专题06 数列解答-天津市2021-2022学年高二上学期数学期末试题分类汇编

天津市2021-2022学年高二数学上学期期末分类汇编专题06数列解答一、解答题1．（2022·天津河东·高二期末）已知等差数列中，，，数列满足，．(1)求，的通项公式；(2)任意，，求数列的前2n项和．2．（2022·天津河东·高二期末）已知正项数列的前项和为，.（1）求、；（2）求证：数列是等差数列.3．（2022·天津·耀华中学高二期末）已知为等差数列，为等比数列，，，.(1)求和的通项公式；(2)记的前n项和为，求的最小值；(3)设求数列的前2n项和.4．（2022·天津天津·高二期末）已知等比数列{}的各项均为正数，，，成等差数列，，数列{}的前n项和，且.(1)求{}和{}的通项公式；(2)设，记数列{}的前n项和为.求证：.5．（2022·天津天津·高二期末）已知各项均为正数的等比数列{}的前4项和为15，且.(1)求{}的通项公式；(2)若，记数列{}的前n项和为，求.6．（2022·天津南开·高二期末）公差不为零的等差数列中，已知其前n项和为，若，且成等比数列．(1)求数列的通项；(2)当时，求数列的前n和．7．（2022·天津南开·高二期末）已知等差数列满足．(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前n项和．8．（2022·天津河西·高二期末）已知等差数列的前项和为，数列是等比数列，，，，.(1)求数列和的通项公式；(2)若，设数列的前项和为，求.9．（2022·天津河北·高二期末）已知数列的前项和为，且，，数列是公差不为0的等差数列，满足，且，，成等比数列.(1)求数列和的通项公式；(2)设，求数列的前项和.10．（2022·天津红桥·高二期末）等差数列的前项和为，数列是等比数列，满足，，，.（1）求数列和的通项公式；（2）令，设数列的前项和为，求.11．（2022·天津红桥·高二期末）等差数列中，首项，且成等比数列．(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和．12．（2022·天津和平·高二期末）已知数列中，，.(1)证明：数列是等比数列；(2)若数列的通项公式为，，求数列的前项和；(3)若，求数列的前项和.13．（2022·天津和平·高二期末）设{an}是等差数列，a1=–10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）记{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值．14．（2022·天津·静海一中高二期末）已知数列的前项和为，，.(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和；(3)若数列，，求前项和.15．（2022·天津·静海一中高二期末）已知满足，.(1)求证：是等差数列，求的通项公式；(2)若，的前项和是，求证：.16．（2022·天津·南开中学高二期末）已知等比数列中，，数列满足，（1）求数列的通项公式；（2）求证：数列为等差数列，并求前项和的最大值17．（2022·天津·南开中学高二期末）已知数列满足，，且成等比数列．（1）求的值和的通项公式；（2）设，求数列的前项和．18．（2022·天津市第九十五中学益中学校高二期末）已知等比数列满足，.（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）若，设（），记数列的前n项和为，求.参考答案：1．(1)；(2)【分析】（1）根据等差等比的基本量运算求解即可；（2）分奇数项和偶数项分别求和即可，奇数项用乘公比错位相减，偶数项用裂项相消求和即可.(1)设等差数列的公差为，由，，可得，解得，所以，数列满足，，所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，所以，(2)由（1）可知，当为奇数时，，设，，两式相减可得：，整理得：，当为偶数时，，设，所以数列的前2n项和为2．（1），；（2）证明见解析.【解析】（1）直接在数列递推式中取即可求、（2）在数列递推式中将换成，得另一递推式后作差，整理即可证明数列是等差数列【详解】（1）由已知条件得：.∴.又有，即.解得（舍）或.（2）由得时：，∴，即，∴，∴，∴即，经过验证也成立，所以数列是首项为1，公差为2的等差数列.【点睛】利用与的关系，多递推一次再相减的思想，结合等差数列的定义，证明等差数列.3．(1)，(2)(3)【分析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，然后由已知条件列方程求出，从而可求出和的通项公式；（2）由（1）可得，然后利用对勾函数的单调性可求得结果，（3）分别由为奇数和为偶数求和，然后再相加即可(1)设等差数列的公差为，等比数列的公比为，因为，，，所以，，解得，，所以，(2)由（1）可得，则，因为函数在上递减，在是递增，又因为，所以当时，取得最小值，(3)当为奇数时，，当为偶数时，，对任意的正整数，有，所以，所以，所以数列的前2n项和为4．(1)(2)证明见解析【分析】设等比数列的公比为，由，，成等差数列，解得．由，利用通项公式解得，可得．由数列的前项和，且，时，，化简整理即可得出；（2），利用裂项求和方法、数列的单调性即可证明结论．(1)设等比数列的公比为，，，成等差数列，，即，化为：，解得．，，即，解得，．数列的前项和，且，时，，化为：，，数列是每项都为1的常数列，，化为．(2)证明：，数列的前项和为，．5．(1)(2)【分析】（1）设正项的等比数列的公比为，根据题意列出方程组，求得的值，即可求得数列的通项公式；（2）由，结合乘公比错位相减求和，即可求解.(1)解：设正项的等比数列的公比为，显然不为1，因为等比数列前4项和为且，可得，解得，所以数列的通项公式为.(2)解：由，所以，可得，两式相减得，所以.6．(1)(2)【分析】（1）根据等差数列的性质，结合题意，可求得值，根据成等比数列，即可求得d值，代入等差数列通项公式，即可得答案；（2）由（1）可求得，即可得表达式，根据裂项相消求和法，即可得答案.(1)设等差数列的公差为，由等差数列性质可得，解得，又成等比数列，所以，整理得，因为，所以，所以(2)由（1）可得，则，所以，所以7．(1)(2)【分析】（1）设等差数列的公差为d，由题意得列出方程组，可求得的值，代入公式，即可得答案.（2）由（1）可得，利用等比数列的定义，可证数列为等比数列，结合前n项和公式，即可得答案.(1)设等差数列的公差为d，由题意得，解得，所以通项公式(2)由（1）可得，，又，所以数列是以4为首项，4为公比的等比数列，所以8．（1），；（2）.【详解】试题分析：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为,根据题意列出表达式，解出公比和公差，再根据等差数等比列的通项公式的求法求出通项即可；（2）根据第一问得到前n项和，数列,分组求和即可.解析：(1)设等差数列的公差为，等比数列的公比为，∵，，，，∴，∴，，∴，.(2)由(1)知，，∴，∴.9．(1)，(2)【分析】（1）根据，求出是以1为首项，3为公比的等比数列，求出的通项公式，求出的公差，进而求出的通项公式；（2）分组求和.(1)因为①，所以当时，②，①－②得：，即③，令得：，满足③，综上：是以1为首项，3为公比的等比数列，故，设的公差为d，则，因为，所以，解得：或0（舍去），所以(2)，则10．（1），（2）【详解】试题分析：（1）根据条件列关于公差与公比的方程组，解方程组可得再根据等差数列与等比数列通项公式得结果（2）根据错误相减法求数列的前项和为，注意作差时项符号的变化以及求和时项数的确定试题解析：（1）设数列的公差为，数列的公比为，则由得解得所以，.（2）由（1）可知，∴①②①—②得：，∴.点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.11．(1)(2)【分析】（1）根据等比中项的性质结合等差数列的通项公式求出，进而得出数列的通项公式；（2）根据裂项相消求和法得出前项和为和.(1)因为成等比数列，所以即，解得，所以；(2)因为，，，．12．(1)证明见解析(2)(3)【分析】(1)结合已知条件利用等比数列定义证明即可；(2)结合(1)中条件，求出的通项公式，然后利用错位相减法求和即可；(3)结合(1)中条件，求出的通项公式，然后利用裂项相消法求和即可.(1)证明：因为，又，所以为首项是4，公比为2的等比数列.(2)由(1)可知，，，所以，.则，，以上两式相减可得，，所以(3)由(1)可知，，，所以，从而，故.13．（Ⅰ）；（Ⅱ）.【分析】(Ⅰ)由题意首先求得数列的公差，然后利用等差数列通项公式可得的通项公式；(Ⅱ)首先求得的表达式，然后结合二次函数的性质可得其最小值.【详解】（Ⅰ）设等差数列的公差为，因为成等比数列，所以，即，解得，所以.（Ⅱ）由（Ⅰ）知,所以；当或者时，取到最小值.【点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用.14．(1)(2)(3)【分析】（1）由可求得的值，令，由可得，两式作差可推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求得数列的通项公式；（2）求得，利用错位相减法可求得；（3）利用奇偶分组法，结合等差数列和等比数列的求和公式可求得.（1）解：当时，，可得，当时，由可得，上述两个等式作差得，可得，所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，故.（2）解：，所以，，所以，，上述两个等式作差得，因此，.（3）解：由题意可得，，所以，.15．(1)证明见解析，(2)证明见解析【分析】（1）在等式两边同时除以，结合等差数列的定义可证得数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得的表达式；（2）求得，利用裂项相消法求得，即可证得原不等式成立.(1)解：在等式两边同时除以可得且，所以，数列是以为首项，以为公差的等差数列，则，因此，.(2)证明：，所以，.故原不等式得证.16．(1)；(2)证明见解析，10.【分析】(1)设出等比数列的公比q，利用给定条件列出方程求出q值即得；(2)将给定等式变形成，再推理计算即可作答.【详解】(1)设等比数列的公比为q，依题意，，而，解得，所以数列的通项公式为；(2)显然，，由得：，所以数列是以为首项，公差为-1的等差数列，其通项为，于是得，由得，而，则数列前4项都为非负数，从第5项起都是负数，又，因此数列前4项和与前3项和相等并且最大，其值为，所以数列前项和的最大值是10.17．（1）；；（2）．【分析】（1）由于，所以可得，再由成等比数列，列方程可求出，从而可求出的通项公式；（2）由（1）可得，然后利用错位相减法求【详解】解：（1）数列{an}满足，所以，所以a2+a3＝a1+a2+d，由于a1＝1，a2＝1，所以a2+a3＝2+d，a8+a9＝2+7d，且a1，a2+a3，a8+a9成等比数列，所以，整理得d＝1或2（1舍去）．故an+2＝an+2，所以n为奇数时，an＝n，n为偶数时，an＝n﹣1．所以数列{an}的通项公式为．（2）由于，所以．所以T2n＝b1+b2+．．．+b2n＝﹣20×12+20×22﹣22×32+22×42+．．．+[﹣22n﹣2•（2n﹣1）2]+22n﹣2•（2n）2，＝20×（22﹣12）+22×（42﹣32）+．．．+22n﹣2•[（2n）2﹣（2n﹣1）2]．＝20×3+22×7+．．．+22n﹣2•（4n﹣1）①，所以，②，①﹣②得：﹣3T2n＝20×3+22×4+．．．+22n﹣2×4﹣22n×（4n﹣1），＝3+4×﹣22n×（4n﹣1），＝，所以18．（Ⅰ）或；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）设等比数列的公比为q，由已知建立方程组，求得数列的首项和公比，从而求得数列的通项；（Ⅱ）由（Ⅰ）及已知可得和（），运用错位相减法可求得数列的