专题01 空间向量与立体几何-天津市2021-2022学年高二上学期数学期末试题分类汇编

天津市2021-2022学年高二数学上学期期末分类汇编专题01空间向量与立体几何一、单选题1．（2022·天津天津·高二期末）在空间直角坐标系中，已知点A(1，1，2)，B(－3，1，－2)，则线段AB的中点坐标是（

）A．(－2，1，2) B．(－1，1，0) C．(－2，0，1) D．(－1，1，2)2．（2022·天津天津·高二期末）已知四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是边长为2的正方形，侧棱与底面垂直，若点C到平面AB1D1的距离为，则直线与平面所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．3．（2022·天津西青·高二期末）若向量，向量，则（

）A． B． C． D．4．（2022·天津·静海一中高二期末）已知点P(5，3，6)，直线l过点A(2，3，1)，且一个方向向量为，则点P到直线l的距离为(

)A． B． C． D．5．（2022·天津南开·高二期末）如图所示，已知三棱锥，点，分别为，的中点，且，，，用，，表示，则等于（

）A． B．C． D．6．（2022·天津河北·高二期末）如图，在单位正方体中，以为原点，，，为坐标向量建立空间直角坐标系，则平面的法向量是（

）A．，1， B．，1， C．，， D．，1，7．（2022·天津和平·高二期末）如图．空间四边形OABC中，，点M在OA上，且满足，点N为BC的中点，则（

）A． B．C． D．8．（2022·天津和平·高二期末）如图所示，正方体中，点分别在上，，，则与所成角的余弦值为（

）A． B．C． D．9．（2022·天津市第九十五中学益中学校高二期末）若直线的方向向量为，平面的法向量为，则（

）A． B． C． D．与相交但不垂直10．（2022·天津市第九十五中学益中学校高二期末）在四棱锥中，底面ABCD是正方形，E为PD中点，若，，，则（

）A． B．C． D．二、填空题11．（2022·天津天津·高二期末）已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是__________．12．（2022·天津西青·高二期末）如图，在三棱锥中，，，，点在上，且，为中点，构成空间的一个基底，将用基底表示，=__________.13．（2022·天津河北·高二期末）若直线的方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面所成角的正弦值为______.14．（2022·天津和平·高二期末）在空间直角坐标系中，、，平面的一个法向量是，则点到平面的距离为______________．三、解答题15．（2022·天津西青·高二期末）如图，平面，，.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；（Ⅲ）若二面角的余弦值为，求线段的长.16．（2022·天津·静海一中高二期末）如图，在长方体中，，，是棱的中点．（1）求证：；（2）求平面与平面夹角的余弦值；（3）在棱上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．17．（2022·天津南开·高二期末）如图，在直三棱柱中，，，D为的中点．(1)求证：平面；(2)求平面与平面的夹角的余弦值；(3)若E为的中点，求与所成的角．18．（2022·天津河北·高二期末）如图，在直三棱柱中，，，，分别为，，的中点，点在棱上，且，，.(1)求证：平面；(2)求证：平面平面；(3)求平面与平面的距离.19．（2022·天津和平·高二期末）如图，平面，四边形是矩形，四边形为直角梯形，，，，.(1)求证：平面；(2)求平面与平面夹角的大小.20．（2022·天津市第九十五中学益中学校高二期末）已知：在四棱锥中，底面为正方形，侧棱平面，点为中点，.(1)求证：平面平面；(2)求直线与平面所成角大小；(3)求点到平面的距离.参考答案：1．B【分析】利用中点坐标公式直接求解．【详解】在空间直角坐标系中，点，1，，，1，，则线段的中点坐标是，，，1，．故选：B.2．A【分析】先由等面积法求得的长，再以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，运用线面角的向量求解方法可得答案．【详解】如图，连接交于点，过点作于，则平面，则，设，则，则根据三角形面积得，代入解得．以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．则，，设平面的法向量为，，，则，即，令，得．，所以直线与平面所成的角的余弦值为，故选：．3．C【分析】根据题意求出，再根据向量的减法坐标运算，由此即可求出结果.【详解】因为向量，向量，则，则，故选：C.【点睛】本题主要考查了空间向量的坐标运算，属于基础题.4．B【分析】根据向量和直线l的方向向量的关系即可求出点P到直线l的距离.【详解】由题意，，，，，，到直线的距离为.故选：B.5．A【分析】连接，先根据已知条件表示出，再根据求得结果.【详解】连接，如下图所示：因为为的中点，所以，又因为为的中点，所以，所以，故选：A.6．A【解析】设平面的法向量是，，，由可求得法向量.【详解】在单位正方体中，以为原点，，，为坐标向量建立空间直角坐标系，，0，，，1，，，1，，，1，，，0，，设平面的法向量是，，，则，取，得，1，，平面的法向量是，1，.故选：.7．B【分析】选择基底，利用向量加法的三角形法则转化化简即可.【详解】如图，.故选：B.8．C【分析】以D为原点，建立如图所示空间直角坐标系，设正方体边长为3，求出点的坐标，，，进而可得结果.【详解】以D为原点，建立如图所示空间直角坐标系，设正方体边长为3，则，设EF与所成的角为，则故选：C9．B【分析】通过判断直线的方向向量与平面的法向量的关系，可得结论【详解】因为，，所以，所以∥，因为直线的方向向量为，平面的法向量为，所以，故选：B10．C【分析】根据向量线性运算法则计算即可.【详解】．故选：C．11．【分析】根据投影向量概念求解即可.【详解】因为空间向量，，所以，，所以向量在向量上的投影向量为：，故答案为：.12．【解析】连接，根据向量的加减运算法则，求得，进而求得向量，得到答案.【详解】由题意，，，，连接，根据向量的线性运算法则，可得，因为为中点，，又由点在上，且，可得，所以.13．【分析】根据空间向量夹角公式进行求解即可.【详解】设与的夹角为，直线与平面所成角为，所以，故答案为：14．【解析】利用点到平面的距离公式（为平面的一个法向量）可求得点到平面的距离.【详解】由已知条件可得，平面的一个法向量为，所以，点到平面的距离为.因此，点到平面的距离为.故答案为：.【点睛】方法点睛：求点到平面的距离，方法如下：（1）等体积法：先计算出四面体的体积，然后计算出的面积，利用锥体的体积公式可计算出点到平面的距离；（2）空间向量法：先计算出平面的一个法向量的坐标，进而可得出点到平面的距离为.15．（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）（Ⅲ）【分析】首先利用几何体的特征建立空间直角坐标系(Ⅰ)利用直线BF的方向向量和平面ADE的法向量的关系即可证明线面平行；(Ⅱ)分别求得直线CE的方向向量和平面BDE的法向量，然后求解线面角的正弦值即可；(Ⅲ)首先确定两个半平面的法向量，然后利用二面角的余弦值计算公式得到关于CF长度的方程，解方程可得CF的长度.【详解】依题意，可以建立以A为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角坐标系(如图)，可得.设，则.(Ⅰ)依题意，是平面ADE的法向量，又，可得，又因为直线平面，所以平面.(Ⅱ)依题意，，设为平面BDE的法向量，则，即，不妨令z=1，可得，因此有.所以，直线与平面所成角的正弦值为.(Ⅲ)设为平面BDF的法向量，则，即.不妨令y=1，可得.由题意，有，解得.经检验，符合题意｡所以，线段的长为.【点睛】本题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.16．(1)证明见解析

（2）

（3）存在点，【分析】(1)先证明平面，由平面，可证明结论.(2)以分别为轴，建立空间直角坐标系,分别求出平面与平面的法向量，利用向量法求求解即可.(3)设，,则，则由向量法结合条件可得答案.【详解】（1）在长方体中，,又，所以平面又平面,所以.(2)以分别为轴，建立空间直角坐标系因为，，是棱的中点．则则为平面的一个法向量.设为平面的一个法向量.,所以，即取，可得所以如图平面与平面夹角为锐角，所以平面与平面夹角的余弦值为.(3)设，，则由（2）平面的一个法向量设与平面所成角为则解得，取所以存在点，满足条件.17．(1)证明见解析(2)(3)【分析】（1）连接，交于O，连接OD，根据中位线的性质，可证，根据线面平行的判定定理，即可得证；（2）如图建系，求得各点坐标，进而可求得平面与平面的法向量，根据二面角的向量求法，即可得答案；（3）求得坐标，根据线线角的向量求法，即可得答案.(1)连接，交于O，连接OD，则O为的中点，在中，因为O、D分别为、BC中点，所以，又因为平面，平面，所以平面(2)由题意得，两两垂直，以B为原点，为x，y，z轴正方向建系，如图所示：设，则，所以，则，，因为平面在平面ABC内，且平面ABC，所以即为平面的一个法向量，设平面的一个法向量为，则，所以，令，则，所以法向量，所以，由图象可得平面与平面的夹角为锐角，所以平面与平面的夹角的余弦值为(3)由（2）可得，设与所成的角为，则，解得，所以与所成的角为18．(1)见解析(2)见解析(3)【分析】（1）利用勾股定理证得，证明平面，根据线面垂直的性质证得，再根据线面垂直的判定定理即可得证；（2）取的中点，连接，可得为的中点，证明，四边形是平行四边形，可得，再根据面面平行的判定定理即可得证；（3）设，由（1）（2）可得即为平面与平面的距离，求出的长度，即可得解.（1）证明：在直三棱柱中，为的中点，，，故，因为，所以，又平面，平面，所以，又因，，所以平面，又平面，所以，又，所以平面；（2）证明：取的中点，连接，则为的中点，因为，，分别为，，的中点，所以，且，所以四边形是平行四边形，所以，所以，又平面，平面，所以平面，因为，所以，又平面，平面，所以平面，又因，平面，平面，所以平面平面；（3）设，因为平面，平面平面，所以平面，所以即为平面与平面的距离，因为平面，所以，，所以，即平面与平面的距离为.19．(1)证明见解析(2)【分析】(1)结合已知条件，建立空间直角坐标系，利用线面平行的判定定理，求出与平面的一个法向量垂直即可证明；(2)结合已知条件，分别求出平面与平面的法向量，然后利用面面角的空间向量公式即可求解.(1)证明：以为坐标原点，、和分别为轴、轴和轴，建立如图所示的空间直角坐标系：由已知可得，，，，，，，，依题意为平面的一个法向量，又，所以，又平面，所以平面(2)设平面的一个法向量为，又，，则即令，可得，依题意为平面的一个法向量设平面与平面的夹角为，，又，所以，即平面与平面的夹角为.20．(1)证明见解析；(2)；(3).【分析】（1）以AB所在的直线为x轴，以AD所在的直线为y轴，以AP所在的直线为z轴，建立如图所示的直角坐标系，求出平面PCD的法向量为，平面的法向量为，即得证；（2）设直线与平面所成角为，利用向量法求解；（3）利用向量法求点到平面的距离.（1）证明：PA平面ABCD，ABCD为正方形，以AB所在的直线为x