94．（2023·高二课时练习）已知双曲线实轴左右两个顶点分别为，双曲线的焦距为，渐近线方程为．(1)求双曲线的标准方程；(2)过点的直线与双曲线交于两点．设的斜率分别为，且，求的方程．例95．（2023·山东潍坊·高二校考阶段练习）已知双曲线的中心为坐标原点，左、右焦点分别为，且点在双曲线上.(1)求双曲线的渐近线方程；(2)若直线与直线交于点，点是双曲线上一点，且满足，记直线的斜率为，直线的斜率为，求.例96．（2023·河南许昌·高二统考期末）已知的两个顶点A，B的坐标分别是且直线PA，PB的斜率之积是，设点P的轨迹为曲线H.(1)求曲线H的方程；(2)经过点且斜率为k的直线与曲线H交于不同的两点E，F（均异于A，B），证明：直线BE与BF的斜率之和为定值.例97．（2023·高二课时练习）设抛物线的焦点为F，过F且斜率为1的直线l与E交于A，B两点，且．(1)求抛物线E的方程；(2)设为E上一点，E在P处的切线与x轴交于Q，过Q的直线与E交于M，N两点，直线PM和PN的斜率分别为和．求证：为定值．经典题型九：中点弦问题例98．（2023·江苏·高二专题练习）求所有斜率为1的直线被椭圆所截得线段的中点的轨迹．例99．（2023·江苏·高二专题练习）已知圆，圆，动圆与圆外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线(1)求的方程；(2)是否存在过点的直线交曲线于两点，使得为中点？若存在，求该直线方程，若不存在，请说明理由．例100．（2023·甘肃白银·高二统考开学考试）已知椭圆的离心率为，是上一点．(1)求的方程；(2)设，是上两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程．例101．（2023·全国·高二课堂例题）求过定点的直线被双曲线截得的弦AB的中点的轨迹方程.例102．（2023·高二课时练习）已知焦点在轴上的双曲线实轴长为，其一条渐近线斜率为．(1)求双曲线的标准方程；(2)过点能否作直线，使直线与所给双曲线交于、两点，且点是弦的中点？如果直线存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由．例103．（2023·宁夏银川·高二校考阶段练习）过双曲线的弦，且为弦的中点，求直线的方程.例104．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线的右焦点为，且C的一条渐近线经过点.(1)求C的标准方程；(2)是否存在过点的直线l与C交于不同的A，B两点，且线段AB的中点为P.若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.例105．（2023·上海浦东新·高二上海南汇中学校考期中）已知曲线C的方程是，其中，，直线l的方程是．(1)请根据a的不同取值，判断曲线C是何种圆锥曲线；(2)若直线l交曲线C于两点M，N，且线段中点的横坐标是，求a的值；(3)若，试问曲线C上是否存在不同的两点A，B，使得A，B关于直线l对称，并说明理由．例106．（2023·广西贵港·高二统考期末）已知是抛物线的焦点，是抛物线上一点，且.(1)求抛物线的方程；(2)若直线与抛物线交于两点，且线段的中点坐标为，求直线的斜率.例107．（2023·全国·高二专题练习）已知直线与抛物线相交于、两点.(1)若直线过点，且倾斜角为，求的值；(2)若直线过点，且弦恰被平分，求所在直线的方程.例108．（2023·高二单元测试）已知抛物线的焦点为是抛物线上的点，且．(1)求抛物线的方程；(2)已知直线交抛物线于两点，且的中点为，求直线的方程．例109．（2023·高二课时练习）已知直线l与抛物线交于A，B两点，且线段AB恰好被点平分.(1)求直线l的方程；(2)抛物线上是否存在点C和D，使得C，D关于直线l对称?若存在，求出直线CD的方程；若不存在，请说明理由.模块三：数学思想方法①分类讨论思想例110．（2023·广西玉林·高三校联考开学考试）设椭圆，双曲线的离心率分别为.若，则的所有可能取值的乘积为（

）A． B． C．2 D．例111．（2023·高二课时练习）设集合A＝{1，2，3，4，5}，，则方程＋＝1表示焦点位于x轴上的椭圆有（

）A．8个 B．10个 C．12个 D．16个例112．（2023·四川达州·高二四川省宣汉中学校考开学考试）定义：椭圆中长度为整数的焦点弦(过焦点的弦)为“好弦”．则椭圆中所有“好弦”的长度之和为（

）A．162 B．166 C．312 D．364例113．（2023·全国·高二专题练习）方程表示焦距为的双曲线，则实数λ的值为（

）A．1 B．-4或1 C．-2或-4或1 D．-2或1例114．（2023·上海浦东新·高二上海市建平中学校考阶段练习）过定点且与抛物线有且仅有一个公共点的直线有（

）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条例1